2017全国数学竞赛一试word打印版

1、2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1 .设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x+3)，f(x4)=1.又当0Mx<7时，f(x)=log2(9x),则f(-1002值为.一一22 .若实数x,y满足x+2cosy=1,则xcosy的取值范围是.22xy3 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+'=1,F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C910上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为.4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是.5 .正三棱锥P-AB

2、C中，AB=1,AP=2，过AB的平面a将其面积平分，则棱PC与平面口所成角的余弦值为.6 .在平面直角坐标系xOy中，点集K=kx,y)|x,y=1,0,1).在K中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为55的概率为.JIJ-L17 .在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若2A=3,ABC的面积为33,则AM-AN的最小值为.8 .设两个严格递增的正整数数列&n,%研足：a10=匕0<2017，对任意整数n,有an七=小书+4，bn十=2bn,则&+匕的所有可能值为.二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9

3、.(本题满分16分)设k,m为实数，不等式x2-kx-m.=1对所有xefe,b】成立。10 .(本题满分20分)设Xi,X2,X3，是非负实数，满足Xi+X2+X3=1求(x1+3x2+5x3；1十：十X3|的最小值和最大值.11 .(本题满分20分)设复数zi,Z2满足Re(zi)>0,Re(z2)>0,且Re(z；)=Refz；)=2(其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re(4z2)的最小值；(2)求z+2+z2+2-z1z2的最小值参考答案及解析【解析】由条件知,fx14)=-=f(x),所以f-100f-100147f-2=-f5log2422.【答案】11,J3

4、+1【解析】由于x2=12cosyw匚1,3】,故xw14323，由coys1-X21-x2x-cosy=x212=一(x+1/1.因此当x=1时,2x-cosy有最小值-1（这时y可以取；）；当x-J3时，x-cosy有最大值f3+1脑时y可以取几）.由于：（x+1/-1的值域是一1,/3+1，从而xcosy的取值范围是L1,J,3+13113 .【答案】【解析】:易知A（3,0）,F（0,1）设P的坐标是（3cos0,J10sine旭w0,2一一一1SOAPF=S.OAPSOFP=2310sin71,71'=3.10cossinf=23.113、11.10其中a=arctan.当日

5、=arctan寸10时，四边形OAPF面积的取大值为104 .【答案】75【解析】考虑平稳数abc若b=0,WJa=1,c三0,1，有2个平稳数若b=1，则a乏1,2,cw0,1,2,有2乂3=6个平稳数若2wbE8,贝Ua,cw<bI,b,b+1,有7M3父3=63个平稳数若b=9,则a,cw杷，9,有2乂2=4个平稳数综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=755.【答案】3,510【解析】设AB,PC的中点分别为K,M,则易证平面ABM就是平面212212122123AMAPAC-PC21-2=4242,由中线长公式知所以KM=.2一"21一3若又易知直线PC在平面a上

6、的射影是直线MK,而CM=1,KC=立，所以2cosKMC=KM2_2_22MC2-KC25+1-33.52KMMC10故棱PC与平面a所成角的余弦值为3.5106.7【解析】易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C；=84种.将K中的点按右图标记为A,A2,，A8,O淇中有8对点之间的距OAt离为V5.由对称性，考虑取A,A4两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7父8=56个三点组（不计每组中三点的次序）.对每个A（i=1,2，8）,K中恰有AwA花两点与之距离为近（这里下标按模8理解），因而恰有（a,A如A名Ki=1,2，8心8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点48

7、4组个数为56-8=48,进而所求概率为48=-847【解析】由条件知,-1-31AM=(AB+AC),AN=AB+AC故244,AM'1j-*、31-*1fI-2AN=(AB+AC)AB+AC|=I3AB2<44J8U一2一_+AC+4ABAClBC由于、3二1-ABACsinA=2JR1r一一ABAC,所以ABAC=44,进一步可得ABAC=ABACcosA=2,从而AMAn>-2/31ABlACl+4ABAC8l、3=ABAC+41ABAC=.312.2当AB=胃，AC43=2mU3时，AM*aN的最小值为V3+18.【答案】13,20【解析】有条件可知：a1，a2,

8、h均为正整数，且a1<a2,由于2017Abi0=29b=512bl,故b,w4,2,3i反复运用4的递推关系知a10=a9a8=2a8a7=3a72a6=5%3a5=8a55a4=13a48a3=21a313a2=34a221al因此21a1=aw=bw=512b1=2b1mod34而13父21=34父8+1，故有a1=13父21al=13父2bl=26h(mod34),另一方面，注意到a1<a2,有55al<34a2+21a1=512b1,故b1512a1:-55512一当b1=1时，分别化为a1=26(mod34),a1<,无解551024当b1=2时，分别化为a

9、1=52(mod34)a1<得到唯一的正整数a1=1855此时a1,b1=20当"=3时，分别化为a1=78(mod34),a1<1536,得到唯一正整数a1=10,此时55a1灯=13综上所述，a1+b1的所有可能值为13,209.【证明】令f(X)=X2kXm,Xwa,b】，则f(X户1-1,1.于是2,1fa=a-ka-m三1,fb=b2-kb-m<1,2ab，-k-由+2m知,2b-=fafb-2f故b-a<2216分10.【证明】解：由柯西不等式d+3x2+5&为+”+丛之V35J2XiXi.3x22,=X1X2X3=1X1=1,X2=0,X

10、3=0时不等式等号成立，故欲求的最小值为1,因为,Xx2x3)1(x1+3x2+5x3：x1十一十一尸一(x1+3x2+5x3)(5x1<35J5X3)11Lv£一(x1+3x2+5x3)+(5x154<25x2丁Xj1202八14八6X1X26x310分1296x16x26x3二一201,一9X2=0,X3=一时不等式等号成立，故欲求的最大值为一2520分解：（1）对k=1,2,设zk=xk+yki(xk,yxeR)由条件知xk=Rezki70,xk-y2=Rez2=2因此Re4Z2=Rex1yix2yzi=X1X2-yiy2=y22y22一小於-(y1y2+2)y1y2*2又当z=Z2=时,Re亿z）=2.这表明,R/z）的最小值为25分对k=1,2,将zk对应到平面直角坐标系xOy中白t点R（xk,yk），记P是P2关于x轴的对称点，则R,F2'均位于双曲线C:x2-y2=2的右支上.设Fi,F2分别是C的左,右焦点，易知FG2,0）,F2（2,0）根据双曲线定义，有P,F1='RF2|+272,F2