折叠问题专题

1、折叠问题专题【轴对称（折叠）思考层次全貌】1 .全等变换：对应边相等、对应角相等.2 .对称轴性质：对称轴上的点到对应点的距离相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分.3 .组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折叠常出现直角，60角、折叠会出现圆弧等.4 .作图：核心是找到对应点，作对应点连线的垂直平分线（折痕），补全图形.【要求】读一读操作要领，按照操作要领去做题，思路受阻时回头再看操作要领，做完题对照操作要领思考一步步是如何进行操作的；做题时，需要执行读题标注（如目标、条件），观察特征，验证取舍等动作.【第一次训练】操作要领：遇折叠，考虑全等变换；找折痕（对称轴），利用对应边相等，对应角

2、相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理（或相似、三角函数）建方程；做题时常借助背景图形提供的角度、线段长，对条件进行转移、表达.【例题11如图，将边长为8cm的正方形ABC时叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN则线段CN的长为cm分析思路：1 .读题标注、转化；正方形，折叠，中点，目标，如右图所示2 .背景图形；边长为8的正方形；3 .分析条件，组合特征；折叠是全等变换-对应边相等，对应角相等;EN=DN+NC=DNhNC=8,转移，表达-设CN=x,则EN=DN=4 .求解目标：勾股定理列方程在RtA中，勾股定理列方程为,解得x=即CN=cm【配套小练习】练习1:如图，

3、有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cmiBC=8cm点D在BC边上，将直角边AC沿直线A所叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处，则线段CD的长为.练习2:如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，若A&dcmBC=5cm贝UEF的长为.【第二次训练】操作要领：折叠属于全等变换，找折痕，利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理建方程；上述思路进行不下去时，从“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，从折痕与背景图形的交点处入手，结合所求目标，连接对应线段，表达求解；或者考虑“折痕”为对称轴，“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，利用垂直平分（题目中会出现全等或相似

4、）解题.（这两条性质可以逐一尝试）【例题2】如图，将长为4cm,宽为2cm的长方形纸片ABCDff叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN则线段AM勺长为.1 .读题标注、转化；长方形，折叠，中点，目标，如右图所示2 .背景图形；长为4,宽为2的长方形，DE=EC=1,E是定点；3 .分析条件，组合特征；折叠是全等变换-对应边相等，对应角相等；上方：AM=MF彳1M所在的直角三角形无相关线段长信息，求解不出来；下方：BN=EN+NC=BNfNC=4,在RtA中，勾股定理能够求BN（NENCfO,但跟目标无关，先不进行计算；4 .求解目标；方式一：考虑折叠性质”对称轴上的点到对应点的连

5、线距离相等，连接MB和ME则MB=ME可以用来表达列方程求解；如图所示转移表达-设AM=x,则Dg；在RtA中，BM2（用含x的代数式表示）；在RtA中，ME2（用含x的代数式表示）；建立方程为,解得x=,即A附.方式二：考虑折叠性质”对应点所连线段被对称轴垂直平分”，连接BE,则被垂直平分；如图所示过点M作MGLBC于点G,则AMGM,且相似比为1:2,由CE的长，可求GN的长，结合A附BG=BNGN（BN可通过第3条中的分析求出）即可求出AM的长.中间用到一个很重要的结论：“十字结构”会出现全等或相似.而折叠中的垂直平分经常会提供十字结构，以下是一般的“十字结构”的图形和结论.AB2ABC

6、FDCgAABFABE/3ABCF【配套小练习】-练习3和练习4均要求用折叠的两种性质解题（每种图中展示一种方法）练习3:如图，四边形ABCLM边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B落在CD边上的点B处，点A的对应点为A,折痕为MN若BC3,则AM的长为.练习4:如图，将正方形纸片ABCDSMNW叠，使点D,点C落在C处.若AB=6,AD=2,则MN勺长为D落在边AB上，对应点为,BN的长为练习5:B重合,如图，在长方形ABCDK折痕为EF,则EF的长为.AB=3,AD=9,将此长方形折叠，使点D与点.（要求用”对应点的连线被对称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试）练习6:如图，长方形

7、纸片ABCDAB=5,BC=10,CD上有一点E,ED=2,AD上有一点P,PD=3,过P作PLAD交BC于F,将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，与AD交于点G,则PQ的长是（）（要求用“对应点的连线被对称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试）A.5B.3C.gD.7242练习7:如图，将边长为12cm的正方形ABCDff叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG,若GF的长为13cm,则线段CE的长为.【第三次训练】操作要领：当上述两种思路都进行不下去的时候考虑背景提供的条件，如长方形中折叠会出现等腰三角形（以折痕为底）；（原理是：平行+角平分线出现等腰三角形）【例

8、题3】用长方形下的折叠会出现等腰三角形，快速求BF的长如图，在长方形ABC时，AB=3,AD=9,将此长方形折叠，使点D与点B重合,折痕为EF,则BF的长为.拓展：请在右上图中补全（例题2）长方形下的折叠出现的等腰三角形，在图上进行体现，并用此思路尝试求AM的长；如图，将长为4cm,宽为2cm的长方形纸片ABCDff叠，使点B落在CDa的中点E处，压平后得到折痕MN则线段AM的长为.【配套小练习】练习8:如图，长方形ABCg,AB=15cm点E在AD上，且AE=9cn）连接EC,将长方形ABC*直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A处，则AC=cm练习9:已知一个长方形纸片OABCO上6,点P

9、为AB边上一点，AP=2,将4OAP沿OP折叠，点A落在点A处，延长PA交边OCf点D,经过点P再次折叠纸片,使点B落在边OC上的点D处，则AB的长为.练习10:如图，四边形ABCM边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B落在CD边上的点B处，点A的对应点为A,折痕为MN若BC3,则AM的长为.（请用长方形下的折叠会出现等腰三角形，解题）【第四次训练】折叠作图训练及计算求解 题目中给出已知的对应点，直接作垂直平分线，找折痕； 题目中没有直接给出的对应点，而是给出对应点满足的条件；此时往往“折痕过定点”，题目往往会产生圆（圆弧），通过作圆弧找到对应点的位置，再作垂直平分线找折痕.练习11:如图

10、，在矩形ABCM,已知AB=12,AD=8,如果将矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB,AD交于点M,N,那么MN的长为.AE练习12:在矩形ABCM,AB=4,BC=3,点P在线段AB上.若将DARftDP折叠，使点A落在对角线AC上的A处，则AP的长为.练习13:如图，矩形ABCM,AB=2,AD=6,AF=BE=2,点G是线段AD上的动点,将矩形ABCD&直线E的叠.当点C的对应点C落在四边形ABEF寸角线所在直线上时，求AC的长为.的直线翻折.若点B恰好落在AD上,那么折痕的长度为OBOCCO练习15:在矩形ABCg,BC=6,CD=8,点P在线段AB上（不含端点A,B）任意一点.若将PBCftPC折叠，使点B的对应点B落在矩形ABCD寸角线上时，BP的长为:用你学到的内容，尝试用多种方法