第03章 连续时间系统滑模变结构控制

1、 3.7 基于准滑动模态基于准滑动模态的滑模变结构控制的滑模变结构控制 其中其中 为切换函数为切换函数 0s s0,00,0ssss( )s x(0)x( )0sx(3.1.1)(3.1.2) 由于状态由于状态 离切换面可以任意远离切换面可以任意远, 故到达条件式故到达条件式(3.1.1)也称为也称为广义广义(全局全局)到达条件到达条件。x 为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出现。可对式现。可对式(3.1.1)进行修正，取为进行修正，取为 ss 其中其中 为任意小正数。为任意小正数。(3.1.3)通常将式通常将式(3.1.1)表达成表达成李雅

2、普诺夫函数型到达条件李雅普诺夫函数型到达条件 2120VsV(3.1.4) 满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其满足上述到达条件的滑模变结构控制系统，其状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面，并状态的运动轨迹都将在有限时间内到达切换面，并启动滑动模态运动。启动滑动模态运动。 3.2.1 等效控制等效控制 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ( , , )fu txx,nuxut如果达到理想的滑动模态如果达到理想的滑动模态，则则( )0sx其中其中 为控制输入为控制输入， 为时间为时间。 即即0sstxx(, )0sfu txx 或或 (3.2.1) (3.2.2) u式式(3.2.2)

3、中中 称为系统在滑动模态区内的等效控称为系统在滑动模态区内的等效控制，一般用制，一般用 表示。表示。 equ 例如，对于线性系统例如，对于线性系统uxAxb,nux取切换函数为取切换函数为( )sxcx设系统进入滑动模态后的等效控制为设系统进入滑动模态后的等效控制为 ， equ (3.2.3) (3.2.4) 则由则由式式(3.2.3)有有 eq()0sucxc Axb (3.2.5) 若矩阵若矩阵cb满秩，满秩， 则可解出等效控制则可解出等效控制 1equ cbcAx(3.2.6) 将等效控制将等效控制 代入系统的状态方程式代入系统的状态方程式(3.2.1)，可得系统滑动模态运动方程可得系统

4、滑动模态运动方程equeq( , )( )0futsxxx,nux 将式将式(3.2.6)代入式代入式(3.2.3) 可得线性系统的可得线性系统的滑动模态滑动模态运动方程运动方程如下如下：(3.2.7) 1( )0sxIb cbc AxxcxI为单位矩阵为单位矩阵。(3.2.8) 其中其中补充：滑模变结构控制补充：滑模变结构控制Matlab P50 &2.6在滑模控制中，等效控制在滑模控制中，等效控制 保证系统的状态在滑模面上，保证系统的状态在滑模面上，切换控制切换控制 保证系统的状态不离开滑模面。保证系统的状态不离开滑模面。eqswuuuswuequ 不变性：实现滑动模态运动不依赖于

5、外部扰动和参数不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结构控制受到重视的最主要原因。构控制受到重视的最主要原因。 对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三种情况予以讨论：种情况予以讨论： （1）当系统受到外干扰时）当系统受到外干扰时 ufxAxBD (3.3.1) 其中其中 表示系统所受的外干扰。表示系统所受的外干扰。滑动模态运动不受干扰影响的充要条件为滑动模态运动

6、不受干扰影响的充要条件为frankrank,B DB (3.3.2) 假如式假如式(3.3.2)满足，则系统可化为满足，则系统可化为()uf xAxBDBDDu其中有其中有 ，通过设计控制律，通过设计控制律 可实现对干扰的可实现对干扰的完全补偿。完全补偿。条件式条件式(3.3.2)称为称为干扰和系统的完全匹配条件干扰和系统的完全匹配条件。 （2）当系统存在不确定性时）当系统存在不确定性时 (3.3.3)u xAxBAx (3.3.4)滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为rank,rankBAB (3.3.5)假如式假如式(3.3.5)满足，则系统可化为满

7、足，则系统可化为 ()u xAxBAx (3.3.6)其中有其中有 。通过设计控制律可实现对不确定。通过设计控制律可实现对不确定性的完全补偿。性的完全补偿。 条件式条件式(3.3.5)称为称为不确定性和系统的完全匹配条件不确定性和系统的完全匹配条件。 （3）当系统同时存在外干扰和不确定性时）当系统同时存在外干扰和不确定性时 B AAuf xAxAxBD (3.3.7)若同时满足匹配条件式（若同时满足匹配条件式（3.3.2）和（）和（3.3.5），则），则系统可化为系统可化为 ()uf xAxBAxD (3.3.8)通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完通过设计控制律实现同时对不确定性和外

8、干扰的完全补偿。全补偿。 xcxs 由于选择由于选择 和和 为状态，所以，只有为状态，所以，只有 时，时，在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即保证了系统为渐近稳定。保证了系统为渐近稳定。 xx 0c c【注注】规范空间规范空间：以状态和状态变化率为坐标构成的空间以状态和状态变化率为坐标构成的空间 (3.4.1) 而选择不同的而选择不同的 值时，切换面上的状态运动轨迹趋值时，切换面上的状态运动轨迹趋向原点的速度是不同的，向原点的速度是不同的， 越大，对于相同的越大，对于相同的 ， 的变化率越大，从而趋近速度越快。的变化率越大，从而趋近速度越快。

9、 图图3.4.1，切换函数的参数分别选取，切换函数的参数分别选取 和和 作出图示说明。作出图示说明。cxx8 . 0c7 . 1c图图3.4.1c 1 12211( )nnnsc xc xcxxx 参数参数 的确定是至关重要的，所的确定是至关重要的，所设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运设计的参数必须使系统在切换面上的滑动模态运动是渐近稳定的。动是渐近稳定的。 一般地，考虑如下系统：一般地，考虑如下系统：121,1nc cccusxAxbcxnxu (3.4.2) (3.4.3)在滑模控制中，参数在滑模控制中，参数121,1nc ccc应满足多项式：应满足多项式：12121.Hurwit

10、z,pnnnpcpc pc 为其中 为拉普拉斯算子当当n=2，1 1211( ),p+cHurwitzp+c =0s xc xx多项式：为，的特征值实数部分为负。21 122321221222223( ),p +cHurwitzp +c=0p20,0,0,p20ns xc xc xxppp时，多项式：p+c 为，p+c的特征值实数部分为负。设：即：取满足特征值实数部分为负 2. 设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切换面上形成滑动模态区。换面上形成滑动模态区。 下面给出几种常用的控制结构形式下面给出几种常用的控制结构形式 通过通过Ackermann公式

11、来求解其参数，具体方法如下：公式来求解其参数，具体方法如下：T( )PceA其中其中1T100 1neb AbAb121( )()()()nPAAIAIAI121,n为期望选取的特征值。为期望选取的特征值。 (3.4.4) 1) 常值切换控制（常值切换控制（bang-bang控制）控制） 0sgn( ( )uusx (3.4.5)其中其中 为待求常数。为待求常数。 0u2) 函数切换控制函数切换控制eq0sgn( ( )uuusx (3.4.6)这是以等效控制为基础的控制结构形式。这是以等效控制为基础的控制结构形式。 3) 比例切换控制比例切换控制 kiiinkxu1,0,0iiiiix sx

12、 s其中，其中， ， 和和 为常数。为常数。 ii (3.4.7) 1. 控制对象控制对象 【例例3.5.1】考虑如下被控对象模型：考虑如下被控对象模型：assbsGp2)(3.5.1)其中，其中， ， 。相应状态空间模型方程为：相应状态空间模型方程为：10a 120b uxAxB其中，其中， ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221(3.5.2)(3.5.3) 2. 控制器设计（以位置跟踪系统为例）控制器设计（以位置跟踪系统为例） 设位置给定信号为设位置给定信号为 ，将系统的位置误差，将系统的位置误差 和和位置误差变化率位置误差变化率 作为状态变量，即：作为状态变量，

13、即： ree 21xrexre取切换函数为取切换函数为eces根据比例切换控制方法，取控制律为根据比例切换控制方法，取控制律为(3.5.4)(3.5.5)sgn()(seeu(3.5.6)其中其中 和和 为大于零的常数。为大于零的常数。 Matlab仿真案例：基于比例切换函数的滑模控制仿真案例：基于比例切换函数的滑模控制 考虑如下时变函数：考虑如下时变函数： 2bG sSaS255sin6,13350sin2atbt 其中其中将传递函数描述为状态方程的形式：将传递函数描述为状态方程的形式：xAxBu010Aa0,Bb 其中其中预备知识：关于预备知识：关于Matlab的的ODE45函数的用法。函

14、数的用法。 clear all; close all; global S A F c alfa beta xk=0,0; ts=0.001; T=1; TimeSet=0:ts:T; t,y=ode45(chap2_1eq,TimeSet,xk,); x1=y(:,1); x2=y(:,2); if S=1 rin=1.0; drin=0; elseif S=2 rin=A*sin(F*2*pi*t); drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t); end e1=rin-x1; e2=drin-x2; s=c*e1+e2; for k=1:1:T/ts+1 u(k)=(alfa*a

15、bs(e1(k)+beta*abs(e2(k)*sign(s(k); end figure(1); plot(t,rin,r,t,y(:,1),b); xlabel(time(s);ylabel(Position tracking); figure(2); plot(t,u,r); xlabel(time(s);ylabel(u); figure(3); plot(e1,e2,r,e1,-c*e1,b); xlabel(time(s);ylabel(Phase trajectory);function dx=PlantModel(t,x,flag,para) global S A F c al

16、fa beta dx=zeros(2,1); S=1; %S=1时为阶跃响应，时为阶跃响应，S=2时为正弦响应时为正弦响应% if S=1 rin=1.0; drin=0; elseif S=2 A=0.5;F=3; rin=A*sin(F*2*pi*t); drin=A*F*2*pi*cos(F*2*pi*t); end c=30; alfa=500; beta=10; e1=rin-x(1); e2=drin-x(2); s=c*e1+e2; u=(alfa*abs(e1)+beta*abs(e2)*sign(s); dx(1)=x(2); dx(2)=-(25+5*sin(3*2*pi*

17、t)*x(2)+(133+50*sin(1*2*pi*t)*u;案例分析：见教材案例分析：见教材P25 （滑模变结构控制（滑模变结构控制Matlab）. 一个简单的滑模控制案例。一个简单的滑模控制案例。 系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证状态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内状态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内到达切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限到达切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限制，制，若采用趋近律的方法，则可

18、以改善趋近运动的动若采用趋近律的方法，则可以改善趋近运动的动态品质态品质。 在在2.3.4节中介绍了常见的几种趋近律。节中介绍了常见的几种趋近律。 3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统 1. 控制器的设计控制器的设计 系统的状态方程如下：系统的状态方程如下：uxAxB(3.6.1) 3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统采用趋近律的控制方式，设切换函数为采用趋近律的控制方式，设切换函数为s Cx从而从而 slaws Cx 其中其中slaw代表趋近律，例如，采用指数趋近律，则有代表趋近律，例如，采用指数趋近律，则有 kssssgnslaw其中其中 和和 皆为正实数。

19、皆为正实数。将式将式(3.6.1)代入代入(3.6.3)中，即有中，即有 k(3.6.2) (3.6.3) (3.6.4) ()slawuCxC AxB(3.6.5) 从而可以得到控制作用如下：从而可以得到控制作用如下： 1() (slaw)uCBCAx(3.6.7) 几种常见的趋近律几种常见的趋近律:3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统2. 实例实例 【例例3.6.1】选择被控对象为选择被控对象为(3.6.8)uxAxB其中其中 ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221(3.6.9)采用指数趋近律为例。选择切换函数为采用指数趋近律为例。选择切换函数为

20、21xcxs取取 ，即，即 。指数趋近律为。指数趋近律为 20ckssssgnslaw ，其中取，其中取 ， 。 250k20,1C3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统将将 的值代入的值代入(3.6.7)式式 ，可得控制律式为，可得控制律式为21 302sgn( )50 120uxssslawABC， ， ，(3.6.10)采用采用Matlab的的M语言建立仿真程序，可得到直观结果。语言建立仿真程序，可得到直观结果。滑模变结构控制滑模变结构控制MATLAB仿真仿真，刘金琨，清华大学出版社，2005。 趋近律参数选择原则趋近律参数选择原则： 以如下指数趋近律为例：以如下指数趋近律

21、为例：指数趋近律是趋近效果比较好的一种趋近律。在趋指数趋近律是趋近效果比较好的一种趋近律。在趋近过程中，指数趋近律的趋近速度是变化的，具有近过程中，指数趋近律的趋近速度是变化的，具有既可以加快趋近时间又也可以削弱抖振的优点。既可以加快趋近时间又也可以削弱抖振的优点。 sgn( ),ssks 0,0k(3.6.11)3.6.1 基于趋近律的调节系统基于趋近律的调节系统 当状态运动点远离切换面时，趋近速度主要当状态运动点远离切换面时，趋近速度主要取决于取决于 项。而当到达切换面附近时，由于项。而当到达切换面附近时，由于 变得很小，趋近速度则主要取决于变得很小，趋近速度则主要取决于 项的大项的大小。

22、常将小。常将 值取得较大，使状态点快速趋近切换值取得较大，使状态点快速趋近切换面；而将面；而将 值取得较小，从而使切换面附近的趋值取得较小，从而使切换面附近的趋近速度较小，这样就可以保证系统以较小的速度近速度较小，这样就可以保证系统以较小的速度到达切换面，削弱了抖振。到达切换面，削弱了抖振。kss)sgn(sksgn( ),ssks 基于趋近律的滑模控制基于趋近律的滑模控制Matlab分析案例：分析案例：clear all;close all;global M A B C eq k ts=0.001; T=2; TimeSet=0:ts:T; c=15; C=c,1; para=c; t,x=

23、ode45(chap2_4eq,TimeSet,0.50 0.50,para); x1=x(:,1); x2=x(:,2); s=c*x(:,1)+x(:,2); if M=2 for kk=1:1:T/ts+1 xk=x1(kk);x2(kk); sk(kk)=c*x1(kk)+x2(kk); slaw(kk)=-eq*sign(sk(kk)-k*sk(kk); %Exponential trending law u(kk)=inv(C*B)*(-C*A*xk+slaw(kk); end end figure(1); plot(x(:,1),x(:,2),r,x(:,1),-c*x(:,1)

24、,b); xlabel(x1);ylabel(x2); figure(2); plot(t,x(:,1),r); xlabel(time(s);ylabel(x1); figure(3); plot(t,x(:,2),r); xlabel(time(s);ylabel(x2); figure(4); plot(t,s,r); xlabel(time(s);ylabel(s); if M=2 figure(5); plot(t,u,r); xlabel(time(s);ylabel(u); end 子程序子程序function dx=DynamicModel(t,x,flag,para) glo

25、bal M A B C eq k a=25;b=133; c=para(1); s=c*x(1)+x(2); A=0 1;0 -a; B=0;b; M=2; eq=5.0; if M=1 % M=1为等速趋近律，为等速趋近律，M=2为指数趋近律，为指数趋近律， M=3为幂次趋为幂次趋近律，近律，M=4 为一般趋近律为一般趋近律slaw=-eq*sign(s); %Equal velocity trending law elseif M=2 k=10; slaw=-eq*sign(s)-k*s; %Exponential velocity trending law elseif M=3 k=10

26、; alfa=0.50; slaw=-k*abs(s)alfa*sign(s); %Power trending law elseif M=4 k=1; slaw=-eq*sign(s)-k*s3; %General trending law end u=inv(C*B)*(-C*A*x+slaw); dx=zeros(2,1); dx(1)=x(2); dx(2)=-a*x(2)+b*u;3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统1. 控制器设计控制器设计 系统状态方程如下系统状态方程如下 uxAxB (3.6.12)其中其中 12nxxx11122122n nAAAAA1

27、20n mBBB2m mBmu此时的系统称为滑模变结构控制系统的此时的系统称为滑模变结构控制系统的简约型简约型，对，对于任意能控系统，均可以选择适当的状态变换将系于任意能控系统，均可以选择适当的状态变换将系统转换为简约型。此处，设定上式中的统转换为简约型。此处，设定上式中的 ， ，即系统为单输入二阶系统。即系统为单输入二阶系统。 1m2n 3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统则则uBxAxAx22221212 (3.6.13)设给定信号为设给定信号为 ，则误差为，则误差为 r1xre误差变化率为误差变化率为21xrxre (3.6.14)设设 ，误差向量为误差向量为 ，

28、则切换函数为，则切换函数为 , 1cC ee 即有即有12()sc rxrx CE (3.6.15)22()sc rxrxCE (3.6.16)3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统采用趋近律采用趋近律slaw，将式，将式(3.6.13)代入式（代入式（3.6.16）中，）中，得控制律为得控制律为12221 1222( ()slaw)uBc rxrA xA x (3.6.17)2. 实例实例 【例例3.6.2】选择被控对象为选择被控对象为(3.6.18)uxAxB其中其中 ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221(3.6.19)按照控制器的设计步骤

29、设计控制系统。按照控制器的设计步骤设计控制系统。 3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统误差为误差为 1xre误差变化率为误差变化率为21xrxre (3.6.21) 切换函数为切换函数为12()sceec rxrx取取 ， 从而，由式从而，由式(3.6.15)得系统控制作用为得系统控制作用为 (3.6.20) (3.6.22)20c221(20()10slaw)120urxrx (3.6.23)slaw取为指数趋近律：取为指数趋近律：3.6.2 基于趋近律的位置跟踪系统基于趋近律的位置跟踪系统kssssgnslaw (3.6.23)250k其中其中 ， 。补充补充P29

30、&2.2基于趋近律的滑模控制。基于趋近律的滑模控制。P29&2.2基于趋近律的滑模鲁棒控制。基于趋近律的滑模鲁棒控制。 1 准滑动模态定义准滑动模态定义 所谓准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在所谓准滑动模态，是指系统的运动轨迹被限制在切换面的某一切换面的某一 邻域内的模态。邻域内的模态。从相轨迹方面来说，从相轨迹方面来说，具有理想滑动模态的控制是使一定范围内的状态点均具有理想滑动模态的控制是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是使一定范围被吸引至切换面。而准滑动模态控制则是使一定范围内的状态点均被吸引至切换面的某一内的状态点均被吸引至切换面的某一 邻域内

31、。通常邻域内。通常称此邻域为滑动模态切换面的边界层。称此邻域为滑动模态切换面的边界层。 在边界层内，准滑动模态不要求满足滑动模态的在边界层内，准滑动模态不要求满足滑动模态的存在条件。因此，准滑动模态不要求在切换面上进行存在条件。因此，准滑动模态不要求在切换面上进行控制的切换。它可以是在边界层上进行结构变换的控控制的切换。它可以是在边界层上进行结构变换的控 控制系统，也可以是根本不进行结构变换的连续状态控制系统，也可以是根本不进行结构变换的连续状态反馈控制系统。反馈控制系统。 准滑动模态控制在实现上的这种差别，使它从根准滑动模态控制在实现上的这种差别，使它从根本上本上避免或削弱了抖振（作用）避免

32、或削弱了抖振（作用），从而在实际中得到，从而在实际中得到了广泛的应用。了广泛的应用。 在连续系统中，常用的准滑动模态控制有以下两在连续系统中，常用的准滑动模态控制有以下两种方法。种方法。 (1) 用饱和函数用饱和函数 代替理想滑动模态控制作用代替理想滑动模态控制作用中的符号函数中的符号函数 。 )(sat s)sgn(s1( )1ssat sksss 1k其中其中 称为称为“边界层边界层”。饱和函数如图。饱和函数如图3.7.1所示。所示。 图图3.7.1(3.7.1) 控制律中采用饱和函数代替符号函数，其控制作用在控制律中采用饱和函数代替符号函数，其控制作用在本质上已变为：在边界层外，采用切换控制；在边界本质上已变为：在边界层外，采用切换控制；在边界层内采用线性化反馈控制。层内采用线性化反馈控制。， (2) 将继电特性连续化，用连续函数将继电特性连续化，用连续函数 取代符号函取代符号函数数)(ssss)(其中其中 是很小的正常数。是很小的正常数。 【例例3.7.1】仍选择被控对象为仍选择被控对象为(3.7.2)uxAxB其中其中 ， 。即有即有01010A0120Buxxxx120102221 (3.7.3)(3.7.4) 按照按照3.6节控制器的设计步骤设计一个基于准节控制器的设计步骤设计一个基于准滑动模态的位置跟踪滑模变结构控制系统。