2020年中考数学必考34个考点专题24：相似三角形判定与性质

1、专题24相似三角形判定与性质专题知识回顾1 .相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。2 .三角形相似的判定方法：(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角

2、形相似。(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例，两三角形相似。3 .直角三角形相似判定定理：以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4 .相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。专题典型题考

3、法及解析【例题1】（2019%南省）如图，在RtAABC中，C=90,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点，过点P作PQAAB交BC于点Q,D为线段PQ的中点，当BD平分3BC时，AP的长度为（）【答案】B.A.【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.根据勾股定理求出AC,根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBD=BDQ,得到QB=QD,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.C=90,AB=5,BC=4,AC=jAB2_BC：2=3,PQAAB,AABD=ABDQ,又ABD=QBD,QBD=ABDQ,QB=QD,QP=2QB,PQA

4、AB,CPQACAB,CP=CQ=PQ即运=婴%一C收即m45解得，CPAP=CACP=【例题2】（2019泗川省凉山州）在“BCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2:3的两部分，连接BE、AC相交于F,则SAAEF：SACBF是.【答案】4:25或9:25.【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.分AE:ED=2:3、AE:ED=3:2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.当AE:ED=2:3时，四边形ABCD是平行四边形，ADABC,AE:BC=2:5,EFACBF,Saaef：,2、2,CLSacbf=(g)

5、2=4:25;5当AE：ED=3:2时,同理可得,oc3Szaef：Szcbf=()52=9:25。【例题3】（2019砌北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O,A,B,C,D在同一条直线上），测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.【答案】楼的高度OE为32米.【解析】设E关于O的对称点为M,由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M,连接GF并延长交OE于点H,GFAAC,MACAMFG

6、,AACMAMOFGMFMH即：二，-久BD-MHTtO+OH-OE+BFJ0E+L62-1OE=32DE冬Dfa【例题4】(2019年广西梧州市)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,AF平分/DAC,分别交DC,BC的延长线于点E,F;连接DF,过点A作AH/DF,分别交BD,BF于点G,H.(1)求DE的长；【答案】见解析。【解析】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键.(1)由AD/CF,AF平分/DAC,可得/FAC=ZAFC,得出AC=CF=5,可证出ADEAFCE,可求出DE长;.矩形ABCD中，AD/

7、CF,/DAF=/ACF,.AF平分/DAC,/DAF=/CAF, ./FAC=ZAFC,AC=CF, AB=4,BC=3,AC=VaE2-HBC2=+=5CF=5, AD/CF, .ADEsFCE,-AD-DE、CFCE设DE=x,则岂J5,54rDRDC(2)由ADGAHBG,可求出DG,则上生可得EG/BC,则/1=/AHC,根据DF/AH,可得DCDB/AHC=/DFC,结论得证.AD/FH,AF/DH,四边形ADFH是平行四边形，,-.AD=FH=3,.CH=2,BH=5,AD/BH,ADGAHBG,DE=2de.dc=1DGDB5EG/BC, ./1=/AHC,又DF/AH, ./

8、AHC=ZDFC,Z1=ZDFC.【例题5】(2019年湖南省张家界市)如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.(1)求证：BF=CF;(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到AD/CD,AD=BC,得到EBFAEAD,根据相似三角形的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，AD/CD,AD=BC,.EBFAEAD,也期皿EABF=AD=BC,22BF=CF;(2)二四边形ABCD是平行四边形，AD/CD,.FGCADGA

9、,解得，FG=2.专题典型训练题、选择题1. （2019年广西玉林市）如图，AB/EF/DC,AD/BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有A. 3对B. 5对C.6对D.8对【解析】图中三角形有：AEG,ADC,CFG,CBA,.AB/EF/DC,AD/BC.AEGsADCsCFGsCBA共有6个组合分别为：AEGAADC,AEGsCFG,AAEGACBA,ADCsCFG,AADCACBA,CFGACBA2. （2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是ABC边AB,AC上的点，/ADE=/ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】

10、证明ADEsACB,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.ZADE=ZACB,/A=/A,ADEAACB,3.（2019广西贺州）如图，在AABC中,AD=2,AB=3,DE=4,贝UBC等于（C.7【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质;证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.由平行线得出AADEAAABC,得出对应边成比例ADABD&BC,即可得出结果.D,E分别是AB,AC边上的点，DEBC,若DEABC,AADEAAABC,AD-一D&AB即弃BC解得：BC=64.（2019?广西贵港）如图，在ABC中，点D,E分别在AB,AC边上,DE/BC,/ACD=/B,AD=2BD,

11、BC=6,则线段CD的长为（）A.21v5C,276D.5【解析】设AD=2x,BD=x,所以AB=3x,易证ADEAABC,利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及胆02,再证明ADEsACD,利用相似三角形的性质即可求出得出组1比=理从而可求AC3ACADCD出CD的长度.设AD=2x,BD=x,AB=3x,DE/BC,ADEAABC,理殁=”，BCABAC-DE=2 )6CL，AB2 DE=4,AC3./ACD=ZB,/ADE=/B,./ADE=ZACD,ZA=ZA,ADEAACD,，世粤=吗ACADCD设AE=2y,AC=3y,.四=且_5.（2019?黑龙江哈尔滨）如图，在？ABC

12、D中,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（奥D.强一强点E在对角线BD上，EM/AD,交AB于点M,EN/AB,)【答案】D.【解析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质.在？ABCD中，EM/AD，易证四边形AMEN为平行四边形.易证BEMABADAENDBNBEB项错误AEADBDMEBE=,D项正确。MENE6. （2019肛苏苏州）如图，在VABC中，点D为BC边上的一点，且ADAB2,ADAB,过点D作DEAD,DE交AC于点E,若DE1,则VABC的面积为（）B. 4C. 21/5D. 8【解析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型ABAD,DEADBAD

13、ADE90AB/DE易证VCDE:VCBADCDEBCBA即DCBDDC由题得BD解得DCVABC的高易得：72Svabc1BCJ214、2J24227. （2019山东枣庄）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置.已知ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积9.若AA=1,则AD等于（）【答案】BC.4D.【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.由Saabc=16.Saaef=9且AD为BC边的中线知SaADE=SaABC=8,根据DAc9cSaAEF=,SaABD2deSAAED,据此求解可得.AfiE

14、ADAB知（）AD-Saabc=16.Saaef=9,且AD为BC边的中线，.clc91clccSaADE=SaaEF=,SaaBD=SaaBC=8,将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC,AE/AB,.DAEADAB,9_则（衰）2=S，项,即（枭1T）2=dJftJJoABT）&-LJt1o10解得AD=3或AD=-吊（舍）。8. （2019四川巴中）如图？ABCD,F为BC中点，延长AD至E,使DE:AD=1:3,连结EF交DC于点G,则SaDEG：SCFG=（）EGLA.2:3B. 3:2C. 9:4【解析】先设出DE=x,进而得出AD=3x,再用平行四边形的性质得出BC=3x,进

15、而求出CF,最后用相似三角形的性质即可得出结论.设DE=x,.DE:AD=1:3,AD=3x,四边形ABCD是平行四边形,.AD/BC,BC=AD=3x,点F是BC的中点,.CF=BC=-x,22.AD/BC,.DEGACFG,.2adegDE而)2A.B.C.9. （2019年四川省遂宁市）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H,连接BD交PC于点Q,下列结论:_._-1/BpD=135;BDpsHDB；DQ:BQ=1:2;SaBDp=-D.【答案】D.【解析】由等边三角形及正方形的性质求出/CPD=/CDP=75、ZPCB=ZCPB=

16、60,从而判断；证/DBP=ZDPB=135可判断；作QEXCD,设QE=DE=x,则QD=/2x,CQ=2QE=2x,CEx,由CE+DE=CD求出x,从而求得DQ、BQ的长，据此可判断，证DP=DQ=*七返，根据Sabdp2|=_BD?PDsin/BDP求解可判断.PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形， ./PCB=/CPB=60,/PCD=30,BC=PC=CD, ./CPD=ZCDP=75,则/BPD=ZBPC+/CPD=135,故正确； ./CBD=ZCDB=45, ./DBP=ZDPB=135,又./PDB=ZBDH,BDPAHDB,故正确;如图，过点Q作QEXCD于E,设Q

17、E=DE=x,贝UQD=2x,CQ=2QE=2x,CE=.lx,由CE+DE=CD知x+V3x=1,解得*=岭工，.,QD=x=fe, BD=V2,BQ=BDDQ=_P&,2,故错误;贝UDQ:BQ=./CDP=75,/CDQ=45又./CPD=75./DPQ=/DQP=75,DP=DQ=2SaBDP=BD?PDsin/BDP=故正确。二、填空题10.（2019硒江宁波）如图所示，RtAABC中，AC=90,AC=12,点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的注与那BC的一边相切时,AP的长为【解析】AB=6.5或3/13.在RtABC中，C=90,AC=12

18、,BD+CD=18,后再T=6后，在RtAADC中，C=90,AC=12,CD=5,AD=c2+cM=13,当AP于BC相切时，点P到BC的距离=6,过P作PHABC于H,则PH=6,C=90,ACABC,PHAAC,DPHAADAC,1TH一PD=6.5,AP=6.5;当AP于AB相切时，点P到AB的距离=6,过P作PGAAB于G,则PG=6, AD=BD=13, PAG=AB, AAGP=AC=90, AAGPABCA,aAPpg ，ABAC 好一-际-12， AP=3/13, CD=5/10,这样由tan/DEC=DCEC1第四步过点P作PHL2BD于点H,在BD上依次取点M、N,使MH

19、=NH=2PH,于是因此PMN是所求符合条件的图形；第五PH步由DPHsDBA,得匚二BA也，即理BD103102，得PH=3,于102是MN=4PH=6,本题答案为6.14. （2019?山东省滨州市）如图，？ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分/BCD交AB于点E,交BD于点F,且/ABC=60,AB=2BC,连接OE.下列结论：EOLAC;4AOD=4&OCF；AC:（填写所有正确结论的序号）BD=V21：7;FB2=OF?DF.其中正确的结论有【答案】【解析】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问

20、题，属于填空题中的压轴题.正确.只要证明EC=EA=BC,推出/ACB=90,再利用三角形中位线定理即可判断.错误.想办法证明BF=2OF,推出Saboc=3SaOOF判断. 正确.设BC=BE=EC=a,求出AC,BD即可判断. 正确.求出BF,OF,DF（用a表示），通过计算证明即可. 四边形ABCD是平行四边形， .CD/AB,OD=OB,OA=OC, ./DCB+ZABC=180, ./ABC=60, ./DCB=120,.EC平分/DCB, ./ECB=L/DCB=60,2 ./EBC=/BCE=/CEB=60, .ECB是等边三角形，EB=BC, AB=2BC,EA=EB=EC,1

21、.OA=OC,EA=EB,.OE/BC,./AOE=ZACB=90,EOXAC,故正确,.OE/BC,.OEFABCF,OEOF1BCFB.OF=1.SaAOD=SaBOC=3SaOCF,故错误,设BC=BE=EC=a,贝UAB=2a,AC=Ja,OD=OB=a.a)?=a,BD=VVa,.AC:BD=M3a：V?|a=V21：7,故正确,OF=OB=3D匚V?BF=a,3BF26a2,OF?DF=a2,BF2=OF?DF,故正确,故答案为.15.（2019四川泸州）如图，在等腰RtABC中，/0=90,AC=15,点E在边CB上，CE=2EB,点D在边AB上，0DAE,垂足为F,则AD的长为

22、.【答案】9V2【解析】过D作DH，AC于H,.在等腰RtABC中，/C=90,AC=15,.-.AC=BC=15, ./CAD=45,.AH=DH, .CH=15-DH, .CFXAE, ./DHA=ZDFA=90, ./HAF=ZHDF,ACEADHC,?=,? CE=2EB,CE=10,?15-?=15. 10DH=9,AD=9v2,故答案为：9亚.三、解答题16. (2019泗川省凉山州)如图，AABD=ABCD=90,DB平分AADC,过点B作BM4CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证：BD2=AD?CD;(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.【答案】见解析。【解析】本题

23、考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键.证明：(1)通过证明AABDAABCD,可得黑可得结论；BCCD|DB平分AADC,ADB=ACDB,且AABD=ABCD=90,AABDABCDAAEBDA=BDCDbd2=ad?cd(2)由平行线的性质可证MBD=BDC,即可证AM=MD=MB=4,由BD2=AD?CD和勾股定理可求BMMN2MC的长，通过证明4MNB工ND,可得&十二二=，即可求MN的长.BM4CDCDCN3MBD=ABDCAADB=AMBD,且AABD=90BM=MD,AMAB=AMBABM=MD=AM=4BD2=AD?CD,且CD=6

24、,AD=8,BD2=48,BC2=BD2-CD2=12MC2=MB2+BC2=28MC=2.7BMACDMNBACND盟型上CDCN3且MC=24YMN=17. (2019?山东泰安)在矩形ABCD中，AEBD于点E,点P是边AD上一点.(1)若BP平分祥BD,交AE于点G,PF4BD于点F,如图,证明四边形AGFP是菱形;(2)若PEAEC,如图,求证：AE?AB=DE?AP;(3)在(2)的条件下，若AB=1,BC=2,求AP的长.【答案】见解析。【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考

25、题型.PA=PF即可解决问题.(1)想办法证明AG=PF,AGAPF,推出四边形AGFP是平行四边形，再证明证明：如图中,四边形ABCD是矩形,ABAD=90,AEABD,AAED=90,ABAE+AEAD=90,AEAD+AADE=90,ABAE=AADE,AAGP=ABAG+AABG,AAPD=AADE+APBD,AABG=PBD,AAGP=AAPG,AP=AG,PAAAB,PFABD,BP平分AABD,PA=PF,PF=AG,AEABD,PFABD,PFAAG,四边形AGFP是平行四边形,PA=PF,四边形AGFP是菱形.(2)证明AAEPAADEC,可得,由此即可解决问题.证明：如图中

26、,AEABD,PEAEC,AED=APEC=90,AEP=ADEC,AEAD+AADE=90,AADE+MDE=90,AEAP=AEDC,AEPAADEC,AAB=CD,AAESB=DESP;(3)利用(2)中结论.求出DE,AE即可.解：四边形ABCD是矩形，BC=AD=2,ABAD=90,bd=ab2+A2=4,AEABD,SZxABD=,BD?AE=?AB?AD,*攀，DE=VaD2-AE2=,18. (2019安徽)如图，RtAABC中，AACB：90,AC=BC,P为*BC内部一点，且AAPB：ZBPC=135.(1)求证：FABAAPBC;(2)求证：FA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为hbh2,h3,求证hi2=h2?h3.【答案】见解析。PCD是解本【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出4EAP题的关键.(1) AAACB=90,AB=BC, AABC=45=APBA+APBC又AAPB=135, PAB+APBA=45 APBC=APAB又ZAPB=ABPC=135, PABAAPBC(2) AAPABAAPBCaP