第8章-1-振动及波动

1、第八章第八章 振动和波动振动和波动u 波动是振动的传播！波动是振动的传播！2.2.波的分类波的分类(1) (1) 机械振动在弹性介质中的传播过程，叫做机械振动在弹性介质中的传播过程，叫做机械波机械波。如：水面波、声波等。如：水面波、声波等。(2) (2) 电磁场的变化在空间中的传播过程，叫做电磁场的变化在空间中的传播过程，叫做电磁波电磁波。如：无线电波、光波等。如：无线电波、光波等。1.1.波的定义波的定义u振动在空间中的传播过程叫做振动在空间中的传播过程叫做波动波动，简称，简称波波。软绳波的传播方向质点振动方向振动在软绳中的传播振动在软绳中的传播l一、机械振动：一、机械振动： 物体在一定位置

2、附近作来回往复的周期性运动，物体在一定位置附近作来回往复的周期性运动，称称机械振动机械振动。 如：弹簧振子的运动、心脏的跳动、昆虫翅膀的如：弹簧振子的运动、心脏的跳动、昆虫翅膀的发声振动等，发声振动等，机械振动是生活中常见的运动形式机械振动是生活中常见的运动形式被手拨动的被手拨动的弹簧片弹簧片上下跳动的上下跳动的皮球皮球小鸟飞离后颤动的小鸟飞离后颤动的树枝树枝在在一定位置一定位置附近来回做附近来回做往复往复运动的现象运动的现象叫做机械振动，简称振动。叫做机械振动，简称振动。机械振动的主要特征是：机械振动的主要特征是：“空间空间运动运动”的往复性和的往复性和“时间时间”上的周期性。上的周期性。二

3、、简谐振动二、简谐振动 定义：定义：物体受到的合外力跟位移大小成正物体受到的合外力跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，这种振动叫做比，并且总是指向平衡位置，这种振动叫做简谐振动简谐振动。F=-kx典型的简谐振动：典型的简谐振动：弹簧振子、单摆弹簧振子、单摆简谐振动是最简单、最基本的振动简谐振动是最简单、最基本的振动; ;任何复杂振动，都可看作是若干简谐振动的合成。任何复杂振动，都可看作是若干简谐振动的合成。弹簧振子弹簧振子: :l 由一根轻弹簧由一根轻弹簧(劲度系数为劲度系数为k)和质量为和质量为m的物体（的物体（质点质点）构）构成，系统与外界成，系统与外界无摩擦力无摩擦力；（理想模型）（

4、理想模型）l 弹力是使物体回到平衡位置的回复力；弹力是使物体回到平衡位置的回复力；l 弹力和惯性的交替作用使物体在平衡位置附近来回往复的弹力和惯性的交替作用使物体在平衡位置附近来回往复的运动；运动；质点的动力学方程：质点的动力学方程：kxdtxdm 220222 xdtxd 2mk 令令)t cos(A)t (x 演示演示一一. . 简谐振动简谐振动 定义定义: :8.1 8.1 简谐振动简谐振动二二. . 描述简谐振动的特征量（三要素）描述简谐振动的特征量（三要素） 1. 振幅振幅 A：振动物体离开平衡位置的最大位移；振动物体离开平衡位置的最大位移；A02. 周期周期T： 物体完成一次物体完

5、成一次全振动全振动所用的时间；所用的时间； 频率频率 v： 单位时间内完成全振动的次数；单位时间内完成全振动的次数； 圆圆(角角)频率频率 ：v = 1/T (Hz)x是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) cos()(tAtx 物体振动时，如果离开平衡位置的位移物体振动时，如果离开平衡位置的位移x 随随时间时间t 的变化可表示为余弦函数的变化可表示为余弦函数简谐振动简谐振动/2T)(cos)cos(TtAtAx角频率和周期之间的关系：角频率和周期之间的关系：2 2或T固有周期和固有固有周期和固有(角角)频率频率kmT2 2u简谐振动方程：简谐振动方程：)cos

6、(tAx圆频率圆频率初相位初相位振幅振幅位移位移l 简谐振动方程的三要素：简谐振动方程的三要素：A、 、 振幅：振幅：A 角频率：角频率： 初相位：初相位： tAdtdxvsintAdtxdacos222 tcosAtx2 2 tcosA位移：位移：速度：速度：加速度：加速度：简谐振动的速度和简谐振动的速度和 加速度加速度1.简谐振动的各阶导数也简谐振动的各阶导数也都作简谐振动都作简谐振动3. 3. 相位相位(1) ( t + ) 是是 t 时刻的时刻的相位相位，确定质点在，确定质点在t时刻的时刻的运动状态的物理量。运动状态的物理量。 (2) 是是 t =0 时刻的相位时刻的相位初相位初相位，

7、确定质点在，确定质点在t0时时刻的运动状态的物理量。刻的运动状态的物理量。) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tA运动状态是由位置和速度来表征的运动状态是由位置和速度来表征的.由此：位移、速度、加速度由由此：位移、速度、加速度由( t + ) 确定；确定；描述描述简谐振动简谐振动的的（三要素）：（三要素）：振幅、周期、相位振幅、周期、相位 相位的意义相位的意义:一个一个相位对应一个确定的振动状态；相位对应一个确定的振动状态； 相位每改变相位每改变 2 ，振动重复一次振动重复一次. 相位相位 2 范围内变化范围内变化, 振动状态不重复振动状态不重复. txOA-A = 2 相位差

8、相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12时）（当12 同相和反相同相和反相(同频率振动同频率振动)当当 = 2k , k=0, 1, 2. 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相。xtoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相当当 = (2k+1) , k=0, 1, 2. 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相 t xOA1-A1A2- A2x1x2若若 = 2- - 1 0 , 则则 x2 比比 x1 早早 达到正最大位移达到正最大位移 , 称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1

9、 比比 x2 落后落后 )。1.简谐振动的各阶导数也都作简简谐振动的各阶导数也都作简谐振动谐振动2. x, v, a相位依次相差相位依次相差 /2补充例题：补充例题：一个物体沿一个物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周，周期为期为2 s，当，当t=0时的位移为时的位移为0.06m，且向，且向x轴正方轴正方向运动。求：向运动。求：(1). 初相位初相位及简谐振动方程；及简谐振动方程；(2). t=0.5s时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；11xt ()20t 0 0AA tA t0 xx绕绕O点以角速度点以角速度 逆时针逆时针旋转的矢量旋转的矢量 ，

10、在在x 轴上的轴上的投影投影正好描述了一个简谐振动。正好描述了一个简谐振动。 tA 振幅矢量振幅矢量 t+ 相位相位8.1.2 8.1.2 用旋转矢量描述简谐振动用旋转矢量描述简谐振动 tcosAx演示演示三要素：三要素：初相位：=/3XOOXA判断：判断： t = 0, 振子的初位移、初速度振子的初位移、初速度x0=A/2, v00（向x轴负方向运动）用旋转矢量直观描述简谐振动： 确定, 振动状态确定tXO3、用旋转矢量描述简谐振动：OXA初相位=/2判断：判断： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=0, v00 （向x轴负方向运动）3、用旋转矢量描述简谐振动：OXA

11、XO=2/3判断：判断： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=-A/2, v00 （向x轴正方向运动）3、用旋转矢量描述简谐振动：OXAXO=-/3判断：判断： t = 0, 振子的振子的初初位移、位移、初初速度速度x0=A/2, v00（向x轴正方向运动）同相同相2Axtxtx2A反相反相x1A1A tAtA21 tAtA21 例题例题8-4：一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.24m，周期为，周期为4 s，当当t=0时的位移为时的位移为0.12m，且向，且向x轴负方向运动。求：轴负方向运动。求：(1). 初相位初相位 及简谐振动方程及简谐振

12、动方程；(2). t =1 s时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；(3). 在在x=-0.12m处，且向处，且向x轴负方向运动时，物体的速轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时从这一位置回到平衡位置所需的时间。间。代数法代数法; ;旋转矢量法旋转矢量法; ;（一）两个同方向、同频率的简谐振动的合成：（一）两个同方向、同频率的简谐振动的合成：同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(tAx仍然是同频率的简谐振动。仍然是同频率的简谐振动。演示演示2

13、1xxx2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 旋转矢量法旋转矢量法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg)cos(AAAAA122122212 上面得到：上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg讨论一：讨论一：, 2, 1, 0212kk21AAA同相同相，两个分振动相互加，两个分振动相互加强，合振幅最大，称为强，合振幅最大，称为干干涉相长涉相长。2AA1AxtA1A2A讨论二：讨论二：|21AAA反相反相，两分振动相互削弱，合，两分振动相互削弱，合振幅最小，称为振幅最小，称为干

14、涉相消干涉相消。 A1A2时合振幅为时合振幅为0.2AA1A讨论三：讨论三：1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情况：一般情况：)cos(212212221AAAAAxt合振动设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即同频率简谐振动，即);cos(101tAx)cos(202tAy221222212sincos2AAxyAyAx)(1020上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差相位差决定：决定： 21AA 当当 时，时，椭圆退化为圆椭圆退化为圆。（二（二）两个相互垂直的

15、、同频率简谐振动的合成：两个相互垂直的、同频率简谐振动的合成：讨论讨论1 0)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。221222212sincos2AAxyAyAxyx讨论讨论2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论32)(10201222212AyAx所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转时针旋转。1A2Axyoyx质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向

16、的相位差决定旋转方向。21AA 讨论讨论5讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转时针旋转。1A2A1222212AyAx23)(1020 xyo讨论讨论6k21020则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。32102121020，kk综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆合振动在一直线上或者在椭圆上进行上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。动的振幅相等时，椭圆轨道就成

17、为圆。 = 0(第一象限第一象限) = /2 = = 3 /2021AyAx1222212AyAxtAxcos1)cos(2tAy(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)（第四象限）（第四象限）补充例题：补充例题：有两个有两个同频率同频率、同方向同方向的简谐振动，求：的简谐振动，求：（1）合振动的振幅和初相位；）合振动的振幅和初相位；(m) 520101032(m) 750101022221).tcos(x).tcos(x8.4 8.4 波波 动动（一）、波的定义及其分类（一）、波的定义及其分类1.1.波的定义波的定义振动在空间中的传播过程叫做振动在空间中的传播过程叫做波动波动，简称，简称波波

18、。2.2.波的分类波的分类(1) (1) 机械振动在弹性介质中的传播过程，叫做机械振动在弹性介质中的传播过程，叫做机械波机械波。如：水面波、声波等。如：水面波、声波等。(2) (2) 电磁场的变化在空间中的传播过程，叫做电磁场的变化在空间中的传播过程，叫做电磁波电磁波。如：无线电波、光波等。如：无线电波、光波等。 这两类波本质不同，但有许多共同特征，如能这两类波本质不同，但有许多共同特征，如能产生折射、反射、衍射和干涉等现象，且都伴随产生折射、反射、衍射和干涉等现象，且都伴随着能量的传播。着能量的传播。 波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依

19、次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。振动的传播过程称为波动。机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的必要条件：波源 作机械振动的物体；媒质 能够传播机械振动的弹性媒质。软绳波的传播方向质点振动方向振动在软绳中的传播振动在软绳中的传播t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = T t = 3T/4 结论：结论：(1) (1) 振动质点并未振动质点并未“随波逐流随波逐流”, ,各质点仍在其各自平衡位各质点仍在其各自平衡位置附近上下振动，置附近上下振动，波的传播不是振动质点的传播；波的传播不是振动质点的传播；(

20、2) (2) “上游上游”的质点依次带动的质点依次带动“下游下游”的质点振的质点振动。动。(3) (3) 某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播；波是振动状态的传播；n 振动状态可以用振动状态可以用相位相位来描述，所以波的传播也可来描述，所以波的传播也可以用以用相位相位来描述；来描述；n 在波的传播方向上，各质点相位依次落后；在波的传播方向上，各质点相位依次落后； 质点的质点的振动速度振动速度 ，随时间而变化，随时间而变化； 波的传播速度波的传播速度u，在各向同性介质中是常数；在各向同性介质中是常数；横波：质点的

21、振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向 在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。波 前波 面波 线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面为平面的波）球面波 (波面为球面的波)波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。波传播方向波速周期波长振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。波形移过一个波长所需的时间。频率周期的倒数。波速单位时间内振动状态（振动相位)的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。或由简谐振动

22、在均匀无吸收的媒质中传播所形成的波动。简谐波 对于机械波，若波源及弹性媒质中各质点都持续地作简谐振动所形成的连续波，则为简谐机械波。 简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。简谐波的一个重要模型是平面简谐波。 平面简谐波平面简谐波的波面是平面，有确定的波长和传播方向，的波面是平面，有确定的波长和传播方向，各质点振动的各质点振动的振幅振幅恒定。恒定。t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = T t = 3T/4 设设原点原点振动表达式为振动表达式为:00tcosAyO O点运动传到点运动传到P点需用时间

23、点需用时间: : uxt P点比点比O O点相位落后点相位落后: :uxP点的振动方程为：点的振动方程为：0)uxt (cosA)t , x(yP点在点在t 时刻的位移等于原点处质点在时刻的位移等于原点处质点在 时刻的位移时刻的位移, ,则则)(uxt 简谐振动在均匀介质中沿简谐振动在均匀介质中沿x方向传播。方向传播。yP0 xxu这就是沿这就是沿 x 轴正向传播的轴正向传播的平面简谐波动方程平面简谐波动方程。它是。它是时间时间和和空间空间的双重周期函数的双重周期函数。波动方程常用周期波长或频率的形式表达由得消去波速和分别具有单位时间和单位长度的含义，分别与时间变量 和空间变量 组成对应关系

24、。 沿 x 轴正向传播的平面简谐波动方程)(cos),(0uxtAtxy+0+0若给定 ，波动方程即为距原点 处的质点振动方程距原点 处质点振动的初相若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图波形图。xy000若 和 都是变量，即 是 和 的函数， 这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。同一时刻，沿 x 轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。波沿 x 轴正向传播00波沿 x 轴正向传播掌握：由波形图判断质点的振动方向！ )xTt(cosA )xt(cosA )uxt(cosAy22

25、正向波的波动方程：正向波的波动方程： )xTt(cosA )xt(cosA )uxt(cosAy22反向波的波动方程：反向波的波动方程： 补充例题补充例题1：如图如图t=0时刻的波形图，求时刻的波形图，求:(1). O点的振动方程；点的振动方程；(2). 波动方程；波动方程；(3). P点的振动方程；点的振动方程；(4). a,b两点的运动方向；两点的运动方向；xy0.1m0.5mu=0.2m/sabP240100t.cos.tcosAy解解: A0.1 m, =1m, u=0.2m/s，T=5s所以所以 2 2 u/ =0.4 rad/s(1). O 点：点：t=0, x0=0, 00, 故

26、故 0 /2(2). 波动方程：波动方程：22040100.xt.cos.uxtcosAy(3). P点的振动方程：点的振动方程： xP=0.75 mt.cos.t.cos.y40102207504010P一 沿一 沿 x 轴 正 向 传 播 的 平 面 简 谐 波 的 振 幅轴 正 向 传 播 的 平 面 简 谐 波 的 振 幅A=0.10m, 周期周期T=0.50s，波长，波长 10m，若若t=0时刻，位于坐标原点的质点位移为时刻，位于坐标原点的质点位移为y0=0.05m，且向平衡位置运动，且向平衡位置运动，求求: (1). 该波的该波的波动方程；波动方程； (2). 波线上波线上相距相距2.5m的两的两质点的质点的相位差？相位差？P 345 例例8-6！P 346 例例8-7！(m) 40200020)xt(cos.y求求: (1). 波动的振幅、角频率、波速、波长；波动的振幅、角频率、波速、波长； (2). 距原点距原点 /2质点的振动方程；质点的振动方程； (3). t=0.01 s时刻该质点的位移；时刻该质点的位移； （4）画出）画出t=0和和t=0.0025s时的波形