初一数学乘法公式、因式分解拓展题

1、初一数学乘法公式、因式分解拓展题1.已知(x 2015)2+(X- 20 1 7尸=3 4,顺x 201 6 )2的值是()A. 4°B.8 C. 1 23D.162.已知:a=2014x+ 2 0 15, b =2 0 14x+201 6 , c = 2014x+2 0 17，则 a 2+b2+c2 - a b-ac - b c的值是()A. On C. 2°D. 33.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与 乙相乘为x2-4,乙与丙相乘为x 2+15 x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一 个式子相同?()A.2x+19°B.

2、 2x_19oC. 2x+15° D . 2 x - 154 .若xJmx+k是一个完全平方式，则k等于()2A.m2 B. 1-m2 cXm2D. Lt?43165 . n是整数，式子工1 - ( -1) n (n2- 1 )计算的结果()8A .是0。 B.总是奇数C.总是偶数。D.可能是奇数也可能是偶数6 .已知 a+b=3, ab= - 2,则 a?+b2 的值是_.7 .分解因式:a? -4a 2b+4ab2=.8 .分解因式：x3 - xy2=_.9 .如果俨+p) (x2+7)的展开式中不含有X?项，则p=.2 , , 210 .已知 a+b = 8 ,a2b2=4,则

3、/ 芸 - -ab=_.11 .观察下列各式的规律：(a - b ) ( a +b) = a2 - b(a - b ) ( a 2+a b +b2)=a3 - b3( a - b) (a3+a2 b +ab2+b3)= a 4 - b.可得到(a - b) ( a ?016+a2°15 b +.+a b2015+b 2016) =.I 2.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角. 这个三角形给出了(a+b)n(n = l, 2, 3, 4.)的展开式的系数规律(按a的次数由 大到小的顺序)：请依据上述规律，写出(X - 2严16展开式中含x2O14项的系数是

4、.X1 1(a+b)1=a+b1 2 1(a+b)2=a2+2ab+b213 3 1(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b314 6 4 1(a+b)Ja:+4a 办+63汨+43心心13 .观察下列等氐：1+2+3+4+.+ n =-|-n( n +1);1+3+ 6 +10 + .+in( n +l)=n ( n + 1 ) (n+2 );261+4+ 1 0+ 2 0+.+-1-n (n+1) ( n+2)=A-n(n +1) (n+2) (n+3)；则有：1 +5+15+35+.U-n (n+1) ( n +2) (n +3)=.2414 .如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一

5、个正确的等式a b c15 .在一次数学课上，李老师对大家说:“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操 作,我会直接说出你运算的最后结果.操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以2 5;第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数.若小明同学心里想的是数9.请帮他计算出最后结果.(9+ 1 ) 2 - (9 - 1门 X254-9(2)老师说:同学们,无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作， 得到的最后结果都相等.小明同学想验证这个结论,于是，设心里想的数是a (aW 0).请你帮小明完成这个验证过程.16.若我们规定三角&q

6、uot;/表示为:a b c；方框，LT表示为：(xm+yn).例如：Z1P_2 1211=1X19X34- (24+3')=3.请根据这个规定解答下列问题：为完全平方式，则卜=(3 )解方程:1217 .把一张正方形桌子改成长方形，使长比原边长增加2米,宽比原边长短1米. 设原桌面边长为x米(xl.5),问改变后的桌子面积比原正方形桌子的面积是增加 了还是减少了？说明理由.18 .阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的杨辉三角就是其中的一 例,杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的详解九章算法艺术中，揖录了 如图1所示的三角形数表，称之为开方作法本源图，经观察

7、研究发现，在两腰上 的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点,例如：每个数都等于它上方两 数之和等等.如图2,某同学发现杨辉三角给出了（a+b）。（n为正整数）的展开式（按a的次 数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1,2， 恰好对应（a + b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1,3, 3,1, 恰好对应着（a + b） 3=a3+3a2b+3ab2+展开式中各项的系数等等.通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外） （2）计算:9 93+3 X 9 92+3 X 9 9+1；（3）请你直接写出（a +邸的展开

8、式.图1图219 .如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自 然数为“麻辣数.如：2=13（- 1）3, 26=33 - 13,所以2、26均为“麻辣数.【立方差公式 a ： - b3=（ a - b ）（ a 2+ab+ b 2）请判断98和1 6 9是否为麻辣数，并说明理由；（2）在小组合作学习中,小明提出新问题:求出在不超过2016的自然数中，所有 的，麻辣数，之和为多少？小组的成员胡图图略加思索后说:这个难不倒图图，我 们知道奇数可以用2 k+1表示，再结合立方差公式，请你顺着胡图图的思路，写 出完整的求解过程.20 .若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则

9、称这个正整数为智慧数,如:3 =22 12,7=42 - 32,8=32-r,因此 3, 7 ,8 都是“智慧数.（1）18智慧数,2017_智慧数（填“是或“不是）；（2）除1外的正奇数一定是智慧数吗?说明理由.21 .在一次数学课上，李老师对大家说：你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果.操作步骤如下：第一步，计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方;第二步二把第一步得到的数乘以25 j小明的作业第三步；把第二步得到的数除以你想的这个数.解:月=(x+2) 2Tx ri-x；-9® ® ®= 3x-52 4 . (1)因

10、式分解:(x - y) (3 x - y) +2x(3x - y);(2)设丫=1,是否存在实数k,使得上式的化简结果为一?求出所有满足条件 的k的值.若不能，请说明理由.25 十字相乘法能把二次三项式分解因式，对于形如a x 3.已知多项式 A= ( x+2) 2+x(l-x) - 9(1)化简多项式A时,小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程.在标出的几项中出现错误的是;正确的解答过 程为(2)小亮说:只要给出x?-2x+l的合理的值，即可求出多项式A的值.小明给 出- -2X+I值为4,请你求出此时A的值.+b x y+cy2的关于x,y的 二次三项式来说，方法的关键是把

11、x2项系数a分解成两个因数a -az的积，即 a= a i>32t把y2项系数c分解成两个因数c i2的积,即c=C1C2,并使aiC2+a 2”i正好等于x y项的系数b,那么可以直接写成结果：axqbxy+cy2 =(aix+c iy)(a2 x +c2y).例：分解因式 2xy - 8y2.解：如图 1,其中 1=1X 1 , - 8= ( - 4)X2,而-2 =1X2 + 1X ( - 4)./ x 2 - 2 x y - 8 y = ( x - 4y)( x + 2 y )而对于形如ax2 + bxy+c y ' + d x+ey+f的x ,y的二元二次式也可以用十字

12、相乘法 来分解，如图2,将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列， f分解成j k乘积作为第三列，如果m q +np= b ,pk+ q j = e , mk+ n j= d ,即第1, 2列、第2,3列和第1, 3列都满足十字相乘规则,则原式=(mx+py+D(nx+qy+ k ); 例：分解因式：x2+2x y - 3 y 2+3x+ y+2解:如图 3,其中 1=1X 1,-3= ( - 1) X3, 2=1X2;而 2= 1 X3+1X( 1), 1 = ( - l)X2+3 XI, 3= 1 X 2+1XI;x 2 +2 x y - 3 y "+3x+y+2=

13、 ( x - y+l)(x+ 3 y+2)请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：® 6x2 - 17xy+12 y 2=_0 2 x2 - xy - 6y2+2x+17 y - 12 =x? - xy - 6y + 2 x - 6y=(2)若关于x , y的二元二次式x2+7xy - 1 8 y - 5x+m y - 24可以分解成两个一26.通过对因式分解的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式 分解.如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为 1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a + 3 ab+2b=(a+b) (a+2

14、b)的分解 结果吗?请在画出图形.图1图22 7.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运 算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和乂将得到一个新数，叫做笫二 次运算，如此重复下去,若最终结果为1,我们把具有这种特征的自然数称为快 乐数.例如：32 玲 32 + 2? =13912+32=10 玲#+。2=1,70711根据前面各式规律,则(a + b)5=.30.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一 个数学等式.例如图1可以得到(a+2b) (a+b ) =a2+3ab+2b2.请解答下列问 题：(1)写出图2中所表示的数学等式；

15、(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a+b+c= 1 1, ab+bc + ac= 8 ,求 a2+b?+c2 的值；(3 )小明同学用3张边长为a的正方形，4张边长为b的正方形，7张边长分别 为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少?(4)小明同学乂用x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张边长分别为 a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b) (18a+4 5b)长方形，那么x+y+z=.+0?=49-> 4 2+92=97玲92+ 7 2=1 3。玲 1 2 + 32+02=1 0 12+02 = 1, 所以32和7 0

16、都是“快乐数.(1)写出最小的两位快乐数；判断19是不是快乐数；请证明任意一个快乐 数经过若干次运算后都不可能得到4;(2)若一个三位快乐数经过两次运算后结果为1,把这个三位快乐数与它的 各位上的数字相加所得的和被8除余数年纱出这个快乐数.2 8 .村料一：我们可以将任意三位数记为玄，更中a、b、c分别表示该数的白 位数字，十位数字和个位数字，且aW 0 ).显然盛=1 OOa+1 0 b+ c .材料二:若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为0,则称之为原始 数，比如123就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出5 个新的原始数，比如由1 23可以产生出132,213、2 31、3 12、321这5个新原 始数，将这6个数相加，得到的和1 3 32称为由原始数12 3生成的终止数. 问题：(1)分别求出由下列两个原始数生成的终止数：24 7, 63 8；(2)若由一个原始数生成的终止数为1110,求满足条件的所有原始数.11121314629.大家一定熟知杨辉三角(I),观察下列等式(H)I+2a方+万31垃3二/-34%十3出>:十茂41(次 +力)'=/ + 4a%+4&萌