2019全国3卷高考理科数学试题及答案解析

1、2019普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一选择题：聿即兴怪小题.每小黔5分，共M分,在驾小靓

2、给出的四个选项中.只有一项是符合注日金求的.1,已知算含#&1,2；,XS*MAnB*A.-1,0,1B.0,1D.0,1,22 .若z(1+i)=2i,则z一%遇择本题其理小SL胃小朝5分.找3分.在W小我增出的四个选国中.Rfl-项是柿合督目要求的.匚已制言工二。OtK>,距t则dA.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3 .西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本小学生阅读四大名著的情况，随机调查看了100位学生，期中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共

3、有60位，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为A.0.5C.0.7D.0.84 .U+2/Jn+4的展开式中/的系数为A. 12B. 16C. 20D. 245 .已知各项均为正数的等比数列巴的前4项和为15,且。.一初.+4。,则Q.一.1J3A.16B. 8C. 4D. 26 .已知曲线部”在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+b,则A. a=e,b=TB. &=e,b=iC. a=c1,b=lD.a=c1,i>=T7 .函数二2，,r,在-6,6的图像大致为8 .如图,点,NN为正方形ABCD的卬心，AEDC为正三角形，平面EDC1平面ABCD,，

4、M是线段ED的卬点则.A. BM=EN,且直纹BM,心是相交亘线,B. BM*EN,且直线BM,E5是相交直线C. BM心，自直线BM,EN是异面直线.D. BMWEN,且直线BM,E5是导面百缄9 .执行右边的程序框阳，如果输入的£为OOL则偷出的值等于dD.2-J”，C）10 .双曲线C：?-J=1的右焦点、为片点、尸在c的一条渐近线上,0为坐标原点，若42|P0|=|PF|,则户网的面积为3亚A.436B.2c.22D.3211 .设/（X）是定义域为代的偈幽数目在（0,y）单烟递减则（，XA./log3-J>/l22>f3I“12 .设由数/（x）=sin1/x+

5、®>0）,已知/'（X）在O,Zr有且仅有5个零点“下述四个结论2/（X）在（0,2川有且仅有3个彼大值点/（X）在（02,有且仅有2个梭小值点w。/3电哈）单明递增“12290的取值芟图是布卜算中所有正确结论的编号是，I/B./C.初D.，二蚯题:本题共4小题.每小K2.共2例.13.已如a,b为空位向场,且。-3=0,若仁=为一质.P«cos（a,c）记5n为等爰数列QJ项和，若。产04=3a则15 .设月，月为桶困的两个焦点为C上一点且在篦一象限，若F港为多收三国形，划乂的坐标为“16 .学生到工厂劳动实践，利用3D打印投木布作梗型，如图，该模型为长方体

6、ABCIh”44aA，比去四债惟。一EFGH后所管的几何僖，耳中。为长方体的中心，E,F,G,H,分别为所在校的中点,AB=BC=6ct,AAi=4c1,3D打印所用原料密度为89gmr.，不考虑打印损耗，制作该根曼所雷原村的蕨量为8一三解答还,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演其步.骐，第1721匪为必考整,位个试题考生都必须作答。第22、23建为选考题，考生根宪要求作答：(一)必考题：共60分.17 .12分)，为了解甲，Z两种离子在小依体内的贼看程度，进行如F其妹：鞘200只小施机分戌A,R两组，每组100R,苴中A组小虢给服甲离子溶液，B担小晶给服乙高子濡液，每只小X给眼的港X

7、体R相同，鹿尔充度相同圾过一段时间后用某林科学方法测R出或国在小限以内Si子的百分比，祖摒女蛉M握分别得到如下自方国：.单工子援阐百分比食方图乙禽子及W仃分比。方图C为事件：乙喜子残留在年内的百分比不帐干523抿掘百方团得罡P©的右计值为0.70“(1)由乙离子嫔留百分比直方图中a,b的值，(2)分别估计甲，乙高亍法雷百分比的平均值同一组中的料据用该组区间的中点信为代朱)。/皮1的内角上B、C的对边分别为打brc,已知asin工£=bsin/.(1)求6»<2>若.咖为锐角三角形，且c=1,求.收面理的取信范困一19 .3分1二图1是由姮形ADEB、堆

8、A曲和夏影曲;留成的一个平面图形，耳中AB=1,BE=BF=2,ZFBC-60*,将其沼.血1折起使得杷与此重合，连结g如同2.“(1)证明；图2中的川G32国点共面，且平面胆平面5CGEi(2)东国2中的二面角B-CG-A的大小20 .(12分)/已知函联f(»4-or；-b.(D讨论/(x)的单调性一(2)是否存在d使用/(X)在区间0.1二的吊小值为-1目鼻大俏为1?若存在。求出4.的所有值I若不存在,说明理由x21已知曲线,。为直线尸上的动点，过。作。的两茶切城，切点分别为4Bi（1） 证明；直线AB过定点J/（2）若以£（0,为日心的国与宜线AB相切，目切点为线E

9、殳43的中点.，求四边形ADBE的面枳.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23藕中任选一辗作答.如果多做，则按所做的第一慧计分.门迭修47：坐你系与缪数方程（10分）如图，在极坐标系中，加2,0）,5（应二），a&,¥）,0（2,网），5丽，心，44无所在图的囱心分别是1,0），（1>,（1，”），四线”是第百，曲线必是为记，曲线展是弘令<1）分别写出M,16,乂的极坐标方程，<2）曲技K由第，X,16狗成，甘点尸在“上，且|"|=求尸的极坐标，23.选修45：不等式选讲（10分）“设力外ZCR,且x+y十z=1，（1）求"D（尸1

10、）1（71"的最小值：,<2>若（r2尸+尸1尸（kQ'N?成立，证明：a4-3或2-1。全国卷三(数学理科)解析一、选择题IIsA【解析】由题知所以/已代-1,0,1,故选A.2、D解析2=言=靛厂T故选D.3、C【解析】设阅读过西游记和红楼梦的分别为事件A和5,则以或者方中有90人，B中有80人，/且方申有60人，所以/中有90-80-60=70人，即P")二篇=0.7,故选C.4、A.444解析】(1十2/)(1+x)=(1+%)+Z%2(14-X),所以(14-X)4的展开式中二的系数为C=4,而2必(1+幻4的展开式中彳3的系数为2c：=8,则

11、(1+2/)(1+x)4的展开式中炉的系数为4+8=12,故选A.5sC【解析】易知g士1;由ad=3alq?+4q得则qZ.,又g>0,所以q=2,因为S4=，=15,解得©=1,a3=aIq2=4,故选C.6、D【解析】由题知点(1,ae)为切点，且ae=2x1十力,又y'=qe%+lnx+,则gue-lnl-1=2,解得qg=L有。=工则b=l,故选D.7、B【解析】设用）=黑，其定义域为R，则式=黑=-品=贝丫），即为奇函数，排除C,又"6）=£圣=7>0,排除A,D,故选B.8、B【解析】由题知MV沙属，所以MNaE四点其面，即RW与

12、EV相交，设正方形,15。的边长为a,取CD中点M连接Ef工HN,CW,因为万C1DC,NH1.BC,平面EC。J_平面-48cD,平面ECDiQ平面ABCD=CD,所以平面ECD,国7J_平面EC。，在RTWZV中，22EN2=（a）十（与2=q2,而在RT徵CM中，方"=（但。）十222a2*EN"故选R.9、CK解析】第一次循环5=1/=不符，继续循环：5=1-、=最不符，继续循环：3=1，=界=不符，继续循环：5=14扑,工=点，不符,继续循环：s=1缶去户不符,继纹循环e右治'=%不符，继续循环7=1彳学奈尹妾，高<0。1，符合，退出循环，输出E-g

13、-gg热号+1户-去，故选C.10、A【解析】由超知a=2>V2.WJc=,于是渐近线的方程为产±生G,由|。|=|尸产|,不妨设点P在第一象限，其横坐标为：=宗于是其纵坐标为与x1=：,所以APFO的面积为乎，故选A.22222411、C【解析】由题知log|=-log*<-1,而0<2-彳<23<1,因为/x）132为偶函数，所以式1噫）=尺1。©或。g；），又因为0V2一乜2一，V1V32'log：,由大丫）在（0,+8）上单调递减，所以12-»>y（2-J）»（log，故选C.12、D【解析】由Z（X）

14、=s3（3X+豆（3A。工令k=3K+£因为XW0,2可,所以k=3x+gp2conr十皂，麻）在X0,2可上有且仅有5个零点，则57rs2s十|<6ti,则昔03V奈正确;又因为/（x）=ox:os（a次十,令力（gcosLXoxv+由xC（0：2力彳居W2371号由（y»得）得5元£23冗一1v6n,结合函数/?（t）=cosr的图象知正确，错误；由工（0,）得con4-£（-,-,由口竺，）得1055105L510等W会急，而焉结合J=S蛇的图象知，正獭故选D.二、填空题【解析11C|=J（2a-x/5b）2=,4+5;4x/5q-b=3,c

15、os<a,c>ac2ay/Sab2=同II=17-=3'14、4IM,【解析】设公差为d,贝必七3出，则#2Qi；于是出=与嘉=555.1+jd吧25al.'15、（3:V15）【解析】设点M（iy）B为左焦点，因为点在第一象限，所以又因为o=6：b=2倔则c=4,因为AMFiB为等腰三角形，|MF2|vaV2c=|尸12|所以只能|A4Fi|=|尸西|=8,则|2的|二勿-|初k1|=4,于是点M满足|0一4)+俨=16,两式(Q+4)2十产=64,作差得1648卡3,代入椭圆方程中，又j>0,所以则M(3,V15).16、118.8【解析】由题知四边形印G

16、H为菱形，其面积S=:乂4乂6=12,于2是Poyfgh=：X12X3=12.长方体的体积为6X6X4=144,则所求质量为(144-12)xo.9=l18.8g.三、解答题17、【解析】(1)由已知得0.70=cl0.2(H0.15,故的0.35.2?=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2x0.15+3x0.20-4x0.305x0.20*6x0.10-7x0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估il值为3x0.054x0.10-5x0.156x035+7x0.20-8x0.15=6.00.18、【解析】(1)由题设及正弦定理得sin

17、乂sin上W=sin8sinH.2因为sinJwO,所以sin'_°=OnB.YWWWfc2由.4-3+C=180，可得sin_£.=cos,cos«2sincos.22222因为cos0，feksin=1»因此5=60。.222（2）由题设及（1）知的面积SLqa.由正弦定理得口=f吆=初"°-6=3-.sinCsinC2tanC2由于/SC为锐角三角形，故0。<4<90。，00<C<90°,由（1）知477=120。，所以30。9<90。，故乙<4<2,从而史必皿走.2S

18、2因此，面积的取值范围是19、【解析】（1）由已知得3“3石，CGJ）BE.所以31CG,故>0CG确定一个平面，从而，C,G,Z）四点共面.由已知得一L5_L5EAB1BC,ABLBCGE.又因为平面45C,所以平面，苏C_L平面方CGE（2）作EfflSC,垂足为反因为瓦fu平面讶CGE,平面ECGEJ.平面.4BC,所以印JL平面HbC.由已知，菱形6CGE的边长为2,/E3C=60。，可求得8Zf=l,£77=4.以H为坐标原点，反的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xvz,则，(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,g),CG=(1,0f3)

19、,AC2,1r0)设平面HCG。的法向量为n=(X,户Z)：则说=0,即x+40,ACn=0,2x-v=0.所以可取=(3,6,-73).又平面BCGE的法向量可取为树=(0,1,0),所以因此二面角EYGT的大小为30。.20、【解析】(1)/,(x)-6jC-lax.-2jc(3x-a)-令ra)=o,得x=o或若o>0,则当X6S,0)Ug+8；时，/1W>o;当X；oj；时，/(x)<0.故/(x)在(t,0)，T单调递孰在;呜)单调递减；若0=0,7(X)在(-00：+00)单调递增；若O<0,则当X£(YO,gU(P,X°)时，J*(x)

20、>0；当X£(q,O；时，r(K)U.故/(X)在;TC,(0,X0)单调递增，在已o'；单调递减.(2)满足题设条件的Q,匕存在.G)当的)时，由(1)知，/在0,1单调递增，所以八X)在区间0,1的最小值为/®=U最大值为/(1)=2-"匕此时a,5满足题设条件当且仅当5=-1,2-a-5=l,即a=0,6=7.(ii)当庭3时，由(1)知,“功在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)=)，最小值为/(l)=2_a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-19b=l9即4=4,b=L（市）当033时，由（1）知，/在0

21、,1的最小值为/三、；=$血最大值为b或2-a+b.右"-互"-6=1»d=l>则a=3/2>与0V?v3矛1盾.27右余+5«1»2-a+2>=l,则a=3召或a=-3/或£2=0,与矛盾.综上，当且仅当0=0,5=T或0=4,时，/（工）在0,1的最小值为-1,最大值为1.21、【解析】（1）设。）>则父=2*1U4-由于V=x,所以切线。幺的斜率为芯，故=%.整理得2%-2方+1=0.设巩曰必），同理可得2欠-2必十1=0.故直线/归的方程为2tx-2）I-1=0.所以直线。过定点（0,-）.（2）由（1）得直线心的方程为-fx+L.2），=收十:由；，£，可得小一2次一10.U=5于是而*x:=2r,xax:=-Lh*v：=f（x1+x:）-rl=2r+b设a&分别为