第3章 图像处理中正交变换

1、傅里叶及傅里叶变换简介：傅里叶及傅里叶变换简介：傅里叶：傅里叶： 法国数学家，生于法国数学家，生于1768年，其最大的贡献在于年，其最大的贡献在于他指出他指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和（或余弦和）的形式，每个正弦和（或余弦和）和（或余弦和）的形式，每个正弦和（或余弦和）乘以不同的系数。乘以不同的系数。现在称这个和为傅里叶级数。现在称这个和为傅里叶级数。傅里叶变换：傅里叶变换： 非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦和（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。和（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。这种情这

2、种情况下的公式就是傅里叶变换。况下的公式就是傅里叶变换。其重要特性之一就是其重要特性之一就是用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换来重建，不丢失任何信息。傅里叶反变换来重建，不丢失任何信息。傅里叶变换与频率域：傅里叶变换与频率域： 傅里叶变换是将函数傅里叶变换是将函数基于频率分成不同的成基于频率分成不同的成分，使我们可以通过频分，使我们可以通过频率成分来分析一个函数。率成分来分析一个函数。（傅里叶变换被比作（傅里叶变换被比作“数学的棱镜数学的棱镜”）3.1引言引言l二维正交变换；二维正交变换；l正交变换必须是可逆的；正交变换必须是可

3、逆的；l正交变换和反变换的算法不能太复杂。正交变换和反变换的算法不能太复杂。l正交变换的图像特点：正交变换的图像特点： 在变换域中，图像能量集中分布在低频率成分在变换域中，图像能量集中分布在低频率成分上，边缘和线信息反映在高频率成分上。上，边缘和线信息反映在高频率成分上。dueuFtfjdtetfuFtfutjutj 222)()()1( ,)()()( 反反变变换换：的的一一维维傅傅里里叶叶变变换换定定义义正正变变换换：函函数数注意：正反傅里叶变换的唯一区别是幂的符号不同。注意：正反傅里叶变换的唯一区别是幂的符号不同。几个术语：几个术语：傅里叶幅度谱傅里叶幅度谱、相位谱相位谱、能量谱能量谱称

4、称为为傅傅里里叶叶能能量量谱谱。谱谱；被被称称为为（傅傅里里叶叶）相相位位的的（傅傅里里叶叶）幅幅度度谱谱；被被称称为为那那么么，其其中中，或或是是一一个个复复数数，即即的的傅傅里里叶叶变变换换函函数数)()()()()()()()(, )()()(,)()()()()()()(222)()(22)(uIuRuFuEutfuFarctguuIuRuFeuFuFujIuRuFuFtfuRuIuj 二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱二维傅里叶变换对：二维傅里叶变换对： dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2

5、),(),(),(),( 二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱分别为：分别为：),(),(),(),(),(),(),(),(),(2222vuIvuRvuEvuRvuIarctgvuvuIvuRvuF 222222222)(1)(,)()()()()(22)2(2suusjstsstjtstjtteSFduedueeSFdtdujStudteeSFSjSdtedteeSFetf 由由于于高高斯斯积积分分则则进进行行变变量量替替换换：设设其其傅傅里里叶叶变变换换为为：高高斯斯函函数数为为：例：高斯函数的傅里叶变换例：高斯函数的傅里叶变换。构成

6、一个傅立叶变换对构成一个傅立叶变换对与与可见：可见：22)()(stesFetf 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯变换。仍然是高斯变换。2.2.离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）一维离散傅里叶变换对定义：一维离散傅里叶变换对定义： 1, 2 , 1 , 0)(1)()1(),2(),1(),0(1, 2 , 1 , 0)()(210210 NmemXNnxNxxxxNx(m)NnenxmXNmnjNmNmnjNn式式中中：序序列列。即即个个等等间间隔隔抽抽样样值值。任任意意为为取取自自相相应应连连续续函函数数的的，式式中中： 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT

7、）离散傅里叶反变换（离散傅里叶反变换（IDFT）3.二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维傅里叶变换为：二维傅里叶变换为： 1010)(21010)(2),(1),(),(),(),(MuNvNvyMuxjMxNyNvyMuxjevuFMNyxfIDFTeyxfvuFDFTNMnmf ）逆逆变变换换为为：（）其其傅傅里里叶叶变变换换为为：（的的数数组组，则则是是一一个个设设在图像处理中在图像处理中,一般选择方阵一般选择方阵,即取即取M=Na.原始图像原始图像 b.离散傅立叶频谱离散傅立叶频谱二维图像及其离散傅立叶频谱的显示二维图像及其离散傅立叶频谱的显示.2傅里叶变换的性质傅

8、里叶变换的性质1.共轭对称性和周期性共轭对称性和周期性)(2)()(2)()()()(2)()()(:2)()()(,2)()()()()()()(0000tftftftftftftftftftftftftftftftftftftftfeeee 则则为为实实函函数数，且且设设fo(t)为实奇函数。为实奇函数。fe(t)为实偶函数。为实偶函数。dtsttfsFdtsttfdtsttfjdtsttfdtetfdtetfsFtftfeeeestjestje)2cos()()(00)2sin()()2sin()()2cos()()()()(),()(22 。，则则虚虚部部为为上上的的积积分分为为在在对

9、对称称区区间间由由于于奇奇函函数数则则其其傅傅里里叶叶变变换换为为：若若（）实偶函数（）实偶函数可见，实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数。可见，实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数。dtsttfjsFdtsttfjdtsttfdtetfsFtftfstj )2sin()()(00)2sin()()2cos()()()(),()(00020 。，则则实实部部为为上上的的积积分分为为由由于于奇奇函函数数在在对对称称区区间间则则其其傅傅里里叶叶变变换换为为：若若（iiii）实奇函数）实奇函数可见，实奇函数的傅里叶变换是虚奇的。可见，实奇函数的傅里叶变换是虚奇的。 由由(i)，(ii)可知，可知，傅里叶

10、变换不改变函数的奇偶傅里叶变换不改变函数的奇偶性，但对虚实性有影响性，但对虚实性有影响，也就是说，也就是说，偶函数的傅里偶函数的傅里叶变换不引入系数，虚实性保持不变叶变换不引入系数，虚实性保持不变；而；而奇函数的奇函数的傅里叶变换将引入系数傅里叶变换将引入系数-j，从而改变虚实性，从而改变虚实性，即，即“奇变偶不变奇变偶不变” 。结论：结论：)()()2sin()()2cos()()()()()()()()(020220sjFsFdtsttfjdtsttfdtetfdtetfdtetfsFtftftfoeestjstjestje ，则则若若（iii）实函数）实函数具有偶的实部和奇的虚部具有偶的

11、实部和奇的虚部（称为（称为Hermite函数）函数）)()()()()()(sFsjFsFsjFsFsFoeoe （Hermite）函数具有共轭对称性：）函数具有共轭对称性：Fe(s)为偶函数；为偶函数；Fo(s)为奇函数。为奇函数。u 傅里叶变换和反变换均具有周期性傅里叶变换和反变换均具有周期性为为周周期期。以以傅傅里里叶叶变变换换和和反反变变换换均均NN)vN,F(uN)vF(u,v)N,F(uv)F(u, 2.加法定理加法定理 设两个傅里叶变换对：设两个傅里叶变换对：，见见图图则则)()()()()()()()(tGtFtgtfsGtgsFtf )()()(,)()()(2222)(22

12、sFedueufeatfdtduatudteeatfdteatfatfsajsujsajsajatsjstj 则则变变量量替替换换：设设3.位移定理位移定理 描述坐标平移（原点移动）对变换的影响。描述坐标平移（原点移动）对变换的影响。结论：结论：函数位移不会改变其傅立叶变换的模（幅值），函数位移不会改变其傅立叶变换的模（幅值）， 但是会改变实部与虚部之间的能量分布，其但是会改变实部与虚部之间的能量分布，其结结果果 是产生一个与角频率和位移量均成正比的相移。是产生一个与角频率和位移量均成正比的相移。4.相似性定理（尺度变换）相似性定理（尺度变换） 描述函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的影响。描

13、述函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的影响。).,(1)()(1)(1)(,)(1)()(222bvauFabbyaxfasFadueufaatfadtduatudtaeatfadteatfatfasujasatjstj 二二维维函函数数相相似似定定理理：则则变变量量替替换换：设设 傅立叶变换的比例性实例傅立叶变换的比例性实例a)比例尺度展宽前的频谱比例尺度展宽前的频谱 b) 比例尺度展宽后的频谱比例尺度展宽后的频谱)()()()()()()()()()()(),(222sGsFdusGeufdudteutgufdteduutguftgtftgtfsujstjstj （由由位位移移定定理理）变

14、变换换为为：。则则它它们们卷卷积积的的傅傅里里叶叶设设两两个个函函数数傅里叶变换的优势：傅里叶变换的优势：在一个域中的卷积计算可以在在一个域中的卷积计算可以在 另一个域中做乘法计算，效果相同。另一个域中做乘法计算，效果相同。dssFdttfdttfEtf 2)(2)(2)()(. 6则的能量定义为：设函数帕斯维尔定理：上式称为帕斯维尔（上式称为帕斯维尔（Parseval）等式，它表明：）等式，它表明：变换函数与原函数具有相同的能量。也称能量保变换函数与原函数具有相同的能量。也称能量保持定理。持定理。 NvyjvuFNuxjNyxfNvyjyxfNuxjNvuFNvuNvyuxjvuFNyxfN

15、vuNvyuxjyxfNvuFNvNuNyNxNuNvNxNy 2exp),(2exp1),(2exp),(2exp1),(1, 2 , 1 , 0, )(2exp),(1),(1, 2 , 1 , 0, )(2exp),(1),(1010101010101010则则将将上上两两式式分分离离：7.二维傅里叶变换的分离性二维傅里叶变换的分离性 设二维傅里叶变换对为：设二维傅里叶变换对为：1, 2 , 1 , 0,2exp),(1),(2exp),(1),(1, 2 , 1 , 02exp),(1),(1, 2 , 1 , 02exp),(1),(10101010 NyNvyjvuFNNyufNu

16、xjyufNNyxfNvNuxjvxFNNvuFNvNvyjyxfNNvxFNvNuNxNy 其其中中同同理理：，上上两两式式中中看看出出：由分离性可知：由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运一个二维傅里叶变换可以由连续两次运 用一维傅里叶变换来实现。用一维傅里叶变换来实现。角角度度。它它的的频频谱谱也也旋旋转转同同样样的的，则则角角度度如如果果一一幅幅图图像像旋旋转转一一个个: :即即即即代代入入傅傅里里叶叶变变换换对对，和和将将表表示示为为其其极极坐坐标标形形式式：将将其其中中表表示示为为其其极极坐坐标标形形式式：证证明明：将将000),(),(: ),(),(),(),()si

17、n,cos(),(),( FfFfFvuFyxfyxf8旋转性质旋转性质.),(),(00 也也旋旋转转的的傅傅里里叶叶变变换换旋旋转转对对于于vuFyxf二维离散傅立叶变换的旋转性二维离散傅立叶变换的旋转性原图像原图像原图像的傅立叶频谱原图像的傅立叶频谱 旋转后的图像旋转后的图像旋转后图像的傅立叶频谱旋转后图像的傅立叶频谱)0 , 0(1),(),(1)0 , 0(0, 0)(2exp),(1),(),(1),()(1010101010102FNyxfyxfNFvuNvyuxjyxfNvuFyxfNyxfxyfNxNyNxNyNxNy 时时，得得当当而而亮亮度度的的平平均均值值为为：一一幅幅

18、二二维维图图像像 平均值平均值，则则为为正正整整数数，且且的的正正整整数数次次幂幂，即即为为设设，则则令令傅傅里里叶叶变变换换为为：MNMNNWxfNuFNjWNuNuxjxfNuFnuxNNxNNx2,22)(1)(2exp1, 1 ,0, 2exp)(1)(1010 逐次加速法的快速傅里叶变换算法：逐次加速法的快速傅里叶变换算法：)12(1)2(121)()12(1)2(121)(21)(10210221010)12(2)2(21202 MxuMuxMuxMMxuxMuxMMxMxxuMxuMMxuxMWWxfMWxfMuFWWWxfMWxfMWxfMuF，而而）（同同理理）（则则）（）（

19、定定义义4)()(21)(3)()(21)(21, 1 , 0,)12(1)(11, 1 , 0,)2(1)(221010uxModdevenuxModdevenMxuxModdMxuxMevenWuFuFMuFWuFuFuFMuWxfMuFMuWxfMuF 上式表明：上式表明： 一个一个N点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算，点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算，用式（用式（1）、（）、（2）计算）计算2个（个（N/2）点的变换得到）点的变换得到Feven(u)和和Fodd(v),在将它们代入（在将它们代入（3）、（）、（4），得到），得到F(u)。点点变变换换）的的两两个个结结果果

20、计计算算一一个个层层用用（）在在第第（点点变变换换个个个个结结果果计计算算层层用用以以上上）在在第第（点点变变换换个个层层）计计算算第第（）先先将将他他们们排排列列成成（的的快快速速傅傅里里叶叶变变换换点点例例：计计算算一一个个8334424232412)7(),3(),5(),1( ),6(),2(),4(),0(1)7(),6( ),5(),4(),3(),2(),1(),0(8ffffffffffffffff)7()6()5()4()3()2()1()0(ffffffff)6()2()4()0(ffff偶数区偶数区奇数区奇数区 )5()1(21)0(022fWfFo )5()1(21)1

21、(122fWfFo )7()3(21)0(022fWfFo )7()3(21)1(122fWfFo )4()0(21)0(022fWfFe )4()0(21)1(122fWfFe )6()2(21)0(022fWfFe )6()2(21)1(122fWfFe )7()3()5()1(ffff ) 0() 0(21) 0(20424eoeeeFWFF ) 1 () 1 (21) 1 (20424eoeeeFWFF ) 0() 0(21) 2(20424eoeeeFWFF ) 1 () 1 (21)3(20424eoeeeFWFF ) 0() 0(21) 0(20424oooeoFWFF ) 1

22、() 1 (21) 1 (20424oooeoFWFF ) 0() 0(21) 2(20424oooeoFWFF ) 1 () 1 (21) 3(20424oooeoFWFF )0()0(21)0(4084oeFWFF )1()1(21)1(4084oeFWFF )2()2(21)2(4084oeFWFF )3()3(21)3(4084oeFWFF )0()0(21)4(4084eeFWFF ) 1() 1(21)5(4084eeFWFF )2()2(21)6(4084eeFWFF )3()3(21)7(4084eeFWFF )7()3()5()1()6()2()4()0(ffffffff输入

23、数据输入数据2点变换点变换4点变换点变换8点变换点变换F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) 000 001 010 011 100 101 110 111“位对换原则位对换原则”：pF(0)中，中，0的二进制数为的二进制数为000，则它的左位与右位，则它的左位与右位 对调后为对调后为000，即，即f(0)。pF(1)中，中，1的二进制数为的二进制数为001，则它的左位与右位，则它的左位与右位 对调后为对调后为100，即，即f(4)。pF(2)中，中，2的二进制数为的二进制数为010，则它的左位与右位，则它的左位与右位 对调后为对调后为010，即，即f(

24、2)。pF(3)中，中，3的二进制数为的二进制数为011，则它的左位与右位，则它的左位与右位 对调后为对调后为110，即，即f(6)。3.5 离散图像变换的一般表达式离散图像变换的一般表达式图像变换的核：图像变换的核： 1010)(21010)(2),(1),(),(1),(NuNvNvyNuxjNxNyNvyNuxjevuFNyxfeyxfNvuF 逆逆变变换换为为：；傅傅里里叶叶变变换换为为：傅傅里里叶叶变变换换对对中中，2exp1),(2exp1),(NvyjNyxQNuxjNvxP ；其其傅傅里里叶叶变变换换核核为为：的的形形式式是是相相同同的的。和和对对于于对对称称可可分分离离的的核

25、核，。，均均取取式式中中，则则有有：对对于于二二维维傅傅里里叶叶变变换换，上上式式表表示示。图图像像的的其其他他变变换换都都可可用用图图像像的的反反变变换换为为：的的满满秩秩矩矩阵阵。为为、方方阵阵；为为、式式中中：通通用用表表示示式式为为：因因此此，图图像像变变换换的的矩矩阵阵QPNyxvuNvyjNvyQNuxjNuxPFQPfNNQPNNfFPfQF1210,/2exp1),(/2exp1),(,11 . 2离散余弦变换离散余弦变换(DCT) 应用：应用： 主要用于图像压缩编码、数字水印。主要用于图像压缩编码、数字水印。1.1.一维离散余弦变换及其反变换定义：一维离散余弦变换及其反变换定

26、义： 11 2 0 1)(1, 1 , 0,2)12(cos)()(1, 1 , 0,2)12(cos)()()(1010NuNuNuNuNuxuxgNuNuxxguuGNuNx 其中其中 11 20 1 )(1, 1 , 0,2)12(cos)(2)12(cos)(),(),(1, 1 , 0,2)12(cos)(2)12(cos)(),(),(10101010NuNuNvNyxNvyvNuxuvuGyxgNvuNvyvNuxuyxgvuGuNuNvNxNy 其其中中2.二维离散余弦及其反变换定义：二维离散余弦及其反变换定义：a) 原始图像原始图像 b) 离散余弦变换后的频谱离散余弦变换后的

27、频谱二维图像及其离散余弦变换频谱的显示二维图像及其离散余弦变换频谱的显示p快速离散余弦变换：快速离散余弦变换： 1）先将）先将f(x,y)进行快速傅里叶变换，再取其实部。进行快速傅里叶变换，再取其实部。 2）代数分解法）代数分解法实例：实例：离散余弦变换在图像压缩中的应用离散余弦变换在图像压缩中的应用a) 未经压缩的原始图像未经压缩的原始图像 b) 采用采用JPEG方式压缩存储的图像方式压缩存储的图像。，则则有有，即即其其二二进进制制数数是是。若若位位值值。例例如如：的的二二进进制制表表示示的的第第是是式式中中，1)(1)(,0)(1106823)(2, 1, 1 ,0,)1()()()1()

28、(1)(21010)()(101010)()(11 zbzbzbzNnkzzbNNxuuWxfxfNuWnknNiubxbNiNxNiubxbiniini的的值值如如下下表表：时时的的即即当当例例：令令)(8,4,2,3,2,1,)1(),(10)()(1IbNnuxhkniubxbini 101010)()()()(101010)()()()(1111)1(),(1),()1(),(1),(NuNvnivbybubxbNxNynivbybubxbiniiniiniinivuWNyxfyxfNvuWGWGfNGGfGNW 表表示示式式为为：二二维维沃沃尔尔什什反反变变换换矩矩阵阵阶阶沃沃尔尔什

29、什变变换换核核矩矩阵阵；为为其其中中，表表示示式式为为：二二维维沃沃尔尔什什变变换换的的矩矩阵阵,12例：一个二维数字图像矩阵为：例：一个二维数字图像矩阵为： 求图像的二维沃尔什变换。求图像的二维沃尔什变换。 1331133113311331f解：解： 11111111111111114,12GNGfGNW时时的的二二维维沃沃尔尔什什变变换换为为其其中中 0000000000001002000000000000160032161 111111111111111113311331133113311111111111111111412W由例题可知：由例题可知：二维沃尔什变换具有某种能量集中的二维沃

30、尔什变换具有某种能量集中的特性，而且原始数字中数字越均匀分布，变换后的特性，而且原始数字中数字越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上。数据越集中于矩阵的边角上。因此，应用二维沃尔因此，应用二维沃尔什变换可以压缩图像信息。什变换可以压缩图像信息。2.哈达玛（哈达玛（DHT）变换）变换（1）一维哈达玛变换：）一维哈达玛变换：位位值值。的的二二进进制制表表示示的的第第代代表表式式中中，kzzbNxNuNuHxfxfNuHknNxubxbNxubxbniiiniii)(1, 2 , 1 , 0, 1, 2 , 1 , 0,2)1)()()1)(1)(10)()(10)()(1010 N1 101

31、0)()()()(1010)()()()(1010)1)(,(1),()1)(,(1),(NxNyvbybubxbNxNyvbybubxbniiiiiniiiiivuHNyxfyxfNvuH 二维哈达玛正变换和反变换具有相同的形式。二维哈达玛正变换和反变换具有相同的形式。哈达玛变换具有简单的递推关系：哈达玛变换具有简单的递推关系：p最低阶的哈达玛矩阵核为：最低阶的哈达玛矩阵核为： 11111H 1111nnnnnHHHHHpn阶哈达玛矩阵与阶哈达玛矩阵与n-1阶哈达玛矩阵的递推关系为：阶哈达玛矩阵的递推关系为：例如：例如：n=2时的哈达玛矩阵核为：时的哈达玛矩阵核为： 111111111111

32、111111112HHHHH（3）沃尔什）沃尔什哈达玛变换哈达玛变换 沃尔什和哈达玛变换的使用以及术语在图像处理沃尔什和哈达玛变换的使用以及术语在图像处理的文献中是混在一起的，所以常常用术语沃尔什的文献中是混在一起的，所以常常用术语沃尔什哈达玛变换来代表它们的任一种变换。哈达玛变换来代表它们的任一种变换。 111121,21,211111HHHHHHNNNHfHHFnnnnnnnnn其其最最小小阶阶其其递递推推式式为为：，变变换换矩矩阵阵的的大大小小为为 11111111111111112121,21,2121111222223HHHHHHHHHHH即即而而知知：由由最最小小阶阶哈哈达达玛玛矩

33、矩阵阵为为时时，例例： 11111321111121?3nnnnnHHHHHHHn不必做乘法，计算简便不必做乘法，计算简便，变换特点只要做加减法变换特点只要做加减法可见，可见，HadamardWalshH 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112133例：求下列图像矩阵的二维哈达玛例：求下列图像矩阵的二维哈达玛(DHT)变换。变换。 1133113311331133f 111111111111111121212111122HHHHHnnHfHF ：计计算算图图像像的的哈哈达达玛玛变变换换 .4霍特林（霍特

34、林（ K-L）变换变换 K-L变换也称为变换也称为特征矢量变换特征矢量变换、主分量变换主分量变换或或霍特霍特林林(Hotelling)变换，它是基于图像统计特性的变换。变换，它是基于图像统计特性的变换。特点：特点：K-L变换能够充分去除相关性，把有用的信息变换能够充分去除相关性，把有用的信息 集中到数目尽可能少的主分量中。集中到数目尽可能少的主分量中。应用：应用：主要用于图像压缩、图像旋转、图像增强、主要用于图像压缩、图像旋转、图像增强、 遥感多光谱图像的特征提取与信息融合等方面。遥感多光谱图像的特征提取与信息融合等方面。uK-L变换定义变换定义设设x=x1 x2xNT是一个是一个N维随机列矢

35、量，其各维随机列矢量，其各 分量的二阶矩阵存在，进一步假设得到分量的二阶矩阵存在，进一步假设得到M个矢量采样个矢量采样 x1,x2,xM。（在实际应用中，将图像看成随机失量）。（在实际应用中，将图像看成随机失量）具有具有N个像素的图像个像素的图像f(n,m)在某个通信信道传输了在某个通信信道传输了 M 次，由于受到随机干扰，接收到的是一个图像次，由于受到随机干扰，接收到的是一个图像 样本集合样本集合f1(m,n)，f2(m,n)，fM(m,n)。对第。对第i次次 获得的图像获得的图像fi(m,n),可用一个可用一个N维随机列矢量维随机列矢量xi表示，表示， 从而图像样本集合可表示为从而图像样本

36、集合可表示为x1,x2,xM 。 NxTTxxxUCUmxmxEC 000000)(21其其 中：中：mx =EX 为为 列列 矢矢 量量x 的的 均均 值值 矢矢 量；量； UT 为为 矢矢 量量X 协协 方方 差差 矩矩 阵阵Cx 的的 正正 交矩阵，交矩阵， 使使Cx 对对 角角 化；化；随机列矢量随机列矢量x=x1 x2xNT 的的K-L 变变 换换 定定 义义 为：为： y=UT(x-mx)矢量矢量X的协方差矩阵：的协方差矩阵：K-L 变变 换换 的的 反反 变变 换换 为：为：xmUyx MiTxxTiixMiixmmxxMCxMm1111； 在实际应用中，在实际应用中，Cx与与m

37、x可通过样本可通过样本x1,x2,xM来估计，来估计， 即：即：uK-L变换的性质：变换的性质：K-L变换能够充分去除相关性；变换能够充分去除相关性；K-L反变换可以精确重建反变换可以精确重建x；K-L变换是在均方误差最小意义下的变换是在均方误差最小意义下的最优变换最优变换。傅里叶变换：傅里叶变换：DFT是最常用的离散图像变换，特别是是最常用的离散图像变换，特别是在图像处理中可以进行二维数字滤波处理和傅里叶谱在图像处理中可以进行二维数字滤波处理和傅里叶谱分析，因而分析，因而DFT在图像增强、特征提取分析等方面有在图像增强、特征提取分析等方面有着广泛应用。但着广泛应用。但DFT需要复数运算，较难

38、实时应用。需要复数运算，较难实时应用。离散余弦变换：离散余弦变换：DCT是目前应用较广是目前应用较广泛的图像变换，特别在图像通信中，泛的图像变换，特别在图像通信中，是图像压缩方法中较理想的变换。是图像压缩方法中较理想的变换。DWT变换计算最简单；变换计算最简单；K-L变换计算最复杂，但误差最小。变换计算最复杂，但误差最小。DCT变换误差接近变换误差接近K-L变换。变换。 3.5 拉东拉东(Radon)变换变换 建立在一个半圆柱的表面，建立在一个半圆柱的表面， 计算图像在某一指定计算图像在某一指定角度射线方向上投影的变换方法。二维函数角度射线方向上投影的变换方法。二维函数f(x,y)的投的投影是

39、其在指定方向上的线积分。是图像重建的基础。影是其在指定方向上的线积分。是图像重建的基础。拉东空间：拉东空间：半圆柱的表面，半圆柱的表面，半径为半径为1的无穷长圆柱，的无穷长圆柱， 测量沿圆柱从负无穷到正无穷的长度，测量沿圆柱从负无穷到正无穷的长度， 测量相测量相对与某个参考位置的旋转角。对与某个参考位置的旋转角。 p沿任意角度对函数进行投影，即函数沿任意角度对函数进行投影，即函数f(x,y)的的Radon变换为：变换为： yxyxydyxyxfxR cossinsincos )cossin,sincos(其其中中，）（性质：性质： 拉东变换具有线性、平移性、相似性、对称性拉东变换具有线性、平移

40、性、相似性、对称性及微分和卷积计算。及微分和卷积计算。.6.6 小波变换简介小波变换简介.6.6. 小波变换小波变换l概念概念 小波变换是一种在有限宽度的范围内进行的正交小波变换是一种在有限宽度的范围内进行的正交的或非正交的变换。小波变换的基函数是一种不仅在的或非正交的变换。小波变换的基函数是一种不仅在频率上而且在位置上变化的有限的波形函数。频率上而且在位置上变化的有限的波形函数。 l应用应用 小波变换在信号分析、语言合成小波变换在信号分析、语言合成、图像识别图像识别、计算计算机视觉机视觉、数据压缩数据压缩、 CT成象成象、地震勘探地震勘探、大气与海洋大气与海洋波的分析和天体力学等方面都已取得

41、具有科学意义的波的分析和天体力学等方面都已取得具有科学意义的应用价值的重要成果。应用价值的重要成果。l特点：特点： 小波（小波（Wavelet），即小的波形。所谓），即小的波形。所谓“小小”是指是指它具有衰减性；而它具有衰减性；而“波波”则是指它的波动性，其振幅则是指它的波动性，其振幅呈正负相间的振荡形式。呈正负相间的振荡形式。小波变换同时具有时域性和频域性。小波变换同时具有时域性和频域性。 傅里叶变换不能同时进行时间傅里叶变换不能同时进行时间频率局部分析。频率局部分析。小波变换使上述问题迎刃而解。小波分析是通过一个小波变换使上述问题迎刃而解。小波分析是通过一个小波基函数的伸缩和平移来产生一组

42、基函数来实现的。小波基函数的伸缩和平移来产生一组基函数来实现的。小波变换适用：小波变换适用： 小波变换同傅立叶变换一样，也存在一维、二小波变换同傅立叶变换一样，也存在一维、二维维连续小波变换连续小波变换和和离散小波变换离散小波变换。原则上能用傅里。原则上能用傅里叶变换分析的地方均可用小波分析，甚至能获得更叶变换分析的地方均可用小波分析，甚至能获得更好的结果。好的结果。.6.6. 连续小波变换连续小波变换1.一维连续小波变换一维连续小波变换定义定义，函函数数具具有有收收缩缩作作用用。当当具具有有伸伸展展作作用用则则函函数数当当轭轭函函数数是是复复变变函函数数时时，采采用用共共如如果果称称为为小小

43、波波。为为平平移移参参数数为为尺尺度度因因子子，其其中中：的的连连续续小小波波变变换换为为：，信信号号给给定定基基本本小小波波函函数数1;)(, 1)()()(1)()()()()(1),()(, axaxxabxaxbaR,b0,adxxxfdxabxtfabafWxfbabababaR 的的影影响响：对对生生成成小小波波和和平平移移参参数数伸伸缩缩参参数数)(tba 。反反之之亦亦然然。有有利利于于提提高高时时域域分分辨辨率率度度增增大大，窗窗宽宽度度变变窄窄，而而频频窗窗宽宽当当信信号号频频率率增增高高时时，视视宽宽。反反之之亦亦然然。因因此此，的的频频率率随随之之向向高高频频端端展展而

44、而的的支支撑撑区区随随之之变变窄窄，的的减减小小，随随着着参参数数)(,)( batba,a处处，且且波波形形收收缩缩。则则从从原原点点向向左左平平移移至至时时，当当且且波波形形展展宽宽；向向右右移移至至从从原原点点的的波波形形时时，当当图图中中小小波波函函数数为为10)(10, 5 . 0)2(,15)()()(15, 2)1()(10,5 . 015,2,2 ttbattttbatetbat （1）（2）（1）函数应有速降特性（衰减性），即在一个很小的）函数应有速降特性（衰减性），即在一个很小的区间外，函数为零。区间外，函数为零。（2）函数应有波动性（振荡性），即平均值为零）函数应有波动性

45、（振荡性），即平均值为零 （3）函数具有带通型，即）函数具有带通型，即（4）函数具有能量有限性。）函数具有能量有限性。可见：小波是一个具有振荡性和迅速衰减的波。可见：小波是一个具有振荡性和迅速衰减的波。 Rdtx0)( Rdxx0)( 小波小波 应满足的条件（特征）：应满足的条件（特征）：)(x 2.一维小波变换的基本性质一维小波变换的基本性质（1）线性）线性 小波变换是线性变换，它把一维信号分解成不同尺小波变换是线性变换，它把一维信号分解成不同尺 度的分量。度的分量。则则若若的的小小波波变变换换为为设设),(),(),(),()()(,)(),(211211baWbaWbaWtftftftf

46、baWffff （2）平移和伸缩的共变性）平移和伸缩的共变性 连续小波变换在任何平移之下是共变的，若连续小波变换在任何平移之下是共变的，若 是一对小波变换关系，则是一对小波变换关系，则),()(baWtff，不不发发生生失失真真变变形形。两两轴轴上上以以同同一一比比例例伸伸缩缩变变换换将将在在波波某某一一倍倍数数伸伸缩缩时时，其其小小该该性性质质表表明明，当当信信号号以以，则则若若的的。对对于于任任何何伸伸缩缩也也是是共共变变也也是是小小波波变变换换关关系系。babaaaWatafbaWtfbbaWbtffff,),(1),(),()(),()(00000 （3）微分运算）微分运算 dtttt

47、fttfWbannnnnba)()()1()(, （4）冗余性：小波基函数不唯一。）冗余性：小波基函数不唯一。 信号信号f(x)的小波变换与小波重构不存在一一对应的的小波变换与小波重构不存在一一对应的关系，而傅里叶变换与逆变换存在一一对应关系；小关系，而傅里叶变换与逆变换存在一一对应关系；小波变换的基函数有多种可能的选择。波变换的基函数有多种可能的选择。（5）小波逆变换存在性（重构性）小波逆变换存在性（重构性） 小波变换是一种信息保持型的可逆变换，原来信小波变换是一种信息保持型的可逆变换，原来信号的信息完全保留在小波变换系数中。号的信息完全保留在小波变换系数中。（6）能量比例性）能量比例性 在

48、允许条件下，小波变换幅度的平方的积分与信在允许条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号能量成正比。号能量成正比。（7）正则性）正则性 小波变换随尺度小波变换随尺度a的减少而迅速减少，以保证其的减少而迅速减少，以保证其在频域上较好的局域性能。在频域上较好的局域性能。3.几种典型的一维小波几种典型的一维小波 1 ,21121,01)(1ttthHaar 小小波波）连连续续（1-111/2连续连续Haar小波的波形：小波的波形：离散哈尔小波变换：离散哈尔小波变换： 用哈尔小波作为基函数的对称、可分离的变换。用哈尔小波作为基函数的对称、可分离的变换。哈尔小波具有尺度和位置双重属性。哈尔小波是最哈尔小波具有尺度和位置双重属性。哈尔小波是最经典、最简单的正交小波。具有广泛应用。经典、最简单的正交小波。具有广泛应用。 222122121 02 2 1)( 1)(2/2/0其其他他，且且离离散散哈哈尔尔函函数数定定义义：ppppppkqxq-qxq-NxhNxh 式中，式中，p为尺度，为尺度，q为平移参数，它们都为整数。为平移参数，它们都为整数。矩矩形形脉脉冲冲对对。基基函函数数都都有有单单独独的的一一个个时时为为常常数数，其其余余每每个个一一组组基基函函数数。除除了了则则可可以以产产生生如如果果令令对对于于0,1,1 ,0 iNix