同角三角函数的基本关系

1、 临河一职临河一职 数学组数学组 李海燕李海燕一、创设情境：一、创设情境：M 问题问题2. 如图如图1，三角函数线是：，三角函数线是：正弦线正弦线；余弦线余弦线；正切线正切线.yxxy)0( xMPOMAT)0 , 1 (ATcos；tansin；问题问题3. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题问题1. 如图如图1，设，设 是一个任意角，是一个任意角， 它的它的终边终边 与与单位圆单位圆交于交于 ，那么，那么),(

2、yxPOxyP图1二、探究新知：二、探究新知：问题问题 当角当角 的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？关系式是否还成立？对于任意角对于任意角 都有都有)(,R结论：结论：1cossin22平方关系平方关系问题问题 当角当角 的终边不在坐标轴时，正弦、的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？（余弦之间的关系是什么？（如图如图2 ）1、探究同角正弦、余弦之间的关系、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2222OPOMMP122 xy 当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上时坐标轴上时,x110cossin22101cossin22y当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上

3、时坐标轴上时,1cossin22OPOM 角角 的的正弦线正弦线 ，余弦线，余弦线 ,半经半经 三者的长构成直角三角形，而且三者的长构成直角三角形，而且 ，由勾股定理得由勾股定理得 因此因此 ，即，即 MP1OP质疑： 能写成 吗？ “同角”是什么含义？2sin2sin（不能）（一是“角相等”，二是对“任意一个角”）2.观察任意角观察任意角 的三角函数的定义的三角函数的定义,siny,cosx)0( ,tanxxytancossin商的关系商的关系注：注：商的关系不是对任意角都成立商的关系不是对任意角都成立 ,是在等式两边都有意是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立义的情况下，等式才成立),

4、2(Zkk有什么样的关系呢？、tancossin思考：思考： 同一角同一角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角商等于角 的正切的正切结论：结论：讨论交流：讨论交流：特点、公式1cossin122移项变形：移项变形：2222cos1sinsin1cos常用于正弦、余弦函数常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。的相互转化，相互求解。注：注：在开方时，由角在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。所在的象限来确定开方后的符号。即即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1sin是一、四象限时当是二、三象限时，当,sin1sin122cos例题例题 的值

5、），求，（，且已知tan,cos253sin2516)53(1sin1cos222解：解：得由1cossin22 542516cos43)54()53(cossintan时，当),2(果又会是什么情形呢？不加任何条件限制，结想一想：若对角例题例题6 .tan,cos53sin的值，求已知解：解：2516)53(1sin1cos222当 是第三象限角时， 0cos542516cos43)54()53(cossintan当 是第四象限角时，0cos542516cos4354)53(cossintan例题互动例题互动自我诊断：自我诊断：43cossintan54sin1cos53sin2得得解：由如

6、何应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值1sin0sin且是第三或第四象限角角得由1cossin22分类讨论法三、应用反馈：三、应用反馈：的值求是第四象限角，且、已知问题cos,sin3tan1解：解：cossintan3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin,为第四象限角1cossin22tancossin构建方程（组）的思想方法四、归纳总结：四、归纳总结：（1）同角三角函数的基本关系式）同角三角函数的基本关系式R, 1cossin22),2( ,tancossinZkkcossintan,1cossin22（前提是（前提是“同角同角”， 因此因此 ） 本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法哪些数学知识与方法(2) 分类讨论的数学思想方法、构建方程组的方法分类讨论的数学思想方法、构建方程组的方法达标检测：一、填空题_;tan, 1_1sin2：、同角三角函数关系式._)sin1)(s