椭圆大题中的向量问题—基础篇

1、椭圆中的向量问题一、根底知识局部：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题.1 .向量的数量积问题记点P(t,0青x轴上的一点,A(Xi,yi卜B(X2,y2)是直线l:y=kx+m(l不经过椭圆2 2的顶点)和椭圆与+4=1(ab：0)的两个交点,那么PAPB计算过程可分为以下三步：abI.写出向量的坐标(末-初),并将lAPB表示成f(XiX2,Xi十X2)的形式PAPB=Xi-t,yiiX2-t,y2=Xi-t,kxim)1X2-t,kx2m=(k2+1=x+(km-tkx+x2)+(m2+t2)II.联立直线l和椭圆,得出X1X2=fi(k,m),Xi+X2

2、=f2(k,m);联立y=kXm22222,2bxay-ab=0得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,22kma那么Xi.长二一至2,akbXiX2222am-bIII.将Xi+X2,XiX2代入式中,得到PA,PB=g(k,m),将PAPB转化为含k,m的式子2/22、2PAPBm2t2am-b2kma二k1-kmTakbakb2.a2b2m2-a2b2k212kmta22.2.22.2.2akbakb其中I、II两步可以互换顺序同理,假设点P(0,t),那么PAPB=t2222222abm-abki_2mtb2212.2akb2.2,2akb特殊情况：当P为原点O

3、时,OAOB=a2b2m2-a2b2k21根底练习：请根据以下条件作答2X21.斜率为k的直线l经过点(1,0)与椭圆+y=1交于A、B两点,(1)假设点o为原点,请写出节AOB关于斜率k的关系式；(2)点P(2,0),请写出pAEB关于斜率k的关系式；22xy、2.假设斜率为k的直线l经过点(0,2)与椭圆-y+5=1交于A、B两点(注意A>0),(1)假设点O为原点,请写出OAOB关于斜率k的关系式；(2)假设点P(1,0),请写出7AKB关于斜率k的关系式；(3)假设点P(2,0),请写出PA彘关于斜率k的关系式；1.1求向量数量积的问题(给出点P的坐标)22A、B两点,点P(3,

4、0例1:椭圆C:七+上=1,直线l经过C的右焦点F与椭圆交于43(1)写出pAPB关于直线l的斜率k的关系式；(27k15、pA.pb=2)4k23(2)假设pApB=22,求直线l的方程；(y=±x1)7(3)假设OAOB=N,求贰PB的值；(k2=2,pA,PB9)11求PAPB的取值范围；(PA,PBw,51)_4(5)假设AP+PB1<24,求7B的取值范围；(k2>1,pAPBP%I)7,471(6)记D、E分别为椭圆C的左右顶点,D.-1TTI90ADEB+AE,DB=一,求直线l的万程；(y=±x1)7AdEb+aeDB的取值范围.(ADeB+羡D

5、BW尺,16I)_2练习1.1x2231 .椭圆4+y=1的离心率e=,右直线l:y=kx+无与椭圆恒有两个不同的父点A、B且OAOB>2,求k的取值范围.222 .椭圆之+工=1的左焦点为F,设A、B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k3 2的直线与椭圆交于C、D两点.,假设品前+ADCB=8,求k的值.1.2动点分析问题(直线l过椭圆顶点的问题)22以l经过椭圆x2+y2=l(a>b>0)的左顶点A(-a,0)为例.ab设l:y=k(x+a)且l过点A与椭圆交于点B(x2,y2),得(a2k2+b2)x2+2k2a4x+a4k2-a2b2=0,联立222222bxay-

6、ab=0,xx2ax2-2a422ak-abk2b2、,ab2-a3k2、,2ab2kx2=-2.2.2,y2=2.2,.2,akbakbab即点B箕2-a3k22ab2k动点分析问题的过程如下：I .分析问题中涉及的动点；II .按难易程度,通过联立的方法用直线斜率k表示出问题中所涉及的动点坐标;III .根据目标向量所涉及的点,将向量坐标运用直线斜率k表示出来；IV .将向量的数量积运用含k的式子表示出来.例2:如图,椭圆E:+y2=1,记A、B为椭圆的左右顶点,点C为椭圆的上顶点,直4线l经过点C与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与BD相交于点Q.当点P异于点B时.28k1-

7、4k24k2+1'4k2+1(2)2k1用k表不出Ibd的斜率；(kBD=)4k-2(3)用k表示出点Q的坐标；(Q(Sk,2k+1)=_4k,2k1,用k表示出OP、Oq的坐标,并求OpOq.1(OP=(1)记k为直线l的斜率,用k表示点P、D的坐标;OPOq=4)练习1.2:21.椭圆C:x-+y2=1,假设F为椭圆C的右焦点,经过椭圆的上顶点B的直线l与椭圆2L人、T另一个交点为A,且满足BA-BF=2(1)用直线l的斜率k表示点A的坐标；T-I(2)用含k的式子表示BA的坐标,同时表示出BF的坐标；(3)用含k的式子表示BABF,构建方程f(k)=2;(4)解出k的值,写出直线

8、l的方程.22.椭圆2+y2=1假设C、D分别是椭圆长轴的左右端点,动点M满足MDJ_CD,连接2CM交椭圆于点P,证实：OM*OP为定值.(1)记直线1cm的斜率为k,用含k的式子表示出点M的坐标；(2)用含k的式子表示出点P的坐标；(3)用含k的式子分别表示出OP、OM的坐标；(4)证实OMOP为定值.2X23.椭圆一+y=1,点A-2,0,设直线l过点A与椭圆交于另一点B,点Q(0,y0)在4线段AB的垂直平分线上,且QAQB=4,求y0的值.(1)设直线l的斜率为k,用含k的式子表示点B的坐标；(2)用含k的式子表示出AB的中点坐标,并写出AB的中垂线方程；(3)用含k的式子表示出点Q

9、的坐标；e人心一八一rT(4)用含k的式子分别表不出QA,QB;(5)运用QAQb=f(k)=4,求直线l的方程,并求出点Q的坐标.2.数量积问题的延伸一一垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题,可以转换为向量的数量积为零的问题.记点P(t,0声x轴上的一点,A(xi,yiB(x2,y2)是直线l:y=kx+m和椭圆22xy二十嘉=1(a>b>0)的两个交点,由之刖的讨论可知,2PAPB二ta2b2m2-a2b2k212kmta2OTTTT"假设PA1PB,那么PA7B=0.22例3：如图,记A为椭圆x2+与=1(a>b>0)的上顶点,Fi、F2abAB

10、1B2是面积为4的直角三角形.为椭圆的两焦点,BPB2分别为OF.OF2的中点,(1)求椭圆的标准方程和离心率;(2)过点B,作直线l与椭圆相交于P、Q两点,假设PB2IQB2,求直线l的方程.练习2.121 .椭圆C：x+y2=1,FpF2分别为椭圆的左、右焦点,假设过点F2的直线l与椭圆C2一_rT相父于P、Q两点,且FF_LFQ,求直线l的万程.22 .椭圆G：x-+y2=1,短轴上、下顶点分别为A、B,假设C、D是椭圆G上关于y轴2对称的两个不同点,直线BC与x轴交于点M,判断以线段MD为直径的圆是否过点A,并说明理由.223.如图,椭圆士+上=1,设点P、Q分别是椭圆和圆O上42与y

11、轴的交点记为M、N,试证实ZMQN为直角.位于y轴两侧的动点,假设直线PQ与x轴平行,直线AP、BP2.2角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角,以及点与圆的位置关系.假设.APB：:90',贝UcosZAPB>0,即PAPB='pa'!Pb'cosAPB0点P在以AB为直径的圆外.假设.APB=90；,贝Ucos/APB即PAPB-PA后cosAPB=0点P在以AB为直径的圆上.假设.APB90；,贝Ucos.APB即PAPB-PA点cos/APB:二0点P在以AB为直径的圆内2.2.1 角度判断2X2例4：记E、F2分别是椭圆了+y=1的左、右焦点,设过

12、定点M(0,2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B,且/AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.练习2.2.1221.点F是椭圆人+L=1的右焦点,O为坐标原点,设过点F,斜率为k的直线l交43222椭圆于AB两点,右OA+OB,<|AB,求k的取值范围.2X2.设A、B分别为椭圆一+y2=1的左、右顶点,设P为直线X=4上不同于点4,0的任意4一点,假设直线AP与椭圆相交于异于A的点M,证实：MBP为钝角三角形.2.2.2点与圆的位置关系问题例5:椭圆E:x=my-1,(m?R)交椭圆E于A、B两点,判断点9.,一一.一一,G(-y,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.4

13、练习2.2.21 .椭圆2十y=1,直线l经过椭圆右焦点2F与椭圆相交于A、B两点,试判断点M(2,0)与以AB为直径的圆的位置关系.22 .椭圆C：上+y2=1,A、B为C的左右顶点,直线l经过点B4且l_Lx轴,点P是C上异于A、B的任意一点,直线AP交直线l于点Q.(1)记kk2分别为直线OQ、BP的斜率,证实KI为定值；(2)当点P运动时,判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系,并证实你的结论.3.向量线性运算问题椭圆向量的共线问题有很多种出题的模式,在这里我们只讲解最简单的一种模型内的平行四边形问题.22xy记点AxyiB“,y2是直线l：y=kx+m与椭圆飞=1a>b>0

14、的两交点,点Px3,y3底椭圆上,且四边形OAPB为平行四边形,如下列图.BPIy=kxm联立2222bxay=1子日22222222付(ak+b)x+2kmax+a(m-b)=1)c.22kma,x'x=222akb,-2132m,yy2=k用长2m=22,akb再由平行四边形的性质可得温=OA+OB,1-X3=x+x2,y3=yi+丫2,那么点P22kma22bm(1)(2)(3)将点P代入椭圆中可得在椭圆方程的情况下2244kma2222akb42工4bmb22222bakb4m22222=1,倚4m=ak+b.akb当直线l过定点,或直线斜率确定,我们可以求出直线的方程；假设直

15、线l不过定点,也未知直线斜率,我们可以得到k,m的关系,结合A>0,我们可以求出OP、AB、点O到直线l的距离d,4AOB或平行四边形OAPB的面积等几何量的取值范围.假设点P在以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线上,那么kOP=OA+OB,可以得出114m2x3=1X1+X2,vfy,进而彳到久干二九,这也是一个很有用的结论例6:椭圆C:x_+=1,直线l经过点P(0,1)交椭圆于A、B两点,以OA、OB为邻边做平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,O为坐标原点.(1)验证当直线l斜率k不存在时,是否存在这样的点P;(2)记直线l的斜率为k,用含k的式子表示x1+x2,y1+y2；(3)由OA+OB=OP,将点P的坐标用含k的式子表示；(4)将点P代入椭圆方程,得到方程f(k尸1；(5)解方程,求出直线方程.练习3:221.椭圆C：/+£=1,点F为椭圆的右焦点,那么椭圆上是否存在点P,使得当l绕32点F转动到某一位置时,四边形OAPB为平行四边形假设存在,求出点P的坐标和直线方程；反之,请说明理由.2X2.椭圆C：一+y2=1,