1.不等式基本性质求代数式的取值范围

1、不等式性质求代数式的取值范围1 .知识要点：1 .不等式概念用不等号(,之,E,#)表示不等关系的式子称为不等式。其中用下,<连接的不等式，如f(x)Ag(x)称为严格不等式；而用之国连接的不等式如f(x)wg(x)称为非严格不等式。2 .比较两个实数大小的依据主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实数a,b的大小，即判断它们的差的符号。概括为，a-b0ua>b;a-b=0ua=b;a-b<0ua<b.其中u表示“等价于"，意味着两边可以相互推出。3 .不等式的基本性质性质1(对称性)若a>b,则b<a;若b<a,则a>

2、b.即a>bub<a.性质2(传递性)若a>b,b>c,则a>c.即a>%=a>c.bc性质3(同加或减性)若a>b,则a+c>b+c或a-ob-c.进一步可得(移项)：a+bc=a+b+(-b)ac+(-b)=a>c-b或a-bc=a_bbcb=acb.，性质4若ab,cA0,贝Uacbc.若a>b,c<0,贝Uac<bc.性质5若ab,cd,则a,cbd.性质6若aAb>0,c>d>0,贝Uac>bd.性质7若aAb>0,则an>bn(nW¥,n之2).性质8若aAb

3、>0,则吗a呢(n",nA2).特别强调：a>bu1<1不一定成立.因为当abc0时，有1>1；当ab=0abab.1111时，1J无意义；当ab0时，有1J.abab2 .解题思路：利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题，解此类问题时，常利用不等式性质3的推论，即“同向不等式的两边可对应相加；异向不等式的两边可相减”.但请注意，此种转化并不是等价变形，在一个解题过程中多次利用这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围，从而求出错误答案.正确的解法是：先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系，再通过“一次性不等关系的运算”，求出待求的范围.3

4、 .求解步骤把将要计算的代数式c用已知的两个代数式a与b表达出来，即c=ka+k2b（其中Kk为常数），并求出Kk的值.此方法可以推广到多个代数式的情况.分别求出k1ak2b的取值范围.一次性利用不等式的性质，求出Ka+k2b的取值范围，即得代数式c的取值范围.四.高考题演练1.(辽宁局考)已知-1<x+y<4且2ex-ym3,贝Uz=2x_3y的取值范围是.提示1232 .(江苏高考)设实数x,y满足3Wxy2E8,4E土宅9则占的最大值yy是提木23 .若a,P满足尸0，则口十3P的最大值是.提示1_:2-,33324 .已知1Elg2W2,2Wlg。E3,则lg；=的取值范围

5、是.提示y.y3y45 .已知f(x)=ax2-c且YWf(1)W1,1Ef(2)W5,则f(3)的取值范围是.提木56 .已知：1Ma-bM2且2Ma+bM4,求4a-2b的取值范围.提示67 .已知二次函数y=f(x)的图像过原点，且1Wf(-1)W2,3Wf(1)W4,求f(-2)的取值范围.提示7参考答案:提示1:设z=23mxy+Wy(_mnx(切国+),|m+n-2m-n=-3m-得2,所以-2<(x+y)<,5<(xy)(一，52222n=-2贝U3<；(x+y)+5(xy)c8,即3<2x3y<8.32提示2：显然占=(xy2)(上)2,为转

6、化为上面用到的基本解法，因此可两yy32边同时取对数，化为lgt=-lgxy2+2lg2的形式.易得yy23-lg821g4xyig2<l-g+lg,3艮21gg291g3WIg27,贝Uyy32M><27,最大值是27.y提示3：设u+3P=m(a+P)+n(a+2P)=(m+n)£+(m+2n)P,因为<mn1,m2n=3得1m二-1,所以易求1Wa+3PE7.n=21lgx-lgy-2提示4:已知条件可化为1,2<3lgx-lgy<3设lg116导m=一二，n=二.取51511=3lgx-lgy=m(lgxlgy)+n(3lgx-lgy),易求322终lg号的取值范围是26,3.3y15提示5:已知条件可知此m1a-f(2)-f(1)则341c=-f(1)-f(2),33则f=9ac=：f十8f.易求f(3)的取值范围是-1,2033提示6：类似以上解法可求5<4a-2b<10.提示7:法1(待定系数法):设f(-2)=4a-2b=m(a-b)n(ab),可求1ybM23三f(1)=ab