电磁场及电磁波 第一章

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版1第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版2 概述概述场：物理量的空间分布。场：物理量的空间分布。 即：如果任一时刻、所在空间的每一点，某物理量即：如果任一时刻、所在空间的每一点，某物理量 都有一个确定的值，则称：该空间存在该物理量的场。都有一个确定的值，则称：该空间存在该物理量

2、的场。矢量分析：矢量分析：0000分析分析“场场”的数学工具。的数学工具。本章重点：本章重点：（概念、计算）（概念、计算） 1 1亥姆霍兹定理（即：场的性质如何描述？）；亥姆霍兹定理（即：场的性质如何描述？）； 2 2标量场标量场梯度。梯度。 3 3矢量场矢量场通量和散度、环量和旋度。通量和散度、环量和旋度。 4.4.球坐标系、柱坐标系。球坐标系、柱坐标系。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版3本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的

3、正交坐标系三种常用的正交坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版4一一. . 物理量分类：物理量分类：标量、矢量标量、矢量矢量大小（模）矢量大小（模）： 线的长度线的长度AA 单位矢量单位矢量： 线的方向线的方向1

4、.标量标量：只用大小描述的物理量。如：只用大小描述的物理量。如：u、i、Q、WAAeA 代数表示代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数2. .矢量矢量：既有大小又有方向的物理量。如：既有大小又有方向的物理量。如：F F、E E、H H 用带箭头的字母或用带箭头的字母或黑体字母黑体字母表示。表示。 矢量的表示：几何表示矢量的表示：几何表示：用一条有方向的线段来表示。用一条有方向的线段来表示。 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电

5、磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版5zzyyxxAeAeAeAcoscoscosAAAAAAzyx)coscoscos(zyxeeeAA矢量的坐标表示：矢量的坐标表示：coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版6 1、矢量加、减法：、矢量加、减法：)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA

6、几何上：几何上：平行四边形法则平行四边形法则, ,如图。如图。 符合交换律和结合律：符合交换律和结合律：二二. 矢量的运算矢量的运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 直角坐标系中：直角坐标系中：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版72 2、矢量乘法、矢量乘法 （1 1）标量乘矢量：）标量乘矢量： （2）矢量乘矢量：）矢量乘矢量：点点积（积（标标积）、叉积（矢积）、混合积积）

7、、叉积（矢积）、混合积zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A标积符合交换律、结合律：标积符合交换律、结合律：1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/A BAB点积定义：点积定义：0ABCA BA C（）例：例：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版8叉积定义：叉积定义： 右手规则右手规则 sinABeBAn)()()(xyyxzzxx

8、zyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为行列式形式：行列式形式：BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则叉积仅服从分配律。叉积仅服从分配律。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版9 混合运算：混合运算：CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分

9、配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版10 三维空间点的位置可通过三条相互三维空间点的位置可通过三条相互正交正交曲线的交点来确定。曲线的交点来确定。1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 电磁理论中，电磁理论中，常用的正交坐标系：常用的正交坐标系： 直角直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系坐标系、圆柱坐标系、球坐标系。 正交曲线坐标系：正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点

10、三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系；位置的体系； 三条正交曲线称为三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版111. 直角坐标系直角坐标系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddd

11、dd坐标变量：坐标变量：zyx,单位矢量单位矢量zyxeee, 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd范围：范围：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版122. 圆柱坐标系圆柱坐标系dddddddddd

12、dddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量：坐标变量：zeee,单位矢量单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP范围：范围：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版13ddsinddd2relleSrrrdds

13、indddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐标系球坐标系, r坐标变量坐标变量eeer,单位矢量单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP范围：范围：思考：计算圆柱、球的表面积、体积？第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子

14、音像出版社 出版出版14ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版154. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆

15、柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版16例:已知 , . 求:

16、? ? ?xyze2e3eA yz4eeB Ae A B AB第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版171.3 标量场的梯度标量场的梯度q 物理量若是标量，称为物理量若是标量，称为标量场标量场。 如如：温度场、电位场、密度场等。：温度场、电位场、密度场等。 物理量若是矢量，称该场为物理量若是矢量，称该场为矢量场矢量场。 如如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 与时间无关的场，称为与时间无关的场，称为静态场静态场，反之为，反

17、之为时变场时变场。、),(tzyxu),(tzyxF从数学上看，场是空间位置和时间的函数：从数学上看，场是空间位置和时间的函数：一、场的分类：标量场、矢量场。一、场的分类：标量场、矢量场。、),(zyxu),(zyxF第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版18二、场的几何描述：场图。 标量场：等值面。 矢量场：矢量线。 场图的意义：描述场量在空间的整体变化趋势。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高

18、等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版19 标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 场场值值相同的点形成的面。相同的点形成的面。 如：等温面、等高线如：等温面、等高线Czyxu),(等值面方程等值面方程：C 取一不同的值，得到一系列等值面，形取一不同的值，得到一系列等值面，形成等值面族；成等值面族；充满场所在的整个空间；充满场所在的整个空间；互不相交。互不相交。 等值面特点等值面特点：意义意义：帮助了解标量场在空间中的分布帮助了解标量场在空间中的分布情况。情况。A A点高点高300300B B点高点高300300A A点比点比B B点陡点

19、陡越密就越陡越密就越陡AB300400200100第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版20例1-1 求标量场 ,通过点M(1, 0, 1)的 等值面方程。 解：点M 的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为 其等值面方程为: 即2()xyz2000()0 xyz2()zxy2()0 xyz第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版

20、社高等教育电子音像出版社 出版出版21 矢量场的矢量线矢量场的矢量线矢量线矢量线：用一些有向矢量线来形象表示用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布。矢量在空间的分布。 如静电场的电力线等。如静电场的电力线等。矢量线方程矢量线方程：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同矢量方向相同矢量线特点矢量线特点：xyzdxdydzAAA第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版22ABA A点受到向下电场力点受到向下电场

21、力B B点受到向下电场力点受到向下电场力A A点比点比B B点受到的力大点受到的力大越密矢量越大越密矢量越大矢量线的作用：矢量线的作用：根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向；根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向；根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大小根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。及变化趋势。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版23例例1-2 求矢量场求矢量场 的矢量线方程的矢量线方程解：解： 矢量线应满足的微分方程为

22、矢量线应满足的微分方程为 222dxdydzxyx yy z2222dxdyxyx ydxdzxyy z 1222zc xxyc 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。 222xyzAxy ex yezy e 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版24矢量线与矢径的关系式：矢量线与矢径的关系式：PA(r)drrO力线图力线图补充内容：关于矢量线补充内容：关于矢量线：0 rdA第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技

23、大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版25三三. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的对于距离的变化率：方向导数表示场沿某方向的对于距离的变化率。0000()()|limlimMllu Mu Muulll 1.1.定义定义： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版

24、社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版262计算公式 直角坐标系中，设函数u=u(x, y, z)在M0(x0, y0, z0)处可微，则有 式中:当l0时 0。 两边同除以 并取极限,得到方向导数计算公式： 其中:cos, cos, cos为l方向的 方向余弦。 可见：方向导数值与点M0及l方向都有关系。0()()uuuuu Mu Mxyzlxyz l0coscoscosPuuuulxyz222cosxxyzAAAAxxyyzzAA eA eA ezoyxAxAyAzA第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编

25、写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版27梯度公式梯度公式：zueueueuz1圆柱坐标系圆柱坐标系 ureurerueursin11球坐标系球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系直角坐标系 四四. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu 意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其所在的方向。场在某点的最大变化率及其所在的方向。1.1.定义定义： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luel第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教

26、育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版28 方向导数的最大值及其方向： 令： 方向单位矢量 矢量 （梯度公式） （给定点处，为常矢量） 则方向导数公式可表示为： 可见: 与 方向相同时,即 ，则方向导数取最大值，即l0coscoscosxyzleeexyzuuuGeeexyz0coscoscosPuuuulxyz0G l0cos( ,)GG l0lG00( ,)0G lmaxuGl2 2、梯度公式、梯度公式第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版

27、社高等教育电子音像出版社 出版出版29. .梯度是矢量。梯度是矢量。. .方向导数，是梯度在该方向上的投影。方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0. .梯度垂直于过该点的等值面（或切平面）梯度垂直于过该点的等值面（或切平面）00PuG ll第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版30 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得

28、P点的梯度为点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，该梯度的单位矢量？处的梯度，该梯度的单位矢量？ (2) 求求 沿该单位矢量方向的方向导数，并以点沿该单位矢量方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。其单位矢量其单位矢量 ：222(1,1,1)2

29、2221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy ooo60cos45cos60coszyxleeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版31 (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleee

30、eyexeel212 yx而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版32例1.3.1 已知证明： 电磁场中，源点坐标（x,y,z）、场点（x,y,z）.RR。2221.()()()xyzRxxyyzzRRRRRe

31、eexyzR因()()(),xyzRe xxeyye zz31./?2. (1/)/?3.( )( )?RR RRR Rf Rf R 证明：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版33一.矢量场的场图：矢量线。 (1)矢量线的性质：线上各点处的切线方向为该点处 矢量方向。 例：电力线、磁力线、流速场中的流线等。 根据矢量线的疏密情况，可判断出该矢量的整体变化趋势。（场线不会相交）+- -1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 第第1 1章章 矢量分析

32、矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版34(2)矢量线方程： 设：P点为矢量 的矢量线上任一点，其位为 。则P处的切线为： ;根据矢量线定义， 必有 直角坐标系中： 矢量线微分方程： 图1.4 矢量线 解该微分方程组，可得矢量线方程，从而描出矢量线。( )A rrdrdl0drAdlxyzrxeyezexxyyzzAe Ae Ae A xyzdxdydzAAAPA(r)drrO第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出

33、版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版35例1.4.1 设点电荷q位于坐标原点，则周围空间的场强为 。求：场强E的矢量线方程？解： 34qErr331212()44()xyzxyzqqErxeyezerrdxdydzAAAdxdzdydzxzyzxc zyc zcc根据得：解得：、 ：任意常数第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版36二二. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述

34、矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量定义：通量定义：nddSe S其中：其中：面元矢量面元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSnddF e S 穿过面元穿过面元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢量由闭合曲面内指是闭合的，则规定曲面法矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是向外，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SSSeFSFddn第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教

35、育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版370通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线净的矢量线穿出穿出0有净的矢有净的矢量线量线进入进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线面的矢量线相等相等矢量场通过闭合曲面通量的矢量场通过闭合曲面通量的3 3种可能结果种可能结果通量物理意义：反映了区域内场源的总体情况。通量物理意义：反映了区域内场源的总体情况。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版38三三. 散度散度 1.散度定义：散度定义：称为矢量场

36、的称为矢量场的散度散度。FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0物理意义：物理意义：表示点表示点P处处单位体积内散发的通量（通量的体密度），单位体积内散发的通量（通量的体密度），反映该点处通量反映该点处通量源的强度源的强度。（正通量源、负通量源）（正通量源、负通量源）第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版39圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx直角坐标

37、系直角坐标系2.2.散度公式散度公式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版40 散度公式的推导散度公式的推导 （直角坐标系直角坐标系） 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF

38、 xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出由此可知，穿出前、后前、后两侧面的净两侧面的净通量值为通量值为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为直角六面体，如图。为直角六面体，如图。根据根据泰勒定理泰勒定理，有：，有：oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版41根据散度定义，得：根据散度定义，得： 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另

39、两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版423. 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 散度定理是闭合面积分与体积分之间的一个变换关系，在散度定理是闭合面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。电磁理论中有着

40、广泛的应用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版43 散度定理的证明nn 1n 1V dVddnVnSS其中：AA AS ASnn(VdnnS 过程：将区域V分成n份（），则A) ASnn 1n 1VdnnSV对于区域 ，则 （）A AS第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版44 例例 球面S上任意点的位置矢量为

41、r=xex+yey+zez。求： VSrdVdSr解：解： 根据散度定理知 3zzyyxxr所以 3343433RRdVrdVdSrVVS?Sr dS第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版451.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 矢量场的矢量场的2种源：通量源、旋涡源。种源：通量源、旋涡源。 有的矢量场由有的矢量场由通量源通量源激发。如：电场激发。如：电场 旋涡源所激发的矢量场特点：旋涡源所激发的矢量场特点：力线是闭合的力线是闭合的，场沿，场沿闭

42、合路径闭合路径的积分不为的积分不为0；对于任何闭合曲面的；对于任何闭合曲面的通量为通量为0。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版46 如：磁场沿任意闭合曲线的积分，与通过闭合曲线所围曲面如：磁场沿任意闭合曲线的积分，与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即的电流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同

43、时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版47. .无旋场无旋场，又称为，又称为保守场保守场：ClzyxFd),(一一. .环流的定义环流的定义 矢量对闭合曲线矢量对闭合曲线C 的线积分。的线积分。. .有旋场有旋场： 。如：电流是磁场的旋涡源。如：电流是磁场的旋涡源。0 0环量的意义：环量的意义：反映闭合曲线内反映闭合曲线内旋涡源的总体情况旋涡源的总体情况。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与

44、电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版48 意义：意义：描述区域内各点处旋涡源的情况。描述区域内各点处旋涡源的情况。SCMFn二二. 旋度旋度（ ） F 1.环流面密度定义环流面密度定义CSlFSFd1limrot0n称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。n 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，其边界曲线记为，其边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕

45、向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限n第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版49 大小：为大小：为M 点的环流面密度最大值；点的环流面密度最大值； 方向：环量密度方向：环量密度取取最大值时面积元的法线方向。最大值时面积元的法线方向。物理意义物理意义：描述了该点处：描述了该点处旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质： 2.旋度旋度maxnnrotFeFFeFnnrot定义定义：第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大

46、学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版50yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度计算公式：旋度计算公式：（推导忽略）（推导忽略）zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系zyxzyxFFFzyxeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版51旋度的有关公式旋度的有关公式：旋度

47、的散度恒为旋度的散度恒为0 0梯度的旋度恒为梯度的旋度恒为0 0FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版52SCSFlFdd三三. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是线积分与面积分之间的定理是线积分与面积分之间的变换关系式，在电磁理论中有广泛应用。变换关系式，在电磁理论中有广泛应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消011dlim()

48、d() d() d()iilSiccciiSiA dlnSSA dlA dlA dlAdS 将面S（边界为c）分成无穷多份AASAS第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版53例 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求：自由空间任意点(r0)电场强度的旋度E ？解: 33()44xyzqqErxeyezerr3333333033440 xyzxyzeeeqExyzxyzrrrqzyxzeeyrzrzrx ryxex ryr 第第1 1章

49、章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版541. 矢量场的源矢量场的源 不同性质的源，它们产生的场具有不同的性质。不同性质的源，它们产生的场具有不同的性质。散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；

50、 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版552. 矢量场按源的分类矢量场按

51、源的分类（1）无旋场：）无旋场： 旋度处处为旋度处处为0的场。的场。 是散度源的激发的矢量场，如：静电场是散度源的激发的矢量场，如：静电场0F无旋场无旋场可用梯度表示：可用梯度表示：例如：静电场例如：静电场0EEuF()0Fu 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版56标量场由梯度完全确定：0dClF 对于无旋场对于无旋场F，有，有 该结论等价于：线积分该结论等价于：线积分 结果与路径无关，只取决于起结果与路径无关，只取决于起点点P和终点和终点Q。 QP

52、F dl( )( )( )QQPPQQPPQPF dlu dludldulu Pu Qu Pu dlCCQ 常数 ：由参考点 的位置决定。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版57（2）无散场）无散场 散度处处为散度处处为0 0的矢量场的矢量场。显然显然：0dSSF0 F无散场可用另一个矢量场的旋度表示：无散场可用另一个矢量场的旋度表示：如：恒定磁场如：恒定磁场AB0BAF0)(AF第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学

53、电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版58（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F （4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 02 u0F 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版590,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社 出版出版601.7 拉普拉斯运算、格林定理拉普拉斯运算、格林定理 一一. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算1.1.标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u定义定义：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直