2020-2021中考数学相似-经典压轴题含答案解析

1、2020-2021中考数学相似-经典压轴题含答案解析一、相似1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF7/AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0vtv6),解答下列问题:且T尸DJEC(1)当t为何值时，4AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形

2、oecqeSaacd=9:16?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二.在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,.AC=10,当AP=PO=t,如图1,过P作PMXAO,.AM=罔AO=/PMA=ZADC=90；/PAM=ZCAD,.APMAADC,AP.AP=t=当AP=AO=t=5,当t为5或5时，4AOP是等腰三角形(2)解：作EH，AC于H,QMAC于M,DNAC于N,交QF于G,QB图2在APO与CEO中,/PAO玄ECOAO=OC,/AOP=/COE.

3、AOPACOE,.CE=AP=t.CEHAABC,EHCE.ABAC.EH=§,修*区24dDN=51.QM/DN,.CQMACDN,.QM=/a-7)N1?2424-4tDG=1.FQ/AC,.DFQADOC,FQD(-X5Xt(t45)p25265oc"S五边形OECQf=SOEC+S四边形OCQf=Fr3-*-r*12.S与t的函数关系式为(3)解：存在，Saacef士X6X8=241n3.八c/-2广+7/4打S五边形oecqfSacd=32舍去)，5):24=9:16,解得t=上，t=0,(不合题意,91-1=I：时，S五边形S五边形oecqfSaacd=9:16

4、(4)解：如图3,过D作DMLAC于M,DNLAC于N, /POD=/COD,24 .DM=DN=$,* .ON=OM="=J.OP?DM=3PD,t1小合题意，舍去)，当t=2.88时，OD平分/COP.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得：AB=CD=6BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D;所以4AOP是等腰三角形分两种情况讨论：当AP=PO=t时，过P作PMLAO,易证CQMsCDN,可得比例式即可求解；当AP=AO=t=5时，4AOP是等腰三角形

5、；(2)作EHLAC于H,QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,可将五边形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S=三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的面积;(3)因为三角形ACD的面积=_ADCD=24,再将(2)中的结论代入已知条件S五边形S五边形OECQFSACEF9：16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存在；(4)假设存在。由题意，过D作DM，AC于M,DNAC于N,根据角平分线的性质可得/111DM=DN,由面积法可得；三角形ODP的面积f_0P'DMf；PDECDf：3PD,所以可得0P?DM=3PD,则用含t的代数式可将O

6、P和PM表示出来，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。y+bx/c2.如图，抛物线？过点d0),B2).M，m0)为线段OA上一个动点(点M与点A不重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N.(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；(3)如果以B,巳N为顶点的三角形与/则相似，求点M的坐标.【答案】(1)解：设直线.协的解析式为/上i(&上6).书加，B(0f2)3kb=0解得直线/沙的解析式为f了'"y#勘*+£抛物线J,经过点7优刃,方由4r-二

7、&I3£一口解得4n10.一kk(2)解：囱,上nP-端+Im.3,山点是小的中点.-.r外-nr+加二-1她一:一/解得，据J110.k(3)解：.A(3f0),1IBP-+2M4101/2上a+3)Pt%-H2)油，/他。，则33,32PM-,#22-tti+2T(不合题意，舍去)必.就7心,AP-、/7.|NE/iV二山5.当HP与BPPhx/753.加4.一时今痴3UM(r0)ts,PA麻一国，如MKO)：./373一乐3小I巧相似时，存在以下两种情况:-j®+2寸L13117心曲=3解得8加-25一邛+2»-；，解得二【解析】【分析】(1)运用待

8、定系数法解答即可。(2)由(1)可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M(m,0)可得点N,P用m表示的坐标，则可求得NP与PM,由NP=PM构造方程，解出m的值即可。BP出BPPA(3)在4BPN与4APM中，ZBPN=ZAPM,则有用片和科:巧这两种情况，分别用含m的代数式表示出B巳PN,PM,PA代入建立方程解答即可。3.如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作交边AC于点E,分另取BC,DE的中点M,N,连接MN.BVCBMc3MC图1图2图3MN(1)发现：在图1中，BD；是底边BC,DE的中点，若悍【答案】(1)(2)解：如图2中，连接BHXI°却：3ABC,/AD

9、E都是JAMBC,限JDEAMAY:-Rn制ABADAMAN一M一而:“XMAB-4AN-30BD上Ct，请直接写出BD的值.AM、AN,等边三角形，BYMC,bhNEsin的“?3?附(2)应用：如图2,将ADE绕点A旋转，请求出血的值；(3)拓展：如图3,ABC和|£AD®是等腰三角形，且Z3AC=上口唱，M,N分别站MNAMBD-AB-si116Z?(3)解：如图3中，连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O,A图3:'ABACADAhBMQI必XE?.：AMJ.BCAK1DE?:“AC上叫.:ABC上疝比:sitiXTOshi/ADY?AMAN二ABA

10、D?77：,/BAM-A/DAN-DAE一,一, :ZBAM4AN? -BADjM旅， ；£BADs3MAR,MNAM.：-sinABCBDAB?:BM血瓦 -EE,疝ACADAE?二WBA忆4c近,JNABI)/4CE?:F01CE二二HHC=90°?:ACE+OH=909?"OB40H.J4Ao-如，：,ABAC,二曲-/5“，MN*W.：一-sin75-中，作DH上HC于H,连接AM,AB2【解析】【解答】解：（1）如图1：*AEACBMCM?AM1BC?rwADE时等边三角形，:上ADE=6。'h4?，:DEZBC,:*AMJ.BC?.：AMJ.D

11、E?二1平分线段de,丁如纲?A、N、M共线，.；/NMH上MNI)=NORM=90:四边形MNDH时矩形，：岷=DH?MNDH。陋故答案为:MN=DH,则【分析】（1）作DH±BC于H,连接AM.证四边形MNDH时矩形，所以MN:BD=DH:BD=sin60；即可求解；(2)利用ABC,ADE都是等边三角形可得AM:AB=AN:AD,易得/BAD=/MAN,从而得BADsMAN,贝UNM:BD=AM:AB=sin60；从而求解；(3)连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.先证明BADsMAN可得NM:BD=AM:AB=sin/ABC;再证明BADCAE,贝U/ABD=/A

12、CE,进而可得/ABC=45,可求出答案.4.如图，抛物线F-nutJ-Siux+12m(in)。)与乂轴交于A,B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D,其对称轴与$轴交于点E,联接AD,OD.(1)求顶点D的坐标(用含曲的式子表示)；(2)若OD，AD,求该抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M,若AME与4OAD相似，求点P的坐标.【答案】(1)解：J-二皿”-8加式+12m二鼠汽-4A一油,顶点D的坐标为(4,-4m)(2)解：y一md-KmK,12m-m(x-2)(x6).点A(6,0)，点B(2,0),则OA=6

13、,二,抛物线的对称轴为x=4,.点E(4,0),贝UOE=4,AE=2,又DE=4m,由勾股定理得：加-那，裙一曲；“，期-源+M-血+1,又ODLAD,JUf-亩二乜q，则JUM14+川二%，解得一,I!F-T-,-m>0,.抛物线的函数表达式(3)解：如图，过点P作PH,x轴于点H,则APHMAME,在RtAOAD中，QD入无公AI,设点P的坐标为PH当APhMAMEsAOD时,0A%+62解得：x=0,x=6（舍去），点P的坐标为9,6退）APHMMMEsOAD时,.而一而一丁2-二r-tx6解得：x=1,x=6（舍去），点P的坐标为综上所述，点P的坐标为0,6用或5<20F

14、【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点（2）要求抛物线的解析式，只须求出m的值即可。因为抛物线与令y=0,解关于x的二次方程，可得点A、B的坐标，则OA、D的坐标；x轴交于点A、B,所以OD、AD均可用含m的代数式表示;因为ODLAD,所以在直角三角形OAD中，由勾股定理可得0将OA、OD、AD代入可得关于m的方程，解方程即可得m的值，则抛物线的解析式可求解；（3）AAME与4OAD中的对应点除直角顶点种情况：D、E固定外，其余两点都不固定，所以分两可得当AMEsAOD时，过点P作PH,x轴于点H,易得APHMAAMEsAOD,相应的比例式求解；可得当AMEsOAD时，过

15、点P作PHI±x轴于点H,易得APHMAMEsOAD,相应的比例式求解。5.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF,BD,交射线BC于点F,联结AP,画/FPE=ZBAP,PE交BF于点E.设PD=x,EF=y.DADAD高】每用图蠡用国（1）当点A、P、F在一条直线上时，求ABF的面积；（2）如图1,当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域;(3)联结PC,若/FPC=/BPE请直接写出PD的长.【答案】(1)解：如图，矩形ABCD,/BAD=乙迅F=90°./AD8=90°

16、.A、P、F在一条直线上，且PF±BD,心丽:ZBAF=90°AB-ADBF1-AB2S心-AB*BF=-X2XI=1。r)(2)解：PF±BP,上BPF皿/国F=90，:"/萨=比,/况即=NFFB,又：lBAP=/FPE吧一竺月里，尸产珏,.AD/BC,.上加必二国8,ZPBF,/ABP901PF1tanz/W-一二一二，即班一(3)解：ZCPF=/BPE如图所示，当点F在CE上时,ZBPF=ZFPD=90,ZDPC=ZFPRZFPE之BAP,ZDPC=ZBAP, .AB/CD,ZABD=ZCDB,APABACPD, .PB:CD=AB:PD,，PB

17、PD=CDAB, x（，）=2X? .x=、5±I.如图所示，当点F在EC延长线上时,使ZMPF=ZCPF,MN,过点P作PNLCD于点N,在CD上取一点M,连接PM则有PC:PM=CH:MH,ZBPF=ZDPF=90,ZBPC=ZDPM,ZBPE之CPF,.ZBPE=ZEPR./BAP=/FPEZBAP=ZDPM,ZABD=ZBDC,.PABAMPD,.PB:MD=AB:PD,由PD=x,tanZPDM=tanZPFC=?易得：DN=5,pn=5,CN=2-5,5xPH=2x,FH=,CH=2-VJx,-x）由PB:MD=AB:PD可得MD=,从而可得在RtAPCN中利用勾股定理可

18、得PC,由PC:PM=CH:MH可彳PPM,x的方程,在在RtAPMN中利用勾股定理可得关于-y145解得x=综上：PD的长为：卜占士，或5|【解析】【分析】(1)要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。根据同角ABBF/二二T的余角相等可得/BAF=ZADB,所以tan/PBF=tan/ADB=。JZ?一结合已知即可求得1BF的长，三角形ABF的面积上ABBF;(2)要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ABADAFPE从而得出比例ABB/式;万一区，现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。(3)由已知条件过点P作PF±BD,交射线BC于点F可知，点F可

19、能在线段CE上，也可在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。6.已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A(1,0)和点B(5,0),顶点为M.点C在x轴的负半轴上，且AC=AB,点D的坐标为(0,3),直线l经过点C、D.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP,且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan/CPA的值；(3)在(2)的条件下，联结AM、BM,在直线PM上是否存在点E,使得/AEM=/AMB.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：抛物线=心孑b*5与x轴交于点A(1,0),B(5,0),ra+b小5=0-55a，况，

20、60rd=解得M=&抛物线的解析式为丫=I-小(2)解：A(1,0),B(5,0),OA=1,AB=4.AC=AB且点C在点A的左侧，AC=4.CB=CA+AB=8.线段CP是线段CA、CB的比例中项,CACP牙一耳.CP=.又/PCB是公共角，CPACBP.ZCPA=/CBP过P作PH,x轴于H. OC=OD=3,/DOC=90；ZDCO=45.°,.ZPCH=45PH=CH=Cpi"5=4,H(-7,0),BH=12, P(-7,-4),PHtanCBP-BHJ,?1tan/CPA=3.(3)解：抛物线的顶点是M(3,-4),又P(-7,-4),PM/x轴.当点

21、E在M左侧，贝U/BAM=/AME. /AEM=/AMB,AAEMABMA.悝AM.疝一成,ME囱3I"""""""""*"1""JjaaBaBaaBBanJ4.ME=5,E(-2,-4).过点A作AN,PM于点N,则N(1,-4).当点E在M右侧时，记为点E'I,/AE'N=ZAEN,点上与E关于直线AN对称，则£(4,-4).综上所述，E的坐标为(-2,-4)或(4,-4).【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解。即；由题意把A(1,0),B

22、(5,0),代入解析式可得关于a、b的方程组，a+b+5=0,25a+5b+5=0解彳#a=1、b=-6,所以抛物线的解析式为y=-V-6x+5;(2)过P作PH,x轴于H.由题意可得OA=1,AB=4.而AC=AB且点C在点A的左侧，所以CAC¥AC=4,贝UCB=CA+AB=8已知线段CP是线段CA、CB的比例中项，所以。产f次解得CP=4t4,因为/PCB是公共角，所以根据相似三角形的判定可得CPACBP,所以ZCPA=/CBR因为OC=OD=3,/DOC=90；/DCO=45.所以/PCH=45；在直角三角形PCH中，PH=CH=CPsin45°=4,所以H(-7,

23、0),BH=12,贝UP(-7,-4),在直角三角形PBHPH1中，tan/CBP圳.=tan/CPA;(3)将(1)中的解析式配成顶点式得y=G力-4,所以抛物线的顶点是M(3,-4),而P点的纵坐标也为-4,所以PM/x轴.分两种情况讨论：当点E在M左侧，则/BAM=/AME,而/AEM=/AMB,根据相似三角形的判定可得AEMsBMA,所以可MEAM先竺得比例式4V一，即入后/，解得ME=5,所以E(-2,-4);当点E在M右侧时，记为点E过点A作ANLPM于点N,则N(1,-4),因为/AE'N=AEN,所以根据轴对称的意义可得点E'与E关于直线AN对称，则E*(4,-

24、4).7.定义：如图也，若点D在ABC的边AB上，且满足上八/B,则称满足这样条件的点为ABC的理想点(1)如图若点D是AABC的边AB的中点，AC=人值，=4，试判断点不是AAB|的理想点”，并说明理由;(2)如图|，在RtABC中，=如“，AB5,AC=",若点D是|ABC的理想点”，求CD的长;(3)如图，已知平面直角坐标系中，点八色),B很-3),C为x轴正半轴上一点,且满足ACB=/方口，在y轴上是否存在一点D,使点A,B,C,D中的某一点是其余三点围成的三角形的理想点”.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：结论：点D是4AB&的理想点

25、”.理由：如图中,丁口是AB中点，AB-，AD=DEJ,:二仁飞7/=5,AD'ABJ虹？-AD.ABACABr,而一正?.：WACDs4AB6:/4CD=与二点D是ARC的理想点”，(2)解：如图中,：*|点D是IARC的理想点”，上ACD或jECD,当l/ACn-B时，："-ALU+JECD=90"?：上BCD，ZB-如'，二4DB=90'?当|zMD=，用时，同法证明：CDAB,在RiABC|中，=上Mi=如:曲-J,AC九二BC-二J,11：*一，皿*二一,AC'BC号!?(3)解：如图庵中，存在，有三种情形:?：*A也力，R故3),

26、JOA=MUjOB3AB$OC=AHa11u-J:'皿"X：,a3,解得a-W或一舍弃P,经检验a-W是分式方程的解，C/切，0C6,当上DKA二一飞网：时，点a是也双口的理想点4设山出ji),:'Z1M；A二ZABC,|41)mzl'UyB, ：/DMsZWB,JC区DA'D出? ：/十人-血-2)-3),解得， ：Dj包初.当4c二小CU田时，点a是G欢心的理想点”.易知：，必-0C6?.;受他用.当上BCA=上ADy：时，点b是ACDm的理想点”易知：4DjO=工尸， :ODj=0C=6? :Ds俏-6).综上所述，满足条件的点D坐标为9,或他况

27、或1他6J.【解析】【分析】(1)结论：点D是I$A0C的理想点"，|只要证明|色ACDs|ABC即可解决问题；(2)只要证明CD1AB即可解决问题；(3)如图中，存在有三种情形：过点A作MA上AC交CB的延长线于M,作MH轴于H.构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；8.如图，矩形ABCD中，AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转0(0°<0<90°)得到矩形AiBODi,点Ai在边CD上.(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中，点D到点Di所经过路径的长度;(2)将矩形AiBCiDi继

28、续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2,点D2在BC的延长线A1E乜上，设边A2B与CD交于点E,若欧=T,求证的值.【答案】(1)解：作AiHXAB于H,连接BD,BDi,则四边形ADAiH是矩形.AD=HAi=n=i,在RtAAiHB中，BAi=BA=m=2, BAi=2HAi,/ABAi=30°, 旋转角为30°, .BD=7产+产=木, .D到点Di所经过路径的长度(2)解：ABCEABA2D2,附A必CB八阴曲.AiC=避？盘,BH=AiC=Y-在？,m2-n2=6?m4-m2n2=6njr1-胪=6?加F=,nt3(负根已经舍弃)【解析】【分析】(1)作A

29、iHXABTH,连接BD,BDi,则四边形ADAiH是矩形.根据矩形的对边相等得出AD=HA=n=1,在RtAiHB中，根据三角形边之间的关系判断出ZABAi=30°,即旋转角为30°,根据勾股定理算出BD的长，D到点Di所经过路径的长度，其实质就是以点B为圆心，BD为半径，圆心角为30。的弧长，根据弧长公式，计算即可；CE月怒(2)首先判断出BCa4BA2D2,根据相似三角形对应边成比例得出仃A第ZTAil:故CE=/根据AiC厂Ji故-AiC=-进而得出itu>,由BH=AiC列出方n程，求解得出足的值。9.如图，已知4ABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,

30、4),C(-3,0)。动点M,N同时从A点出发，M沿ZC,N沿折线ZB-C,均以每秒i个单位长度的速度移动，当t秒。连接MN。个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为(i)求直线BC的解析式;(2)移动过程中，将AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标;S,求S关于时间t的函数(3)当点M,N移动时，记4ABC在直线MN右侧部分的面积为关系式。【答案】(i)解：设直线BC解析式为：y=kx+b,-B(0,4),C(-3,0),解得：b-1i，直线BC解析式为：y=Jx+4.(2)解：依题可得：AM=AN=t,AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重

31、合,四边形AMDN为菱形，作NFx轴，连接AD交MN于O',-A(3,0),B(0,4),.OA=3,OB=4,.AB=5,.M(3-t,0),又AANFAABO,AN肝用.1="'iJ.AF=Jt,NF=Jt,设D(x,y),.741K、4g二'=3-)t,二'=§t,841 -x=3-$t,y=t,84.D(3-t,"t),又D在直线BC上，X(3-Jt)+4=$t,36t=77（3）当0<tW5时（如图2）,ABC在直线MN右侧部分为AMN,cL£J.S="题=kAMDF=-XtJ当5<tw时，

32、ABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM,如图3.AM=AN=t,AB=BC=5.BN=t-5,CN=-5-(t-5)=10-t又ACNFACBO,，nf=U(10-t),j2 .S=-51陶=上ACOB-CMNF,/i/h=-X6X-4-X(6-t)x$(10-t),E图=-t二+§t-12.【解析】【分析】（1）设直线BC解析式为：y=kx+b,将B、C两点坐标代入即可得出二元次方程组，解之即可得出直线BC解析式.（2）依题可得：AM=AN=t,根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NFXx轴，连接AD交MN于0',结合已知条件得M(3-t,Ah月/NF又ANFsABO,

33、根据相似三角形性质得ABAZ=代入数值即可得af=JE343t,NF=Et,从而得N(3-7t,彳t),根据中点坐标公式得O'(3-t,设D(x,y),再由中点坐标公式得坐标.(3)当0<tW5时(如图面积公式即可得出S表达式.D(3-5t,忸t),又由D在直线BC上，代入即可得2),AABC在直线MN右侧部分为AAMN,根据三角形当5<tw对，AABC在直线MN右侧部分为四边形ABNM,由CNFCBO,根据相似三角形性质得(10-t),取后由57在，代入数值得nf=S=-二ACOB-上CM-NF,代入数值即可得表达式10.已知锐角AABC中，边BC长为12,高AD长为8(

34、1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K求饮的值设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式，并求S的最大值(2)若ABAC,正方形PQMN的两个顶点在AABC一边上，另两个顶点分别在AABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.【答案】(1)解：、EF/BC.-.AAEFAABCvAD±BC.AK,EFEHBEEFAE|即EF.AD用BC也+得：.必BC,Jy.-EH=x,AD=8,BC=12，EF=121xS=EHEF=-/+12x=上（X丁尸+24，S的最大值为24忸|246(2)解：7F或石.EF8(【解析】【分析】根据EF/BC得出AEFABC,从而得到航一五,求出答案；根据EHBhEFAb掰£F=j题意得出油扇和囱T.如，将两式相加得到仙8c，根据EH=x，得出EF=123-x,根据S=EHEF得出函数关系式，求出最大值；根据三角形相似，然后分两种情况得出答案11.如图，在4ABC中，/C=90：AE平分/BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的。交AB于点D,连接DE,作/DEA的平分线