理学高等数学下学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)高等数学下高等数学下第一页，共50页。第1页/共50页第二页，共50页。说明说明(shumng)：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数）二元函数(hnsh)的极限运算法则与一元函数的极限运算法则与一元函数(hnsh)类似类似第2页/共50页第三页，共50页。课内练习课内练习 p63,6(6) 222222001 cos()lim.()x yxyxyxye02222)()cos(1lim22220yxyxeyxyx2222)()(21lim

2、222220yxyxeyxyx222222001 cos()lim.()x yxyxyexy第3页/共50页第四页，共50页。确定极限确定极限(jxin)不存在的方法：不存在的方法：第4页/共50页第五页，共50页。多元多元(du yun)函数的连函数的连续性续性 定义定义(dngy)3 . 设设 二二 元函数元函数)(Pf定义(dngy)在 D 上,0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上000P(x ,y ) D,聚点如果否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 二元函数连续.连续,

3、第5页/共50页第六页，共50页。直观上来看，二元连续函数的图像直观上来看，二元连续函数的图像(t xin)就是一连绵不断地就是一连绵不断地曲面曲面第6页/共50页第七页，共50页。),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面(pngmin)连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数(hnsh) , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得第7页/共50页第八页，共50页。,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm* (4

4、) f (P) 必在必在D 上一致上一致(yzh)连续连续 .;,)(DPKPf使在 D 上可取得(qd)最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 第8页/共50页第九页，共50页。一、一、 偏导数偏导数(do sh)概念概念及其计算及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数(do sh) 偏 导 数 第九章 第9页/共50页第十页，共50页。偏导数定义偏导数定义(dngy)及及其计算法其计算法第10页/共50页第十一页，共50页。一、一、 偏导数偏导数(do

5、 sh)定义及定义及其计算法其计算法( )yf x00()()yf xxf x 回忆回忆(huy)一元函数的导数一元函数的导数0000()()limlimxxf xxf xyxx ( )fx第11页/共50页第十二页，共50页。二元函数二元函数(hnsh)的偏导数的偏导数( , )zf x yxz0000(,)(,)f xx yf xy关于关于(guny)x的偏增量的偏增量0limxxzx 00000(,)(,)limxf xx yf xyx 00(,)xfxy00(,)|xyzx f (x,y)对自变量对自变量x的偏导数的偏导数(do sh)第12页/共50页第十三页，共50页。yz0000

6、(,)(,)f xyyf xy关于关于(guny)y的偏增量的偏增量0limyyzy 00000(,)(,)limyf xyyf xyy 00(,)yfxy00(,)|xyzy f(x,y)对自变量对自变量y的偏导数的偏导数(do sh)第13页/共50页第十四页，共50页。偏导函数偏导函数(hnsh)：( , )xfx y( , )yfx y( , )x yD区域 zxfxxzxfxfzyfyyzyfyf第14页/共50页第十五页，共50页。偏导数的概念偏导数的概念(ginin)可以推广到二元以上函数可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx0(, , )( ,

7、, )( , , )lim,xxfy zf x y zfxxxzxy 0( , )( , , )( , , )lim,yyyf xzf x y zxzyfyy 0( , ,)( , , )( , , )lim.zzf x yf xzzzzy zfx y 第15页/共50页第十六页，共50页。求偏导数求偏导数(do sh)的方法？的方法？比较比较(bjio)导数的定义导数的定义和偏导数和偏导数(do sh)的定义的定义0()( )limxdyf xxf xdxx 0(, )( , )limxzf xx yf x yxx 偏导数实际上就是导数偏导数实际上就是导数第16页/共50页第十七页，共50页

8、。求偏导数求偏导数(do sh)的方法的方法要求要求(yoqi)偏导数偏导数zx只需将自变量只需将自变量y暂时看成暂时看成(kn chn)不变的常量不变的常量对自变量对自变量x求导数即可。求导数即可。( , )f x yx( , )f x yddxy 视为常量要求偏导数要求偏导数zy只需将自变量只需将自变量x暂时看成不变的常量暂时看成不变的常量对自变量对自变量y求导数即可。求导数即可。( , )f x yy( , )f x yddy同理！第17页/共50页第十八页，共50页。例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 2

9、1yxxz,82312 21yxyz.72213 第18页/共50页第十九页，共50页。课内课内练习练习( , )sincos(),(0,),(,0)22xyf x yxyyxyff求解解( , )sinsin(),xfx yyyxy( , )coscos()sin(),yfx yxyxyyxy(0,)122xf (,0)22yf第19页/共50页第二十页，共50页。注注也可以先将也可以先将 代入，得一元函数代入，得一元函数2y然后然后(rnhu)对对x求导：求导：( )( ,)cos()222g xf xxxsin2xx( )(sin )1cos22g xxxx (0,)(0)2xfg12

10、课内课内练习练习( , )sincos(),(0,),(,0)22xyf x yxyyxyff求第20页/共50页第二十一页，共50页。例例2 (0,1),12 .lnyzxxxxzzzy xx x设求证证证()yxzxx1yyx幂函数求导公式幂函数求导公式(gngsh)() yyzxylnyxx指数函数指数函数(zh sh hn sh)求导公式求导公式111lnlnlnyyxzzxyxxxy xx yyx2yyyxxx2z第21页/共50页第二十二页，共50页。例例3. 求222zyxr的偏导数(do sh) . 解解:xryr2222zyxx2rxzrrz,yr同理，由对称性，得同理，由对

11、称性，得第22页/共50页第二十三页，共50页。利用利用(lyng)对称性求偏导数的一个小窍门：对称性求偏导数的一个小窍门：如果如果(rgu)函数函数f(x,y)关于自变量关于自变量x和和y对称对称：( , )( , )f x yf y x则则( , )( , )xfx yx y( , )( , )yfx yy x例如例如(lr)22( , )ln()f x yxxyy222( , )xxyfx yxxyy222( , )yyxfx yxxyy第23页/共50页第二十四页，共50页。偏导数(do sh)记号是一个求证(qizhng):1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVp

12、T pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,第24页/共50页第二十五页，共50页。二元函数二元函数(hnsh)偏导数的偏导数的几何意义几何意义第25页/共50页第二十六页，共50页。导数导数 反映出曲线反映出曲线 在点在点P( )处的处的倾斜程度倾斜程度0()fx( )yf x00,xy曲线曲线(qxin)越陡，导越陡，导数越大。数越大。第26页/共50页第二十七页，共50页。处切线的斜率在点是曲线),()()( 000yxPxfyxf第27页/共50页第二十八页，共50页。的斜率：切线PTtankkkx0

13、limxyx0limxxfxxfx)()(lim000第28页/共50页第二十九页，共50页。偏导数的几何意义xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000的变化率（倾斜度）轴方向处沿在点表示函数xyxMyxfz),(),(000是曲线偏导数),(00yxfx0),(:yyyxfzl处的切线的斜率在点0 xx tan),(00yxfx第29页/共50页第三十页，共50页。第30页/共50页第三十一页，共50页。第31页/共50页第三十二页，共50页。00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线(qxi

14、n)0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线(qixin)对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线0 xyTyxzOxT0y对 y 轴的0M),(00yx第32页/共50页第三十三页，共50页。偏导数偏导数(do sh)存在与连续存在与连续的关系的关系第33页/共50页第三十四页，共50页。、偏导数存在、偏导数存在(cnzi)与连续的关系与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数但函数(hnsh)在该点处并不在该点处并不连续连续.偏导数偏导数(d

15、o sh)存在存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，第34页/共50页第三十五页，共50页。偏导数存在与连续偏导数存在与连续(linx)的关系的关系出现一断层沿曲线作一切割（切线）依然存在处的偏导数在点),(00yx极限已经不连续，甚至没有处，函数但是在点),(00yx第35页/共50页第三十六页，共50页。第36页/共50页第三十七页，共50页。高阶偏导数高阶偏导数(do sh)第37页/共50页第三十八页，共50页。设 z = f (x , y)在域 D 内存在(cnzi)连续的偏导数),(,

16、 ),(yxfyzyxfxzyx若这两个(lin )偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:第38页/共50页第三十九页，共50页。例如，例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶的三阶(sn ji)偏导数为偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于(guny) x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于(guny) y 的一阶) (yyxznn1偏

17、导数为11nnxz第39页/共50页第四十页，共50页。高阶偏导数fxfyfxxfxyfyxfyyfxxxfxxyfxyxfxyyfyxxfyxyfyyxfyyyfxyxxfxyxyf第40页/共50页第四十一页，共50页。22exy2exyz.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意(zh (zh y):y):此处此处,22xyzyxz但这一结论(jiln)并不总成立.2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二阶偏导数(do sh)及 第41页/共50页第四十二页，共50页。0,)(4222224224yxyxyyx

18、xxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx第42页/共50页第四十三页，共50页。,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则例如例如(lr), 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfz

19、yxfzyxfyxzxzyzyx说明说明(shumng):本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 证明 第43页/共50页第四十四页，共50页。222,1zyxrru满足(mnz)拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用(lyng)对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0第44页/共50页第四十五页，共50页。课内课内练习