理学概率统计浙大学习教案

1、会计学1理学概率理学概率(gil)统计浙大统计浙大第一页，共96页。 1、有些试验、有些试验(shyn)结果本身与数值有关（本身结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）. 例如例如(lr)，掷一颗骰子面上出现的点数；，掷一颗骰子面上出现的点数； 四月份哈尔滨的最高温度四月份哈尔滨的最高温度(wnd)；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；第1页/共97页第二页，共96页。2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以可以(ky)引进一个变量来表示它的各种结果引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，也

2、就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫号码码(hom)一样一样，二者建立了一，二者建立了一种对应关系种对应关系. 第2页/共97页第三页，共96页。这种对应这种对应(duyng)关系在数学上理解为定义了一种实关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数值单值函数.e.X(e)sR这种实值函数与在高等数学中大家这种实值函数与在高等数学中大家(dji)接触到的接触到的函数不一样！函数不一样！第3页/共97页第四页，共96页。（1）它随试验结果）它随试验结果(ji gu)的不同而取不同的值，因的不同而取不同的值，因而

3、在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是(ysh)这种实值函数取每个值和每个确定范围内的这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率值也有一定的概率.称这种定义称这种定义(dngy)在样本空间在样本空间S上的实值单值函上的实值单值函数数X= X(e)为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v. 第4页/共97页第五页，共96页。 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x, y

4、, z, w, n等等.随机变量通常随机变量通常(tngchng)用大写字母用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示第5页/共97页第六页，共96页。 有了随机变量有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以随机试验中的各种事件，就可以(ky)通过随机变量的关系式表达通过随机变量的关系式表达.二、引入随机变量二、引入随机变量(su j (su j bin lin)bin lin)的意义的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数(csh)用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有

5、收到呼叫 X 1X= 0 第6页/共97页第七页，共96页。 随机变量概念的产生是概率随机变量概念的产生是概率(gil)论发展史上论发展史上的重大事件的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率律的研究，就由对事件及事件概率(gil)的研究扩的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究大为对随机变量及其取值规律的研究.事件事件(shjin)及及事件事件(shjin)概率概率随机变量随机变量(su j bin lin)及其及其取值规律取值规律第7页/共97页第八页，共96页。我们将研究我们将研究(ynji)两类随机变量：两类随机变量：

6、如如“取到次品取到次品(cpn)的个数的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量(su j bin lin)离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中常，实际中常遇到的遇到的“测量误差测量误差”等等.三、随机变量的分类三、随机变量的分类第8页/共97页第九页，共96页。 这两种类型这两种类型(lixng)的随机变量因为都是随机变量，的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量

7、连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意学习时请注意(zh y)它们各自的特点和描述方法它们各自的特点和描述方法. 全部可能取值无穷(wqing)多，不能一一列举，充满一个区间 所有取值可以逐个一一列举第9页/共97页第十页，共96页。 解：分析解：分析(fnx)例例1 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元. 报报馆每天给报童馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回报纸退回. 设设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱童赔钱(pi qin)这一事件用随机变量的表达

8、式表示这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作X( ).第30页/共97页第三十一页，共96页。例8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品(shngpn)每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品(shngpn)多少件？解:设该商品(shngpn)每月的销售数为X,已知X服从(fcng)参数=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P X m 0.95 的最小的m .进货数销售数第31页/共97页第三十二页，共96页。求满足P X m 0.

9、95 的最小的m.查泊松分布(fnb)表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即068. 0!595kkke于是(ysh)得 m+1=10,1505. 0!5mkkkem=9件或第32页/共97页第三十三页，共96页。, 2 , 1 , 0,!)1 (limkkeppCkknnknknn泊松定理泊松定理(dngl)设 0 是常数(chngsh)，n 是正整数， ，则有npn 定理(dngl)的条件意味着当 n 很大时，pn 必定很小。 因此，泊松定理(dngl)表明，以 n, p 为参数的二项分布当 n 很大、p 很小时趋于参数 =np 的泊松分布，即!e)1 (kppCkknk

10、kn第33页/共97页第三十四页，共96页。一一. 一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为 1、2、3、4、在其中同时取三只，以、在其中同时取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分的分布律布律二二. . 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 4杯杯。如果从中挑如果从中挑 4 4 杯，能将甲种酒全部挑出，算是试验成杯，能将甲种酒全部挑出，算是试验成功功一次。一次。1 1）某人随机地去猜，他成功一次的概率是多少）某人随机地去猜，他成功一次的概率是多少？2 2）某人声称

11、）某人声称(shngchng)(shngchng)他能通过品尝能区分两种酒他能通过品尝能区分两种酒。他连续试验。他连续试验 10 10 次，成功次，成功 3 3次。试推断他是猜对的还是确有区分能次。试推断他是猜对的还是确有区分能力力（设各次试验是相互独立的）（设各次试验是相互独立的）第34页/共97页第三十五页，共96页。解：解：4 , 3 XX的所有可能取值为：的所有可能取值为：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 解：设 A 表示(biosh)“成功一次”，由题意可得701)(4844CCAP 设 X 表示“某人(mu rn)随机地去猜 10 次，成功区分两种酒的次数”。则

12、所以(suy)00003. 0)7011 ()701()3(73310CXP第35页/共97页第三十六页，共96页。一、分布函数(hnsh)的定义 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的,(x概率.xoxXX 设 X 是一个 r.v，称)()(xXPxF)(x为 X 的分布函数 , 记作 F (x) .第三节第三节 随机变量的分布随机变量的分布(fnb)函数函数第36页/共97页第三十七页，共96页。(1) 在分布(fnb)函数的定义中, X是随机变量, x是参变量. (2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率(gil).(3) 对任

13、意(rny)实数 x1x2，随机点落在区间( x1 , x2 内的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox 第37页/共97页第三十八页，共96页。 分布(fnb)函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.xxXPxF),()(xoxXX第38页/共97页第三十九页，共96页。当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0例例1 设 随机变量(su j bin lin) X 的分布律为当 0 x 1 时， F(x) = PX

14、x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解0 x12x x Xkp0121 31 61 2求 X 的分布(fnb)函数 F (x) .第39页/共97页第四十页，共96页。当 1 x 2 时， F(x) = PX=0+ PX=1= + =316121当 x 2 时， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 x第40页/共97页第四十一页，共96页。故注意(zh y)右连续下面(xi mian)我们从图形上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF第41页/共97页第四十二页，共96页。31211202161OOO1)(xF的分布(f

15、nb)函数图xy第42页/共97页第四十三页，共96页。设离散(lsn)型 r .v X 的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = xxkkp即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率(gil)之和.x则其分布函数第43页/共97页第四十四页，共96页。二、分布函数(hnsh)的性质 ,上是一个不减函数上是一个不减函数在在 xF(1) ;,212121xFxFxxxx 都有都有且且即对即对 21F xF x1x2xox 120P xXx第44页/共97页第四十五页，共96页。 如果一个函数具有上述性质(xngzh)，则一定是某个r.v X 的分

16、布函数. 也就是说，性质(xngzh)(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.(3) F(x) 右连续，即 )()(lim00 xFxFxx(2) xoXxx x()F limxF x limxF x()F 0 1 第45页/共97页第四十六页，共96页。试说明(shumng)F(x)能否是某个r.v 的分布函数.例2 设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF 解 注意到函数 F(x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,2不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布(fnb)函数.或者0)(lim)(xFFx第46页/共97页

17、第四十七页，共96页。例. 以下几个函数那些(nxi)是分布函数？)(11)()2(1)20(sin)0(0)()21(1)210(31)0(0)()(1)0(sin)0(0)()0(2)02(21)2(0)(254321xxxFxxxxxFxxxxxFxxxxxFxxxxF第47页/共97页第四十八页，共96页。 解 设 F(x) 为 X 的分布(fnb)函数，当 x a 时，F(x) =1 例例3 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表表示这个质点的坐标示这个质点的坐标 . 设这个质点落在设这个质点落在 0, a中任意小区间内中任意小区间内的概率的概率(

18、gil)与这个小区间的长度成正比，试求与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布的分布函数函数.当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 ) 由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a第48页/共97页第四十九页，共96页。0,0( ),01,xxF xxaaxa 故 这就是在区间 0，a上服从均匀分布(fnb)的连续型随机变量的分布(fnb)函数.第49页/共97页第五十页，共96页。练习练习. 设在设在15只同类型零件中有只同类型零件中有2只是次只是次品，在其中取三次，每次任取一只

19、，作不放品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以回抽样，以 X 表示取出次品的只数， （表示取出次品的只数， （1）求求 X 的分布函数， （的分布函数， （2）画出分布函数的图）画出分布函数的图形。形。 第50页/共97页第五十一页，共96页。解：解：2 , 1 , 0 XX的所有可能取值为：的所有可能取值为：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 第51页/共97页第五十二页，共96页。F(x) = P(X x)0 XP3522 1 XP3512 2 XP351 ,0时时当当 x)(xXPxF 0 ,10

20、时时当当 x)(xXPxF 0 XP3522 ,21时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP3534 ,2时时当当 x1)( xF第52页/共97页第五十三页，共96页。故 2, 121,353410,35220, 0)(xxxxxF第53页/共97页第五十四页，共96页。第四节第四节 连续型随机变量连续型随机变量(su j bin lin)及及其概率密度其概率密度u 连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义u 概率密度的性质概率密度的性质u 三种三种(sn zhn)重要的连续型随机变量重要的连续型随机变量第54页/共97页第五十五页，共96页。 连续型随机变量连续

21、型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满(chngmn)一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值以指定它取每个值概率的方式概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出而是通过给出所谓所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量(su j bin lin)的描述方法的描述方法.第55页/共97页第五十六页，共96页。如果如果(rgu) X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x) 为为 X 的概的概率密度率

22、密度函数，简称为概率密度函数，简称为概率密度 .一、一、 连续型随机变量连续型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)及其及其概率密度的定义概率密度的定义 xF xf t dt 有有,使得对任意使得对任意实数实数 , x 对于随机变量对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f (x) , ,x P Xx 连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续R第56页/共97页第五十七页，共96页。二、概率密度的性质二、概率密度的性质(xngzh)1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这

23、两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r .v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件第57页/共97页第五十八页，共96页。利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围范围(fnwi)内的概内的概率率对于任意对于任意(rny)实数实数 x1 , x2 , (x1 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布. 2( ,)XN 第75页/共97页第七十六页，共96页。 :具有下述性质具有下述性质xf ;12 dxxf ;01 xf事实上事实上 , 22212x fx dxedx 22212x

24、 edx 222022x edx 1第76页/共97页第七十七页，共96页。,2xt 令令则有则有 dxxfdtet202 122 曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称； fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt 第77页/共97页第七十八页，共96页。 xexfx,21)(222)( 函数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 单调减少单调减少, ,在在 取得最大值；取得最大值；x 22()23,2x xfxex x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标；的两个拐点的横坐标； 5 22()2223(),2x xfxex 第78页/共97页第七十九页，

25、共96页。当当x 时，时，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 6 根据对密度函数根据对密度函数(hnsh)(hnsh)的分析，也可初步画出正态的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图分布的概率密度曲线图. .第79页/共97页第八十页，共96页。 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N第80页/共97页第八十一页，共96页。 设设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布(fnb) 的分布的分布(fn

26、b)函数函数),(2N 2 22()21,2t xF xedtx 第81页/共97页第八十二页，共96页。 正态分布由它的两个正态分布由它的两个(lin )(lin )参数参数和和唯一确唯一确定，定， 当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准标准(biozhn)(biozhn)正态分布正态分布下面我们介绍一种下面我们介绍一种(y zhn)(y zhn)最重要的正态分布最重要的正态分布第82页/共97页第八十三页，共96页。1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x标准

27、标准(biozhn)(biozhn)正态分布正态分布3 221,2txxedtx 221,2x xex 第83页/共97页第八十四页，共96页。)(x )(x 第84页/共97页第八十五页，共96页。的性质的性质(xngzh) : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事实上事实上 , 221()2txxedtx 第85页/共97页第八十六页，共96页。22112uxedu x 1 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般标准正态分布的重要性在于，任何一个一般(ybn)(ybn)的正的正态分布都可以通过线性变换转化为标准态分布都

28、可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布. .定理定理(dngl)1 .1 ,0,2NXZNX 则则若若2212uxutedu 第86页/共97页第八十七页，共96页。 .1 ,0,2NXZNX 则则若若证证Z Z 的分布的分布(fnb)(fnb)函数为函数为 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令则有则有 duexZPxu 2221 x 第87页/共97页第八十八页，共96页。 根据定理根据定理(dngl)1,(dngl)1,只要将标准正态分布的分布函只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. .

29、.1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是(ys(ysh)h)第88页/共97页第八十九页，共96页。 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以以(ky)(ky)解决一般正态分布的概率计算查表解决一般正态分布的概率计算查表. .正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时, (x)的值的值.4第89页/共97页第九十页，共96页。),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1) 则则第90页/共97页第九十一页，共96页。由标准正态分布的查表计算由标准正态分布的查表计算(j sun)(j sun)可以求得，可以求得，这说明，这说明，X X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3-3,3区间区间内，超出这个范围内，超出这个范围(fnwi)(fnwi)的可能性仅占不到的可能性仅占不到0.3%.0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 (