第二章图像变换技术

1、1数字图像处理数字图像处理张张 鑫鑫2第二章第二章 图像变换技术图像变换技术5n图像变换使图像在视觉上失去了原有图像的形态，尽管视觉上不同，但是保留了很多本质特征。6n一般变换后的图象，大部分能量都分布于低频谱段，这对以后图象的压缩、传输都比较有利。 n经过变换后的图像更有利于特征抽取、增强、压缩和图像编码。n应用于图像滤波、图像压缩、图像识别7采样数减少一半采样数减少一半8v1、正向变换核、反向变换核v2、可分离的v3、正交变换对2-D的情况，正变换和逆变换分别表示为：反向变换核。分别称为正向变换核和和)v, u, y, x(k),(1,.,1 , 0,),(),(),(1,.,1 , 0,

2、),(),(),(10101010vuyxhNyxvuyxkvuTyxfNvuvuyxhyxfvuTNuNvNxNy),(),(),(21vyhuxhvuyxhA为实矩阵，称A为正交矩阵TAA1基础知识基础知识9一般了解：v盖伯变换v沃尔什和哈达玛变换v霍特林变换vRadon变换v小波变换基础102.1 傅里叶变换傅里叶变换 11n一个恰当的比喻是将傅里叶变换比做一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物理仪器，每个成分的颜色由波长(或频率)决定。n傅里叶变换可看做“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。当我们考虑光时，讨论它的光谱或频率谱线。同样，傅里叶变换使我们能够通过频率成分

3、来分析一个函数。 一维傅立叶变换对的定义为 dueuFxfuFFdxexfuFxfFuxjuxj212)()()()()()(式中： ，x称为时域变量，u称为频域变量。 1j 以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x, y)满足狄里克雷条件，则它的二维傅立叶变换对为 dudvevuFyxfvuFFdxdyeyxfvuFyxfFvyuxjvyuxj)(21)(2),(),(),(),(),(),( 式中：x, y为时域变量；u, v为频域变量。 离散傅立叶变换 在数字图像处理中应用傅立叶变换，需要解决两个问题：1) 在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号， 而计算

4、机处理的是数字信号（图像数据）；2) 数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。 通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT)。 设f(x)|f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离散傅立叶变换对为 NuxjNxNuxjNxeuFxfuFFexfNuFxfF/2101/210)()()()(1)()(式中：x，u=0， 1， 2， , N1。 N为阶数(order)由于 sincosjej利用cos()=cos()，可得 102sin2cos)(1)(NxNuxjNuxx

5、fNuF 可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。 n1.1-D傅里叶变换151, 1 , 0/2exp)()()(1, 1 , 0/2exp)(1)()(10110NxNuxjuFxfuFFNuNuxjxfNuFxfFNuNx16 )()(arctan)()()(| )(|)(exp| )(|)()()(2122uRuIuuIuRuFujuFujIuRuF傅里叶频谱傅里叶频谱（幅度谱）（幅度谱）相位角相位角（相位谱）（相位谱）)()(| )(|)(2

6、22uIuRuFuP功率谱功率谱n2. 2-D傅里叶变换1, 1 , 0,/ )(2exp),(1),(1, 1 , 0,/ )(2exp),(1),(10101010NyxNvyuxjvuFNyxfNvuNvyuxjyxfNvuFNuNvNxNy傅立叶变换例子（一） 原图像 幅度谱幅度谱相位谱相位谱傅立叶变换例子（二） 原图像 幅度谱幅度谱相位谱相位谱 202.2 傅里叶变换的性质n1. 分离性211, 1 , 0,2exp),(1),(1, 1 , 0 2exp),(1),(1, 1 , 0,2exp),(2exp1),(10101010NvuNuxjvxFNvuFNvNvyjyxfNNv

7、xFNvuNvyjyxfNuxjNvuFNxNyNxNy一个一个2-D傅里叶变换可由连续两次运用傅里叶变换可由连续两次运用1-D傅里叶变换来实现傅里叶变换来实现先对先对f(x, y)按行进行傅立叶变换得到按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅的傅立叶变换结果。立叶变换结果。n2.平移性质23NvyuxNyvxuvuFyyxxfvvuuFyxf/ )(j2-0000/ )(j20000e ),(),(),(e ),(第一个公式表明将第一个公式表明将f（x,y）与一个指数项相乘就相当于把其）与一个指数项相乘

8、就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。变换后的频域中心移动到新的位置。第二公式表明将第二公式表明将F(u,v)与一个指数相乘相当于把其反变换后与一个指数相乘相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。的空域中心移动到新的位置。平移性质推倒平移性质推倒),(),(00/ )(j200vvuuFeyxfNyvxu)( ),(),( 1),( 1),(001010/ )()(j21010/ )(j2/ )(j2/ )(j2000000vvuuFeyxfNeeyxfNeyxfNxNyNyvvxuuNxNyNvyuxNyvxuNyvxu F),(),(vuFyxf下图是简单方块图像平移的结果下图是

9、简单方块图像平移的结果 傅立叶频谱平移示意图傅立叶频谱平移示意图(a) 原图像；（原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱）平移后的傅立叶频谱 (a) (b) (c) 26n3.周期性和共轭对称性27),(),(),(),(NvNuFNvuFvNuFvuF只需一个周期里的变换就可将只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全确定在频域里完全确定| ),(| ),(|),(),(*vuFvuFvuFvuF只需一半的变换就可将整个变换完全确定只需一半的变换就可将整个变换完全确定n4.旋转性质28f(x,y)旋转一个角度对应于将其傅里叶变换旋转一个角度

10、对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转相同的角度也旋转相同的角度29离散傅立叶变换的旋转不变性离散傅立叶变换的旋转不变性（a） 原始图像；原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱；原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转旋转45后的图像；后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱图像旋转后的傅立叶频谱 (a)(b)(d)(c)n5.分配率31),(),(),(),(2121yxfFyxfFyxfyxfF),(),(),(),(2121yxfFyxfFyxfyxfFn6.尺度变换（相似定理：similarity theorem） 32（1）对）对f(x,y)在幅度方面的尺度变换导致对其傅里叶变换在幅

11、度方面的尺度变换导致对其傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的对应尺度变化。在幅度方面的对应尺度变化。（2）对对 f(x, y) 在空间尺度方面的放缩导致对其傅里叶变在空间尺度方面的放缩导致对其傅里叶变换换F(u, v)在频域尺度方面的相反放缩。在频域尺度方面的相反放缩。（3）对对f(x, y)的收缩的收缩(对应对应a1, b1)不仅导致不仅导致F(u, v)空间空间的膨胀的膨胀，还使还使F(u, v)的幅度减小的幅度减小。33n7.平均值34对一个对一个2-D离散函数，其平均值可用下式表示：离散函数，其平均值可用下式表示：1010),(1)0 , 0(NxNyyxfNF)0 , 0(1),(FN

12、yxf如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级. 358.卷积定理卷积定理36Matlab实现实现37nd=zeros(32,32);nd(13:20,13:20)=1;nfigure(1);nimshow(d,notruesize);nD=fft2(d);nfigure(2);nimshow(abs(D),-1 5,notruesize);n%imshow(log(abs(D),-1 5,notruesize);n%DF=fftshift(D);n%imshow(log(abs(DF),-1 5,notruesize);38在图 (b)中u方向谱的零点分隔恰好是v

13、方向零点分隔的两倍。这却相反地符合图像中1：2的矩形尺寸比例。 图(a)显示了在512512像素尺寸的黑色背景上叠加一个2040像素尺寸的白色矩形。 39Matlab实现实现 404142图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚43442.3离散余弦变换离散余弦变换 45原图余弦变换将大部分信息滤掉重构图像46n余弦变换是傅里叶变换的一种特殊情况。在傅里叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，那么，其傅里叶级数中只包含余弦项，再将其离散化由此可导出余弦变换，或称之为离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）。nDCT也是一种可分离变换1.变换定义变换定义47一维

14、一维DCT102) 12(cos)()()(NxNuxxfuuC1,.,1 , 0Nu102) 12(cos)()()(NuNuxuCuaxf1,.,1 , 0Nx0201)(uNuNua48二维二维DCTNvyNuxyxfvauvuCNxNy2) 12(cos2) 12(cos),()()(),(10101,.,1 , 0,NvuNvyNuxvuCvauayxfNuNv2) 12(cos2) 12(cos),()()(),(10101,.,1 , 0,NyxNvyNuxvauvuyxg2)12(cos2)12(cos)()(),(NvyNuxvauvuyxh2)12(cos2)12(cos)

15、()(),(正变换核正变换核反变换核反变换核n例题nP36 例2.3.1离散余弦变换核的值4950Matlab实现实现51Matlab实现实现 图图b左上角对应低频分量，图左上角对应低频分量，图a中的大部分能量在低频部分。中的大部分能量在低频部分。52n两图给出离散余弦变换的一个示例，其中左图是一幅原始图象，右图是对左图的离散余弦变换结果（变换幅值）。右图左上角对应低频分量，由图可见，左图中的大部分能量在低频部分。 53应应 用用例如，在JPEG图像压缩算法中，首先将输入图像划分为88的方块，然后对每一个方块执行二维离散余弦变换，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像

16、格式。在接收端，将量化的DCT系数进行解码，并对每个88方块进行二维IDCT，最后将操作完成后的块组合成一幅完整的图像。 54Gabor变换属于加窗傅立叶变换，变换属于加窗傅立叶变换，Gabor函数可以在频域不同尺度、函数可以在频域不同尺度、不同方向上提取相关的特征。另不同方向上提取相关的特征。另外外Gabor函数与人眼的生物作用函数与人眼的生物作用相仿，相仿，所以经常用作纹理识别上所以经常用作纹理识别上，并取得了较好的效果。并取得了较好的效果。n2.4 盖伯变换5556离散沃尔什变换离散沃尔什变换 沃尔什变换具有某种能量集中。而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上

17、。因此沃尔什变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。v沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什(Walsh)提出的。v由于沃尔什变换核矩阵中只有+1和-1两种元素，v因而在计算沃尔什变换过程中只有加减运算而没有乘法运算，v从而大大提高了运算速度。这一点对图像处理来说至关重要，v特别是在实时处理大量数据时，沃尔什变换更加显示出其优越性。5758n哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换；变换；n其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行的次其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行的次序不同；序不同；n哈达玛变换最大优点在于变换核矩阵具有简哈达玛变换最大优点在于变换核

18、矩阵具有简单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低阶转换矩阵构成。阶转换矩阵构成。第59页第4章 图像变换n例: 几种变换比较原始图像原始图像 傅立叶变换傅立叶变换离散余弦变换离散余弦变换 沃尔什变换沃尔什变换606162变换变换 霍特林（Hotelling）变换是一种基于图像统计特性的变换霍特林变换可直接用于对数字图像的变换它在连续域对应的变换是KL（Karhunen-Loeve）变换霍特林变换：特征值变换、主分量变换、离散KL变换 63n这种变换用于图像压缩、滤波和特征抽取时在均方误差意义下是最优的。但在实际应用中往往不能获得真正协方差矩阵，所以不一定有

19、最优效果。它的运算较复杂且没有统一的快速算法。6566Radon变换变换 Radon变换是计算图像在某一指定角度射线方向上投影的变换方法在垂直方向上的二维线积分就是在x轴上的投影在水平方向上的二维线积分就是在y轴上的投影67Radon变换变换 68Radon变换变换 69Matlab实现实现 I表示需要变换的图像 Theta表示变换的角度 R的各行返回theta中各方向上的radon变换值 xp表示向量沿轴相应的坐标轴radon逆变换可以根据投影数据重建图像,在X射线断层摄影分析中常常使用70Matlab实现实现 7172目标识别目标识别第73页第4章 图像变换MatLab函数n傅立叶变换例：

20、傅立叶正反变换 I=imread(lena.tif); J=fft2(I); K=ifft2(J); subplot(2,2,1),imshow(I); subplot(2,2,2),imshow(log(abs(J),); subplot(2,2,3),imshow(log(abs(fftshift(J),); subplot(2,2,4),imshow(uint8(abs(K);原始图像原始图像频谱频谱（无平移）（无平移）频谱频谱（平移）（平移）逆变换图像逆变换图像第74页第4章 图像变换MatLab函数n离散余弦变换nB=dct2(I)：计算图像I的二维离散余弦变换nB=idct2(I)

21、：计算图像I的二维离散余弦变换的反变换n例nI=imread(lena.tif);nJ=dct2(I);nimshow(log(abs(J),);n2.5 小波变换基础757677n小波小波(Wavelet)(Wavelet) ：“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。78小波变换发展历史n1、小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。 n2、1986年小波分析才开始蓬勃发展起来，它与Fourier变换

22、、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜” 。79n3、小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，它是继1822年法国人傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的发展，解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题。傅立叶变换虽然已经广泛地应用于信号处理领域，较好地描述了信号的频率特性，取得了很多重要的成果，但傅立叶变换却不能较好地解决突变信号与非平稳信号的问题。

23、n4、小波变换可以被看作是傅立叶变换的发展，即它是空间（时间）和频率的局部变换。与傅立叶变换一样，小波变换的基本思想是将信号展开成一族基函数之加权和，即用一族函数来表示或逼近信号或函数。这一族函数是通过基本函数的平移和伸缩构成的。 80应用n(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。n(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提

24、取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。n(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。 81在图像编码中的应用n小波被看作是一种用于多层次分解函数的数学工具。n图像信号(数据)经过小波变换后可以用小波系数来描述，小波系数体现原图像信息(数据)性质，图像信息(数据)的局部特征可以通过处理小波系数而改变。82n小波变换用于图象编码的基本思想就是把图象进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图象，然后再对子图象进行系数编码。n系数编码是小波变换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。根据塔式分解算法，图象经

25、过小波变换后被分割成四个频带：水平、垂直、对角线和低频，低频部分还可以继续分解。 83子图像子图像LL1LL1是低频分量，为原图的近似子图像；是低频分量，为原图的近似子图像；子图像子图像HL1HL1是水平方向低频、垂直方向高频的分量，是水平方向低频、垂直方向高频的分量，表现原图的水平边缘；表现原图的水平边缘；子图像子图像LH1LH1是水平方向高频、垂直方向低频的分量，是水平方向高频、垂直方向低频的分量，表现原图的垂直边缘；表现原图的垂直边缘；子图像子图像HH1HH1是高频分量，表现原图像的斜边缘。是高频分量，表现原图像的斜边缘。848586n低频部分可以称作亮度图象，水平、垂直和对角线部分可以

26、称作细节图象。n对所得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。 87其他编码方法和小波编码方法，压缩比：其他编码方法和小波编码方法，压缩比：34：1，67：188n小波概念n小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，它的波形如图 (b)所示。图(a)是大家所熟悉的正弦波，图(b)是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种一维小波。在图在图(b)(b)所示的小波中，所示的小波中，缩放函数和小波函数的缩放函数和小波函数的名称大多数是以开发者的名称大多数是以开发者的名字命名的，名字命名的，与图与图(a)(a)相比，图相比，图(b)(b)所示的小波具有有所示的小波具

27、有有限的持续时间和突变的频率和振幅，波限的持续时间和突变的频率和振幅，波形可以是不规则的，也可以是不对称的，形可以是不规则的，也可以是不对称的，在整个时间范围里的幅度平均值为零。在整个时间范围里的幅度平均值为零。而正弦波和余弦波具有无限的持续时间，而正弦波和余弦波具有无限的持续时间，它可从负无穷扩展到正无穷，波形是平它可从负无穷扩展到正无穷，波形是平滑的，它的振幅和频率也是恒定滑的，它的振幅和频率也是恒定的。的。89n在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。如果没有现成的小波可用，那么还需

28、要自己开发适用的小波。9091n小结92谢谢 谢谢93离散哈达玛变换离散哈达玛变换 )()(1010) 1( )(1)(ubxbNxiNiixfNuB1, 1 , 0Nu)()(1010) 1( )()(ubxbNuiNiiuBxf1, 1 , 0Nx94离散哈达玛变换离散哈达玛变换 95离散哈达玛变换离散哈达玛变换 )()()()(1010210) 1( ),(1),(vbybubxbNxNyiNiiiiyxfNvuB1, 1 , 0,Nvu)()()()(101010) 1( ),(),(vbybubxbNuNviNiiiivuByxf1, 1 , 0,Nyx96一维一维FFT设N=2n，

29、经过n步计算后，其结果为其中 的二进制表示为100011221120121)2222()(kkkkkkkkknnnnnn1, 1 , 0 1 , 0niki101021120121210)2222(),(nnnnnnkkkkkkkkl97一维一维FFT 当，将变换矩阵分解成 个矩阵，使每个矩阵中每一行仅含有两个非零元素。有两种分解方法：一种是按时间分解一种是按频率分解98一维一维FFTu和x的二进制表示为 10)()()(NxuxWxfxfDFTuF1, 1 , 0Nu100011221120111100011221120111)2222(),()2222(),(uuuuuuuuuxxxxxx

30、xxxnnnnnnnnnnnn10)2222)(2222(012101210011221100112211),(),( NxuuuuxxxxnnnnnnnnnnnnWxxxxfuuuuF99一维一维FFTN=8=23 101010)222)(222(012012012001122001122),(),( xxxuuuxxxWxxxfuuuF000112210102000112210011222001122001122001122)222(2)2(4)222(2)222(4)222()222)(222( xuuuxuuuxxuuuxuuuxuuuuuuxxxuxWWWWWWWW1, 1, 121

31、12228816uxuxuxWWW 101010)222(2)2(4012012012000112210102),(),( xxxxuuuxuuuxWWWxxxfuuuF100一维一维FFTN=8=23 1040120101202),(),( xuxWxxxfxxuf040101), 1 (), 0( uWxxfxxf10)24(010101021101),(),( xxuuWxxufxuuf)24(00100101), 1 ,(), 0 ,(uuWxufxuf10)24(0102210300012),(),(xxuuuWxuufuuuf01224102102) 1 ,()0 ,(uuuWuu

32、fuuf),(),(2103012uuufuuuF101一维一维FFT) 1 , 1 , 1 ()0 , 1 , 1 () 1 , 0 , 1 ()0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 0() 1 , 0 , 0()0 , 0 , 0(11111111) 1 , 1 , 1 ()0 , 1 , 1 () 1 , 0 , 1 ()0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 0() 1 , 0 , 0()0 , 0 , 0(4444000011111111ffffffffWWWWWWWWffffffff102一维一维FFT) 1 , 1 , 1 ()0

33、 , 1 , 1 () 1 , 0 , 1 ()0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 0() 1 , 0 , 0()0 , 0 , 0(0100010100201010001010001) 1 , 1 , 1 ()0 , 1 , 1 () 1 , 0 , 1 ()0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 0() 1 , 0 , 0()0 , 0 , 0(11111111662440022222222ffffffffWWWWWWWWffffffff103一维一维FFT) 1 , 1 , 1 ()0 , 1 , 1 () 1 , 0 , 1 ()0

34、, 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 0() 1 , 0 , 0()0 , 0 , 0(11111111) 1 , 1 , 1 ()0 , 1 , 1 () 1 , 0 , 1 ()0 , 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 0() 1 , 0 , 0()0 , 0 , 0(222222227351624033333333ffffffffWWWWWWWWffffffff104一维一维FFT105一维一维FFT(1) 整个流程需要的计算步数为n=log2N (N=2n)；(2) 在第r步计算中，要乘的因子为nrsWrsNr, 1 ; 12 , 1 , 0

35、 12(3) 第r步计算中有2r-1个组，每组有（N/2r-1）个元素，每组的W因子各不相同，且每组只有一种类型的W因子，此因子在组中上一半为正，下一半为负。106一维一维FFT(4) 对比DFT与IDFT的定义式，只要将上述FFT算法中W因子用其共轭代替，并将最后结果乘以1/N，就是计算IDFT即离散傅里叶反变换的快速算法。(5) 在每步计算中，需要的乘法次数N/2，加法次数为N，因此FFT的总计算量为： 乘法次数为 加法次数为 而直接计算DFT的计算量为：乘法次数为N2，加法次数为N(N-1)。当N=2048时，DFT需要4194304次乘法运算，而FFT只需要11264次乘法运算，二者之

36、比为 NN2log2NN2log4 .372)log2/(22NNN107二维二维DFT性质性质NuxjNvyjNxNyeeyxfvuF/2/21010),(),( 1, 1 , 0,NvuNuxjNvyjNuNveevuFNyxf/2/210102),(1),( 1, 1 , 0,Nyx108二维二维DFT性质性质),(),(),(),(2211vuFyxfvuFyxf),(),(),(),(2121vubFvuaFyxbfyxaf109二维二维DFT性质性质),(),(vuFyxf),(),(nNvmNuFvuF),(),(*vuFyxf110二维二维DFT性质性质),(),(vuFyxf

37、NvyuxjevuFyyxxf/ )(20000),(),(),(),(00/ )(200vvuuFeyxfNyvxuj111二维二维DFT性质性质),(),(vuFyxf),(|1),(bvauFabbyaxf112二维二维DFT性质性质),(),(wFrf),(),(00wFrf113二维二维DFT性质性质10102),(1),(NuNvyxfNyxf10102),(1)0 , 0(NuNvyxfNF)0 , 0(),(Fyxfu=v=0114二维二维DFT性质性质),(),(),(),(vuGyxgvuFyxf),(),(),(),(vuGvuFyxgyxf),(),(),(),(vuG

38、vuFyxgyxf115二维二维FFTNvyjNyeyxfvxF/210),(),(1, 1 , 0Nv10/2),(),(NxNuxjevxFvuF1, 1 , 0Nu116二维二维FFT117 00200,22juN vNF u vF uu vveF u vNNF uvF u傅立叶变换以零点为中心，导致谱图象最亮点在图象的左上角。为符合正常习惯，将的原零点从左上角移到显示屏的中心。118如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级. 对于一个二维离散时间信号，其平均值可以表示为对于一个二维离散时间信号，其平均值可以表示为MuNvyxfMNyxf00),(1),(11

39、9120n下面的解释节选于Dana Mackenzie所著、受到高度推崇的“小波: 既见森林又见树木”一书。 121n考虑一下我们是如何看风景的。如果你在夏天从飞机上向下看，森林就是铺天盖地的绿色。然而，若是你开车从旁边经过，你见到的是一棵棵的树木。如果你停下来，走得更靠近一些，你就能看清枝杈和树叶。再近些，你还要可以看见树叶上的露珠和昆虫。而用放大镜，你就能看清树叶和其脉络的构造细节。 122n当我们更靠近一个物体时，我们的视野就变窄了，看见越来越细微的细节。换言之，当我们的范围变得更小时，我们的分辨率就更高。我们的眼睛和思维能很快适应视野的变化，从宏观转到微观。可惜我们不能将此技术应用于照

40、片或计算机化的数字图像。 123n如果你放大一张森林的照片（好像你在试图“走近”一棵树木），你所见到的是更模糊的图像;。你不能分辨出枝杈、树叶或露珠。不管你在电影里看到什么，任何“锐化”或处理都无助你看清细节，这些细节原本就没有编码进图像。我们见不到比像素更小的东西，照相机一次只能给我们提供一种分辨率。 124n小波算法允许我们以不同等级的细节（分辨率）和利用更大的压缩（比例尺），记录或处理一个场景的不同区域。本质上，它们让我们在更近的距离上拍摄新的照片。如果你从一个很宽的视野看数据的集合（也称信号），你将看到大尺寸的特性，在更小、更靠近的视野上，你能观察到更细小的特性。 125n与傅里叶分析

41、中使用的无限重复的正弦波不同，小波常常是不规则的和非对称的，随着离中心点越来越远，其数值逐渐靠近零。通过把数据流分解成小波，常常就有可能保存甚至增强信号和信息有关时序的具体的局部特性。 126n小波几乎可以采用任何波形，在小波应用中正在做的大量工作是基于发现对处理的数据类型有效的相应的小波函数。 127n第一个小波函数是简单的方波，它是由数学家Alfred Harr在二十世纪初发现的。然而，该领域真正的发展始于上世纪八十年代中期，当时在一家法国石油公司工作的工程师Jean Morlet开发了小波变换分析来解释地震数据。然后他与物理学家Alex Grossmann合作，建立了正式的数学模型。 1

42、28n小波的发展已经远远超出了当初的地球物理学基础，今天小波被用于各种不同的目的，特别是在数字成像和压缩领域。 129n例如，根据你的需求，依据你愿意放弃多少细节或精度，你可以使用不同类型的压缩，来降低数字图像的大小。基于小波的压缩比其他类型有高得多的效率。小波还能实现想象不到的细微细节和纹理绘图，如动画电影Monster, Inc.中有真实感的头发绘制，同时仍能使文件的大小和处理的时间在能接受的范围内。 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化

43、缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。的数学意义上看，烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。由于空间是三维的，图像

44、是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的

45、亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱

46、图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律到圆心除了可以清晰地看

47、出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰n知识回顾n第一章n傅里叶变换n傅里叶变换的性质132下图给出2个1-D函数f (z)和g(z)卷积的示例。先如图(c)将g(z)沿原点对折得到g( z)，再如图(d)将结果平移x。现在对任意x值将f (z)和g(x z)相乘。这里分2种情况：如果0 x 1，见图(e)；如果1 x 2，见图(f)；乘积均如图中阴影所示。把这些乘积从 到 积分就得到如图(