电磁场与电磁波例题详解

1、第1章矢量分析例1.1求标量场e=(x+y)xyz通过点M(1,0,1)的等值面方程.解：点M的坐标是xo=1,y0=0,z°=1,那么该点的标量场值为*=(x0+y.)2-zo=00其等值面方程为：e=(x+y)2z=0或z=(x+y)2例1.2求矢量场A=axxy2+ayx2y+azzy2的矢量线方程.解：矢量线应满足的微分方程为dxdy-2xydz-2-yz从而有'dxdy2-2jxyxydxdzI一2xyyz解之即得矢量方程产；°：,C1和c2是积分常数X-y=c例1.3求函数中=xy2+z2-xyz在点(1,1,2)处沿方向角?二,二丁二的方向导数.解：由

2、于_2m=1,1,2)=yyzm=41,1,2)=-1,讲M41,1,2)cy=2xy-xzm=(1,1,2)=0,-M41,1,2)=2zxyM41,1,2)=3,tz1：21cos-二一,cos-=,cos=一222所以flM=-cos1-cos-：cos=1x.:y:z例1.4求函数中=xyz在点5,1,2处沿着点5,1,2到点9,4,19的方向导数.解：点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向矢量为l-ax(9-5)ay(4-1)az(19-2)=a*4ay3az17其单位矢量一.-.一.-43l=axcos：.aycos：azcos=axayaz.3143147.314(5,1,2

3、)=yz(5,1,2)丁(5,1,2)次I=xz(5,1,2)=10,-(5,1,2)=xy(5,1,2)=5cz所求方向导数cos1cos-cosV7fI=rxr二xcy二z123,314例1.5中=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求在点0,0,0和点1,1,1处的梯度.解：由于Vt=W(2x+y+3)+a"y(4y+x2)+az(6z-6)所以v<p(0,0,0)=ax3-ay-2-az6,V(P=a*6+ay3例1.6运用散度定理计算以下积分：I=axxz2ay(x2y-z3)az(2xyy2z)dSS222S是z=0和z=ax_y所围成的半球区域的外外表2

4、解：设：A=axxz2+ay(x2y-z3)+az(2xy+y2z)那么由散度定理Ad.=；AdSs可得I=；AdS=、Ad.=(z=ax(2x2y-x3)ay(3xyx2y2)d.=r2d.s2:ya4=0o2orsin?drdid：2:-a4=°d:°2sin而rdr25二一二a5例1.7试求V,A和mA:23322A=axxyzayxzazxyA(r,z)=arr2cos:azr2sin;1一.1A(r,F,)=arrsinra-sina2cosi解:(1)ex.生；zax:xAxayyAyaz:zAzax:x23xyzay:y3xzaz.z22xy2_2_2_3z-

5、2xy)az(3xz-2xyz)(2)1FA;-lI-1fQ.：9一一(rcos)0(rsin)=3rcosarracpazarra中az1-_1rerczr疗czArA中Azr2cos中02.rsin.z:rrr、A=中2=ar(rcosr=arrcos"：-a2rsin:-0)ra.(0-2rsin')az(0r2sin)azrsin(3)JAMlALTilMai?'7'(r3sini)-1(1sin2)1Jcosi)rsin二frrsin二.：r八2二3sin12cosirar%A=tWrsin65rArraursinia.arra_,-21二二厂rsi

6、n<讦：rs"A.：.一.一rsin二sin二rsin?a；：1.r-sinccos二r_1r2sin1-.1_、一ar(cos2r-0)raQ12r2sin21)rsinb.(0-rcos?)cos2-1.=ara-icos【-a.cosrsin【-r例1.8在球坐标中,e=Pec0s2,其中pe、4二；0r%为常数,试求此标量场的负梯度构成的矢量场,即E一'解：:在球坐标戏中,、.?1:1?、'二ar'a-a：r二rr：二rsinf;L,IPecos'1f/Pecos'E-ar(-2)-a-；(-T)_a：二r4；0rr.14；0rP

7、ecos1Pe(-sinu)八二"arr(-2)aU2-£4二；0rr4二；0rPecosuPesinuua73-ar3-2二；0r一4二；0r=Pe-(ar2cos-a-sinu)4二；0rjpecosursin4二；0r2例1.9在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域上,对矢量A=arr2+az2z验证高斯散度定理.解：由于要求验证高斯散度定理,即需要根据给出条件分别计算.仄小和AdS,得到二者结果相同的结论.在柱坐标系下,有r2rr:；zr；:r；:zA二(四)1巴奥上(r3)0=(2r)=3r2在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域内取一个小体积元di,可知

8、dt=rdrd中dz,其中0ErE5、0E中E2n、0EzW4,故_-52-452-4、Ad.=°°°(3r2)rdrddz=o(3r2)rdr°d：°dz=1502二4=1200二而r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域的闭合外外表由三局部构成：圆柱上外表S1(面元矢量dS=Ordrd中,0ErE5、0M5M2n、z=4)、圆柱下外表$2(面元矢量ds2=-a>drd中,0<r<5>0W邛W2n、z=0)和圆柱侧外表S3(面元矢量dS3=arrd中dz,0W9W2兀、0<z<4>r=5),故有：?Ad

9、S=JSAdS1+?AdS2十上AdS352n2一,闻52冗一2一一,自=01(a.r+az2z)azrdrd*zy+(?(a.r+az2z)(azrdrd中)z田42n一2+&0(a.r+az2z)ajddz士52二2二4=o08rdrd+0,Ii125ddz二4252二1252二4二1200二:.尸Adi=4AdS=1206,即证.'s例1.10现有三个矢量场A、B、C,分别为：A=asincos中+aecosecos*acpsin中,B=arzsin*+atpzcos*+az2rzsin中,C=ax(3y-2x)ayxaz2z哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可

10、以由一个矢量的旋度表示解：此题考查的是矢量场的场源关系,即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场,并根据发放场旋度为零,漩涡场散度为零进行反推.故先分别求出矢量的散度和旋度:(sin二1沾rsin竺(-sin)1:一一.1:.二)一(rsin二cos)(sin【cosicos)r；:rrsin1：二0r*2sinrarra.rsin%q.:rAc0ArsinAqarrsinua；：1sin1：:rsincos决rcos【cos一rsin日sin中I1%.B=-r.:r1汨(rBr)7-.9.z=-(rz2sin:)rfr=2rsin:arazari1'B=r.:rBr:zBz：:rz2si

11、n:ra:的rz2cos;azcz2rzsin中-CxC=-xFx-y:z=-202axayazaxay8azexCx-yCy:zCz.x3y2-2x-y2xzz2z=az(2x-6y)故B可以由一个标量函数的梯度表示,C可以由一个矢量的旋度表示.第2章静电场与恒定电场例2.1半径为a的球内、外的电场强度为下式所示,求电荷分布2lla,、E=aE0F(ra)r-33、L-LLrcr,、E=arE05-3-3(r<a)12a2a3,-p-用球坐标中的散度公式2aA2r；r解：由高斯定理的微分形式中E=一,得电荷密度为P=劭E+1*in8Ae)十1二上可得:rsin丁rsin(rE0F)=0

12、rcrr13-r2Eo(5-3J)=；oE.r2；:r2a2a3152a3(ra)/22(a-r)(r；a)例2.2一个半径为a的均匀极化介质球,极化强度是azP0,求极化电荷分布解：建立球坐标系,让球心位于坐标原点.极化电荷体密度为：p-P_-azB=0极化电荷面密度为：ps=Pn=azP0-ar=P0cos例2.3一个半径为a的导体球,带电量为Q,在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳,壳外是空气,如图2.1所示.求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度.图2.1解：由介质中的高斯定律可知,在r之a区域内：qDdS=Dr,4nr2=Q,故D=3s由本构方程D=/E+P=名/0E=说得:介质

13、内(a<r<b):E=)D=arQ,P=D/E=ag二1Q；4二；r；r4二；r1-Q介质外(b<r):E=D=arQ2,P=0；o4,：=or介质内外表束缚电荷面密度分别为：P1psrzb例2.4假设真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内,计算球内,外的电场强度以及电场能量.解：由电荷分布可知,电场强度是球对称的,在距离球心为r的球面上,电场强度大小相等,方向沿半径方向.在球外(rAa),取半径为r的球面作为高斯面,利用高斯定理计算:DdS=Dr4二r2=q故有Dr=q4二；°r2对球内(r<a),也取球面作为高斯面,同样利用高斯定理计算:sDdS=Dr4二

14、r2二4二r334_.3-a3l1cED3,-r；0rq一34；°a1c1电场能重We=1V；0E2d=2；0/q)2%.'014皿0；laJ24二dr._2.4rdr3q220二；0a例2.5计算图2.2所示深埋地下半径为a的导体球的接地电阻.土壤的电导率为仃0解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率,可将导体球看作等位体.用静电比较法,位于电介质中的半径为a的导体球的电容为C=4naa所以导体球的接地电导为G=4二二11所以导体球的接地电阻为R=1G4二a.例2.6半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c<a-b)的两球面之间有密度为P的解：为了使用高斯

15、定理,在半径为b的空腔内分别加上密度为+P和-P的体电荷,这样,任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生,正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算P1正电荷在空腔内产生的电场为Ei=an,3；.2负电何在空腔内广生的电场为E2=a23；.其中单位向量ai,a2分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点考虑到ra1ran=cax,最后得到空腔内的电场为：c3；0ax例2.7一个半径为a的均匀带电圆柱体无限长的电荷密度是p,求圆柱体内、外的电场强度.解：由于电荷分布是柱对称的,因而选取圆柱坐标系求解.在半径为r的柱面上,电场强度大小相等,方向沿半径方向.计算柱内电场时,取半径为r,

16、高度为1的圆柱面为高斯面.在此柱面上,使用高斯定理,有2一r：；DdS=；0Er2二rl=q,q=rl,Er=s2；.计算柱外电场时,取通过柱外待计算点的半径为r,高度为1的圆柱面为高斯面.对此柱面使用高斯定理,有一2：?a2DdS=oEr2-rl=q,q=1二al,Er=s2ro例2.8一个半径为a的均匀带电圆盘,电荷面密度是Ps.,如图2.4所示.求轴线上任一点的电场强度.解：由电荷的电荷强度计算公式E(r)=l(r)(r-r')TdS及其电荷的对称关系,可知电场仅有z的分量代入场点源点r二zaxr'"axr'cos:ayr'sin:dS=r

17、9;dr'd电场的z向分量为Ezzr'dr'o(z2-r'2)3/2_：S01z二|一(a2+z2)1/21上述结果适用于场点位于z>0时.但场点位于z<0时,电场的z向量为Ez:S0z-1221/220(az)例2.9半径为a的球内,外电场分布为r:a求电荷密度解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式-D用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出r<a时：P=%p(r2Er)=3E0rcrar-a时：二；0rEr=0r二r例2.10电荷分布如图2.5所示.试证实,在r>>l处的电场为Er=3ql42

18、二；°r证实:用点电荷电场强度的公式及叠加原理,有E4二;01(rl)(r-l)2当r>>l时,ll22(rl)(1-)2r(1-2-3-)22(r-l)r1l2(1-)r1一J、(12-3)将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量,得出Er=3ql22二；°r4图2.5例2.11真空中有两个点电荷,一个电荷-q位于原点,另一个电荷q/2位于(a,0,0)处,求电位为零的等位面方程.解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为q二=04二；0r4二；0rl其中11r=(x2y2z2)2,r1=(x-a)2y2z22等位面方程简化为2rl=r2222224(x

19、-a)2y2z2=x2y2z20此方程可以改写为这是球心在丝,0,0,半径为过的球面33例2.12如图2.6所示,一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向,介质柱的高度为L,半径为a,且均匀极化,求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布.图2.6解：选取圆柱坐标系计算,并假设极化强度沿其轴向方向,P=P0ax如图示,由于均匀极化,束缚体电荷为P=4P=0.在圆柱的侧面,注意介质的外法向沿半径方向n=ar,极化强度在z方向,故:=Par=0在顶面,外法向为n=ax,故isp二Pax二p.在底面,外法向为n-ax,故：sp=p-ax=-Po例2.13假设x<0的区域为空气,x>0的区域为电解质,

20、电解质的介电常数为3无,如果空气中的电场强度E=*+4输+5?(V/m),求电介质中的电场强度E2.解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷,因而电场强度的切向分量连续,电位移矢量的法向分量连续.在空气中,由电场强度的切向分量Eit=4ay+5ax,可以得出介质中电场强度的切向分量E2t=4+51；对于法向分量,用Din=D2n,即50Eix=£2x,并注意E仅=3,8=3名.,得出E2x=1.将所得到的切向分量相叠加,得介质中的电场为E2=ax4ay5az(V/m)例2.14一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质,电解质的介电常数为£,假设导体球带电q,求任意点的

21、电位.解：在导体球的内部,电场强度为00对于电介质和空气中的电场分布,用高斯定理计算.在电介质或空气中的电场取球面为高斯面,由DdS=4叮2Dr=q得出Dr=s电场为：Er=q在介质中(a<r<b);Er=-q-2在空气中(r>b).4二；r4二；0r电位为E=Edr=f-q-dr+f-q-dr=-q+q-(-)(a<r<b)rb4二0rr4二r4二0b4二；rb,:qq=Edr=-dr=-(r>b)rr4二；024二；0r例2.15真空中有两个导体球的半径都为a,两球心之间距离为d,且d>>a试计算两个导体之间的电容.解：由于球心间距远大于导体

22、的球的半径,球面的电荷可以看作是均匀分布.由电位系数的定义,可得Pi2=P22=14二；0aP12=P21=14二；0d让第一个导体带电q,第二个导体带电-q,那么i=Piq-Pi2q=4二；0a4二；0d2-p2iq-p22q-4二；0d4二；0a由c=9二-U12例2.16球形电容器内,外极板的半径分别为a,b,其间媒质的电导率为圻,当外加电压为U.时,计算功率损耗并求电阻解：设内,外极板之间的总电流为I.,由对称性,可以得到极板间的电流密度为Jau-a2二rE_aE2ar4二二r例2.17一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下,土壤的电导率为仃o略去地面的影响,求电极的接地电阻.U0a

23、=bEdr=4二二ab从而4二二U0I=11,二u0-,J-arJ1、2()rab单位体积内功率损耗为J2p=二<TJ-Aabj总功率耗损为U2由P=",得Rb2P=气p4二rdr=224；U0bdr4；U0R=I4二二1abJ解：当不考虑地面影响时,这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题.设导体球的电流为I,那么任意点的电流密度为J_LaJ2ar,4二rE二2ar4二二r导体球面的电位为去无穷远处为电位零点a2a4二二dr=4二二a接地电阻为R=U=I4二;二a例2.18如图2.7所示,平板电容器间由两种媒质完全填充,厚度分别为di和d2,介电常数分

24、别为鸟和%,电导率分别为巴和.2,当外加电压Uo时,求分界面上的自由电荷面密度.解：设电容器极板之间的电流密度为J,那么JJEi=E=于是JdiJd2Uo=112二1二2即J;did2"T分界面上的自由面电荷密度为Uo1；2di图2.7例2.19在电场强度E=a*y+ayX的电场中把带电量为-2q(C)的点电荷从点(2,1,-1)移到点(8,2,-1),试计算电场沿以下路径移动电荷所做的功.(1)沿曲线x=2y2;(2)沿连接该两点的直线.解：此题要求电场力移动电荷所做的功,最直接的方法就是根据功=作用力x作用距离,由给出的电场强度确定电荷所受电场力,再在对应的移动路径C上进行线积分

25、,即W=Fd=-2qEd.但注意到题目给出的场强为静电场'C'C的电场强度,那么可根据静电场为保守场,由静电力所做的功与电荷移动路径无关,至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计算.方法一：；DmE=0,此电场为静电场,电场力所做的功与电荷移动路径无关.由E=中=a*y+ayX可得,电位中(x,y,z)=xy+C,其中C为常数.点(2,1,1)到点(8,2,-1)之间的电位差U=5(2,1,-1)邛(8,2,-1)=14故无论是沿曲线x=2y2还是沿连接该两点的直线,电场力移动电荷-2q(C)所做的功W=-2qU=-28q(J).方法二：电场力F=-2qE=ax(-2qy)

26、+ay(-2qx),点2,1,1移到点8,2,1变化的只是x和y,故有dl=axdxaydy,Fdl=-2qydx-2qxdy(1)曲线C:x=2y2有dx=4ydyW=°Fdl2一,一._2、2_2.一1(-2qy4ydy-2qdy2y)=1-12qydy-28q(J)(2)曲线C:y1=1,即x=6y4,有dx=6dyx-2622W=cFdl(-2qy6dy-2qdy(6y4)=1(-24qy8q)dy=-28q(J)例2.20球形电容器内外导体球半径分别为a和b,如果保持内外导体间电位差U不变,试证实当内外导体球半径满足关系a=b/2时,内导体球外表的电场最小,并求此最小电场强

27、度.解：要求得内导体球外表的最小电场强度,需先求出空间各点电场强度的分布,再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识,求出内导体球外表的电场强度最小值,并得到此时内外导体球半径之间的关系由于内外导体球间存在电位差,故内导体球外表存在电荷,可设在内导体球面上均匀分布有总量为Q的电荷,因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系,内导体球面为r=a,外导体球面为r=b.在a<r<b的区间包围原点做一个半径为r的闭合球面S,由于电荷和电场的分布满足球对称,在S上应用高斯定理,有SEdS二0二:Err2sin"h=4二r1二Q.Q2,E-ar24二；0r4二；0rb-U=E

28、dl,aa4二；0r2设外导体电位为0,那么内导体电位为U,将点电荷从内导体外表搬到外导体上所需要的电场力所做功为：d旦工：4二；0ab4二；0ab故可反解出Q=WUabU/、,E=ar2(a:二r:二b)b-arbU在内导体球外表r=a,有Er=2=Er(a,b)ab-aa=b/2时有Er的最值bU(2a-b)?Er.:a一-一者,二=0,即b2a=0,(ab-a)faE-E又2>62时,巴>0;a<b/2时,三,<0;故a=b/2时Er有最小值.；:aja.当内外导体球半径满足关系a=b/2时,内导体球外表的电场最小.此最小值为Em-ar型=ar处.ab例2.21电

29、场中一半径为a的介质球,球内、外的电位函数分布为：；-；03cos?1 -E0rcosaE0-,r-a；,2；0r2 =-0-E0rcos,r_a；2十验证球外表的边界条件,并计算球外表的束缚电荷密度.解：题目给出的边界面,是介于介质和空气之间的球面,其法向为球的径向切向那么为ae和右中方向.要验证分界面上的边界条件,可以从电场矢量方面入手,根据题目给出电位分布,求出电场强度的分布,得到在边界面r=a上工=Et；也可以直接根据电位的边界条件,在r=a的分界面上,得到巴=匕的结论.而要计算球面的束缚电荷密度,可根据Pps=P6来计算.1)验证边界条件：方法一：直接利用电位的边界条件,有：r=a时

30、,%=E0acos9+aE0cos9=-3-0-E0rcos日=92；2；0；2；0,Q二平2,边界条件成立.方法二：-E二Ei-.I；-032cos二；-03sin-=ar(E0cos-aE0飞)aX-E.sinaE03-),r-a；,2；0r-；-2；0rE2一23；o；,2；0(arEocos二-a,Eosini),r三a分界面r=a上,n=ar_._.;_;o_.3；o.Eit=a4-Eosin【Eosin1)=a-Eosin?-E2t"；-2；o-'；2；o,Eit=E2t,边界条件成立.2计算球外表的束缚电荷密度:由上面可得Ei二ar(E0cos二32cos二；一

31、；o3a%丁)iFaEosin、3-),rarE23；o(arE0cos?-a【E0sin),D=；oEP=;E.P=(；-；o)E3；2；.*",-'o2aPl=(-o)Ei=(-o)ar(1FKE0cos式一1P2=(；0-；°)E2=o,r<a例2.22有一半径为a,带电荷量为q的导体球,其球心位于两种介质的分界面上,此两种介质的介电常数分别为小和无,分界面可视为无限大的平面,求：1球的电容量；2储存的总静电能.解：此导体球为单导体系统,选无穷远点为零电位点,球的电容量可由C=Q求出,其中Q为导体球所带电荷量,即q；为导体球外表电位与零电位点的电位差.故

32、求球的电容量,就需求导体球外电场强度的分布.同样,静电场的能量也可由电场强度求出,故此题的核心在于求电场强度的空间分布._/40年,图2.8由图2.8所示,以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系,电荷和电场分布具有球对称特性.在raa处做同心的高斯闭合球面,有22sDdS=Dr12二rDr22r=q在的和与的介质分界面上,有Eit=E2t,即Eir=E2r=E.,故有Dir=；1Eir=；1Er,D2r=；2E2r=；2Er,Dr12二r2Dr22二r2=；1Er-工2Er2r2=q2q4二a；i一注：也可计算为:1_2We二-E2d2n/foFJa11E2r2sinMrdid"-ii

33、i12E2r2sindrdid:0a'a加20222_q4：a；2第4章恒定磁场例4.1半径为a、高为L的磁化介质柱,如图4.1所示,磁化强度为M0(M0为常矢量,且与圆柱的轴线平行),求磁化电流Jm和磁化面电流Jms.图4.1解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合,磁介质的下底面位于z=0处,上底面位于z=L处.此时,M=azMo,磁化电流为Jm=1M=1(M0az)=0在界面z=o上,n=3z,JmS=mMn=M0azM(aj=0ziiis0zz在界面z=L上,n=az,Jms=Mn=M03zxaz=0在界面r=a上,n=ar,JmS=M父n=M0az父ar=M0atp例4.

34、2内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I,求柱内、外的磁感应强度.解：使用圆柱坐标系.电流密度沿轴线方向为0,r:二aJ=<azI二b2-a20,rb由电流的对称性,可以知道磁场只有圆周分量.用安培环路定律计算不同区域的磁场.当r<a时,磁场为0.当a<r<b时,选取安培回路为半径等于r且与导电圆柱的轴线同心的圆.该回路包围的电流为,22=J二r-a22Ir-ab2由Bdl=2irrB(p=N0I',得B(p=oIr2-a2ZT22-2二rb-a当r<b时,回路内包围的总电流为I,于是B(p=J°I例4.3半径为a的长圆柱面

35、上有密度为J,.的面电流,电流方向分别为沿圆周方向和沿轴线方向,分别求两种情况下柱内、外的Bo解：(1)当面电流沿圆周方向时,由问题的对称性可以知道,磁感应强度仅仅是半径r的函数,而且只有轴向方向的分量,即B=azBz(r)由于电流仅仅分布在圆柱面上,所以在柱内或柱外VmB=0.#B=azBz(r)代入VmB=懿噜=0,即磁场是与r无关的常量.在离面无穷远处的观察点,由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流元之和,所以磁场为零.由于B与r无关,所以,在柱外的任一点处,磁场包为0.为了计算柱内的磁场,选取安培回路为图4.2所示的矩形回路.图4.2有寸Bdl=hBz=hN0Js0因而柱内任

36、一点处,B=azN0Js0ZSzSc(2)当面电流沿轴线方向时候,由对称性可知,空间的磁场仅仅有圆分量,且只是半径的函数.在柱内,选取安培回路为圆心在轴线并且为于圆周方向的圆.可以得出,柱内任一点的磁场为零.在柱外,选取圆形回路,cB,d=N0I,与该回路交链的电流为2naJs0,?B.dl=2兀田中,所以B=5铲.,.9.例4.4如图4,3所示,一对无限长平行导线,相距2a,线上载有大小相等,方向相反的电流I,求磁矢位A,并求Bo解：将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加.对单个导线,先计算有限长度产生的磁矢位.设导线的长度为1,导线1的磁矢位为(场点选在xoy平面)oll2

37、dzol|l2(l2)2ri212AiazIiazln4二2(r12.z2/2二ri,.Lll当1Tg时,有A=azlnL2二r1同理,导线2产生的磁矢位为0lA2-azln2二r2由两个导线产生的磁矢位为A=az(A+A2)=az翌J_jLazqnaz四ng/2nIrir2J2nr14n(x-a)+y2相应的磁场为二a上y2-xay2x-aolxa2n(x+aj+y2x-a(x-af+y2图4.3例4.5内,外半径分别为a,b的无限长铁质圆柱壳磁道率为k沿轴向有恒定的传导电流I,求磁感应强度和磁化电流.解：考虑到问题的对称性,用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度.当r<a时,B=

38、07(r2-a2)a2二rb2-a2当rab时,(L-1)I二(b2-a2)-0rM:Jm-M=az=ar2ra:2二r.22X当rAb时,Jm=0在r=a处,磁化强度M=0,所以JmS=Mn=M(-ar)=0在r=b处,磁化强度(r-1)1a%所以MXDHXDQLrFa.,Jms=Mn=Mar=(rfla-2二b例4.6在半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流I沿轴方向.设导体的磁导率为此,其外充满磁导率为4的均匀磁介质,求导体内外的磁场强度、磁感应强度、磁化电流分布.解：考虑到问题的对称性,在导体内外分别选取与导体圆柱同轴的圆环作为安培回路,并注意电流在导体内是均匀分布的.可以求出磁场强度如

39、下：一一lr一一IrEa时,H=acpr>a时,H=aqj2a22二r磁感应强度如下：ilr2IrMa时,B=a52;r>a时,B=a中2二a2二r为了计算磁化电流,要求磁化强度:1.LI(胃1,、lrrEa时,M=acp(-1)2,与2二aiLir>a时,Macp(1),JmM0L2二r在r=a的界面上计算磁化面电流时,可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层.这样,其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和,即Jms=MiniM2n2这里的ni和n2分别是从磁介质到真空中的单位法向.如果设从介质1到介质2的单位法向是n,那么有Jms=M1n-M2n代入界面两侧的磁化强

40、度,并注意n=a.,得例4.7空气绝缘的同轴线,内导体的半径为a,外导体白半径为b,通过的电流为Io设外导体壳的厚度很薄,因而其储蓄的能量可以忽略不计.计算同轴线单位长度的储能,并有此求单位长度的自感.,1八Jms-az(1|1)-022,az(d-1)02,100解：设内导体的电流均匀分布,用安培环路定律可求出磁场.IrIr<a时,H=a(p2;a<r<b时,H=a中2二a2r单位长度的磁场能量为2.2a1obIo口八|八|bWm=L0H2二rdr+0H22二rdr=0+-0lne02a216二4二ab故得单位长度的自感为L=+lnb,其中的第一项为哪一项内导体的内自感.8

41、二2二a例4.8一个长直导线和一个圆环(半径为a)在同一平面内,圆心与导线的距离是d,证实它们之间互感为M=N0(d-Vd2-a2).IJj证实：设直导线位于z轴上,由其产生的磁场B=2-：x2二(drcos?)其中各量的含义如图4.4所示.a2二li磁通重为;Bds:-rdrd-002二(d,rcos1)上式先对日积分,并用公式2二d-_2-0dacos,d2-a2尔于所以互感为M=°(d-d2-a2)图4.4例4.9一根通有电流I的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中.(1)求出H,B,M及磁化电流分布；(2)假设将导线埋在介质分界面间,电流I沿z方向流动,在z<0的半无穷空

42、问中充满导磁率为n的均匀介质,在zao的半无穷空间为真空,求出H,B,M及磁化电流分布；(3)假设将导线埋在介质分界面间,电流I沿z方向流动,在x<0的半无穷空问中充满导磁率为n的均匀介质,在x>0的半无穷空间为真空,求出H,B,M及磁化电流分布.解：(i)由安培环路定律,以导线为中央做闭合积分曲线,上-cHdl=H：2二r=II-I二H中=,即H=a(p2二r2二rB"1"-(J-1)I故：B=NH=acp,M=丁一H=(-_1)H=acp,Jm=VMM=0,二r002二r(2)如图4.5(a)所示,以导线为中央做闭合积分曲线C,由安培环路定律有：,cHdl二

43、H2r二II2：r那么有:«-1)IB12:r,Mi=H=(7-1)H=a“0"o.-(_2r-1)IJm=VxM=0,Jms=MMn=Mxar=-az;IIISIz2二rza0:B2=N0H=a%：,M2=0,Jm=0,Jms=.如图4.5(b)所示,以导线为中央做闭合积分曲线C,由安培环路定律有:伊dl=H1：,j.rH2：；r=I对于分界面,x=0处a中为法向,根据边界条件Bin=B2n,有B仰=B2(p=B(p,即：Hi(p=-y,代入安培环路定律,有B：二rP0I口,0二rJ.I.0二rH1H2x<0:M1=(r-1)f=a.：Jm=VxM=0,Jms=Mn

44、=M><acp=0;Jms=0.图4.5(a)图4.5(b)B一xA0：M2=Yj-_H2=0,Jm=0,-0例4.10半径为a的无限长直圆柱形导线沿轴向通过电流I.如图4.6所示,取图中a=2n处为参考点,用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位.图4.6解：对磁标位来讲,它是和磁力线垂直的,而通电长直导线的磁力线是以电流为圆心的同心圆,因此磁标位就应该是r方向的射线,所以中m应该与r和z无关,拉普拉斯方程应该是:解出来m-CD代入条件a=中=2n为参考点,有中m=2nC+D再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路l,起点A和终点B在邛=2n的两侧,由于H=-中m,比照静电场中电场强

45、度和电位之间的关系,B有*mA3mB=aHdl力,中mA=0,9mB=2垢+D,那么2项+口=-IA这样始终有两个未知量不能确定.于是又考虑中=2n和平=0是同一点,那么参考点也可以看作是邛=2n,代入中m=CP+D中,中=2n时中m=D=0,故中m=C平,这就只有一个未知量了.B-再做参考积分回路,那么mA-；：mB=0-2二C=Hd=IA解得C二一,故m=C-2二例4.11一横截面为正方形的环形铁心上开有一空气隙,长度6=1mm,铁心内半径a=8cm,横截面边长b=2cm,相对磁导率叫=500.铁心上均有紧密绕有线圈1000匝,如图4.6所示.忽略气隙附近的漏磁通,求此线圈的自感.图4.6

46、解：由于忽略气隙附近的漏磁通,根据磁通连续性方程,可视将磁感应线只在磁环内流动,且垂直磁环截面,磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上.设磁环上磁感应强度为Bk,磁场强度为Hr；气隙中磁感应强度为B0,磁场强度为H.,由安培环路定律有：b<Hdl=H即2町一6+小邛石=NI,其中r=a+=9cmC2对于空气与铁心的分界面,a中为法向,根据边界条件即=B2n,有B：一BB1p=B2cp=Bcp,可行H闻=h,H0p=-JJ0故有B2叫6+器芯=NI,解得Btp=N-02二r一二,通过铁心截面的磁通量=fBepdScp=Bep,Sep="-b2S2二r-'线圈的自感LNb2

47、2二r-、._7十代入数据C.=10"m,b=0.02m,r=0.09mN=500%N=1000,得Nb2,200.=0.251(mH)2-：r-'：'：'丁工第5章时变电磁场例5.1证实均匀导电媒质内部,不会有永久的自由电荷分布.解：将J=»E代入电流连续性方程,考虑到媒质均匀,有-_cP_cP、(二E)=；：<E)一二0；:tft由于：D=；J、(E)=、E=：-二:-t.所以：一十,P=0,P(t)=Poe6ft；例5.2设z=0的平面为空气与理想导体的分界面,z<0一侧为理想导体,分界面处的磁场强度为H(x,y,0,t)=axH0

48、sinaxcos(ot-ay),试求理想导体外表上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度.解：JS=nH=azaxH0sinaxcos(t-ay)=ayH0sinaxcos(t-ay):S-=H0sinaxcos(t-ay)=aH0sinaxsin(t.ay).:t：:yPS=-a0sinaxcos(t-ay)c(x,y)假设t=0时,ps=0,由边界条件n-D=Ps以及n的方向可得D(x,y,0,t)=azE(x,y,0,t)=azaH0sinaxcos(t-ay)0aH0sinaxcos(t-ay)0例5.3试求一段半径为b,电导率为仃,载有直流电流I的长直导线外表的坡印廷矢量,并验证

49、坡印廷定理图5.1解：如图5.1,一段长度为l的长直导线,其轴线与圆柱坐标系的z轴重合,直流电流将均匀分布在导线的横截面上,于是有：E=azCT,2二b二在导线外表H因此,导线外表的坡印廷矢量S=EH-arI22.二2b3它的方向处处指向导线的外表.将坡印廷矢量沿导线段外表积分,有-SSds-SSardS=2-2nbl2.nb)=I例5.4在两导体平板(2=0和2=)之间的空气中传播的电磁波,其电场强度矢量E=ayE0sin(n/d)zcost-kx),其中kx为常数.试求：(1)磁场强度矢量H;(2)两导体外表上的面电流密度Js.解：由麦克斯韦方程组得VME=-AxgEy/+az(8Ey/d

50、x)=-6B/祝,对上式积分得B=ax-E0cos(z)sin(t-kxx)azE£kxsin(-z)cos(t-kxx),dddEEnk.二即H=ax0-cos(z)sin(©t-kxx)+az-0-sin(z)cos(ot-kxx).d0d0d(2)导体外表上得电流存在于两导体相向的一面,故z=0面上,法线n=a*z,面电流密度Js=az=<Hz=d面上,法线n=-az,面电流密度Js=-Az父Hz-0E0二-ay-'dJ0E0二二ay-'dJ0sin一kxx);sin(©t-kxx).例5.5一段由理想导体构成的同轴线,内导体半径为a,外导体半径为b,长度为