数值分析总复习2010_2_bit

1、1第七章第七章 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 复化梯形公式复化梯形公式 复化复化Simpson公式公式 Romberg算法算法 Gauss型求积公式型求积公式 代数精确度代数精确度 截断误差截断误差2 代数精确度代数精确度设有求积公式设有求积公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(若它对若它对 f (x)=1, x, x2, xm 都能精确成立都能精确成立(即上式等即上式等号成立号成立), 但对但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立上式等号不成立, 则称该求则称该求积公式具有积公式具有m次代数精确度次代数精确度. 3 复化梯形公式复化梯形公式 bannfffffhdxxf)(22

2、)(1210其中其中,nabh .),(ihaxxffiii 截断误差截断误差nbaTTdxxffR )()(.:nT ).,(),( 122bafhab 4 复化复化Simpson公式公式 .:)(2)(43)(2242123120nmbammSffffffffhdxxf 区间区间a, b n等分等分, n=2m其中其中.nabh 截断误差截断误差).,(),(180)()()4(4bafhabSdxxffRnbaS 5 梯形值序列梯形值序列 mT2 递推算法递推算法 mhTTmm2122所有新增加节点的函数值之和所有新增加节点的函数值之和.其中其中.2mmabh 6 Romberg算法算法

3、1T32T16T8T4T2T2S4S8S16S32S4C8C16C32C8D16D32D8S3448TT 16C1516816SS 636481616CCD 7 Gauss型求积公式型求积公式)()(1knkkbaxfAdxxf Ak: 求积系数求积系数,xk: 求积节点求积节点如果该求积公式具有如果该求积公式具有(2n-1)阶代数精确度阶代数精确度, 则称则称其为其为Gauss型求积公式型求积公式.设有求积公式设有求积公式8 区间区间-1, 1上的上的Guass型求积公式型求积公式 nkkkxfAdxxf111)()(其中求积节点其中求积节点xk为为n阶阶Legendre多项式的多项式的零点

4、零点; Ak, xk 的值可查表得到的值可查表得到. 一般一般a, b上的上的Gauss型求积公式可用换元法型求积公式可用换元法转化成转化成-1, 1上的上的Gauss型求积公式型求积公式.222)(11dtabtabbafdxxfba 9第八章第八章 非线性方程解法非线性方程解法 二分法二分法(对分区间法对分区间法)求求 f (x) = 0 的根的根 简单迭代法简单迭代法 (收敛的充分条件收敛的充分条件) 牛顿法牛顿法 割线法割线法1012 kkabx*|x . 12lnlnln abk 设设a, b是是 f (x)=0的有根区间的有根区间, 用二分法迭代用二分法迭代 给定精度给定精度 ,

5、迭代次数迭代次数k 满足下式满足下式, 能保证满足精度能保证满足精度 二分法二分法(对分区间法对分区间法)11 简单迭代法简单迭代法)(0)(xgxxf 构造递推公式构造递推公式 01),(xxgxnn适当选取适当选取.以以 逐次逼近逐次逼近 f (x)=0的根的根. nx如何构造收敛的迭代法如何构造收敛的迭代法?12定理定理考虑方程考虑方程 x = g(x), g(x) Ca, b, 若若( I ) 当当 x a, b 时，时， g(x) a, b；( II ) 0 L 1 使得使得 | g(x) | L 对对 x a, b 成立。成立。则任取则任取 x0 a, b，由，由 xk+1 = g

6、(xk) 得到的序列得到的序列 收敛于收敛于g(x) 在在a, b上的唯一不动点。并且有误差估上的唯一不动点。并且有误差估计式：计式： 0kkx|11|*|1kkkxxLxx ( k = 1, 2, )|1|*|01xxLLxxk k13 牛顿法牛顿法原理：原理：将非线性方程线性化将非线性方程线性化 ( Taylor 展开展开 ), 1 ,0()()(1 nxfxfxxnnnnxyx*xnxn+114第九章第九章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 构造常微分方程离散格式的三种方法构造常微分方程离散格式的三种方法 单步法常见格式单步法常见格式 多步法常见格式多步法常见格式 重要概念重要概念:

7、 局部截断误差局部截断误差15 用差商近似导数用差商近似导数 数值积分方法数值积分方法 Taylor多项式近似方法多项式近似方法 构造常微分方程离散格式的三种方法构造常微分方程离散格式的三种方法16 Euler法法 改进改进Euler法法 经典四阶经典四阶RK方法方法 单步法常见格式单步法常见格式17 多步法常见格式多步法常见格式 Simpson公式公式 Adams显隐公式显隐公式 Adams预测预测-校正公式校正公式18 局部截断误差局部截断误差 整体截断误差整体截断误差Taylor展开方法展开方法 几个重要概念几个重要概念 数值方法的阶数数值方法的阶数19数值分析总复习例题数值分析总复习例

8、题20分析分析 333231222111aaaaaaA对称对称TLL 333231222111llllll0 333222312111llllll0),(jiijlla 其中其中 li为矩阵为矩阵 L的第的第 i个行向量个行向量.,1111al ,112121lal ,113131lal ,2212222lal ,2231213232lllal .2322313333llal 一一. 用平方根法求线性方程组用平方根法求线性方程组AX=b, 其中其中,22484548416 A,321 xxxX.1034 b21, 4161111 al, 144112121 lal, 2113131 lal解解

9、:,1111al ,112121lal ,113131lal ,2212222lal ,2231213232lllal .2322313333llal 一一. 用平方根法求线性方程组用平方根法求线性方程组AX=b, 其中其中,22484548416 A,321 xxxX.1034 b22一一. 用平方根法求线性方程组用平方根法求线性方程组AX=b, 其中其中, 2152212222 lal, 3)(2221313232 lllal, 32322313333 llal解解: 332021004LybxLLT , 4161111 al, 144112121 lal, 2113131 lal,224

10、84548416 A,321 xxxX.1034 b23解解: 先解先解 Ly=b, 再解再解 LTx=y, 1034332021004321yyy,621 y 621300320214321xxx.2449 x 332021004LybxLLT 一一. 用平方根法求线性方程组用平方根法求线性方程组AX=b, 其中其中,22484548416 A,321 xxxX.1034 b24二二. 设有方程组设有方程组写出写出Jacobi迭代迭代, Gauss-Seidel迭代迭代的计算公式的计算公式, 两两种迭代法是否收敛种迭代法是否收敛? 为什么为什么? ,251084,118104,1344103

11、21321321xxxxxxxxxJacobi迭代法不收敛迭代法不收敛,Gauss-Seidel迭代法迭代法, =1.2的的SOR迭代法收敛迭代法收敛.25三三. 按下表求按下表求 f (x)的四次的四次Hermite插值多项式插值多项式H(x), 并写出截断误差并写出截断误差R (x)=f (x) H(x)的表达式的表达式.ix)(ixf)( ixf0121210 1.212231)(432xxxxxH 26四四. (1) 求形如求形如 )10()()(21)(212110 xxxfxfdxxf的求积公式的求积公式, 使其至少具有两次代数精确度使其至少具有两次代数精确度, 该公式是该公式是否

12、具有三次代数精确度否具有三次代数精确度?解解 (1) 由已知由已知, 当当 f (x)分别为分别为1, x, x2时时, 求积公式等号求积公式等号成立成立. 即即1110 dx)11(21 2110 dxx)(2121xx 31102 dxx)(212221xx .32121,3212121xx41103 dxx)(213231xx 故该公式具有故该公式具有3次代数次代数精确度精确度.27四四. (2) 选用合适的数值积分方法计算选用合适的数值积分方法计算的近似值的近似值, 要求计算结果具有要求计算结果具有3位有效数字位有效数字.dxx 102)cos(解解 设设 f (x)=cos(x2),

13、 xk=k/8 (k=0, 1, , 8), fk=f (xk), 则则f0=1f1=0.999877932f2=0.998047511f3=0.990128588f4=0.968912422f5=0.924671261f6=0.845924499f7=0.720949381f8=0.540302306梯形值序列梯形值序列T1=0.770151152T2=0.869531786T4=0.895758895T8=0.902332842Simpson值序列值序列S2=0.902658664S4=0.904501264S8=0.904524157梯形值序列的逐次分半算法梯形值序列的逐次分半算法故故9

14、04524157. 0)cos(102 dxx28五五. 设设(1) 用迭代公式用迭代公式 求方程求方程 f (x)=0在在x0=2.0附近的一个根附近的一个根, 试问此迭代法是否收敛试问此迭代法是否收敛? (2) 用合适的方法求用合适的方法求 f (x)=0在在x0=2.0附近的根附近的根, 要求要求计算结果具有计算结果具有4位有效数字位有效数字., 1)(23 xxxxf21111kkkxxx 解解 (1) 迭代函数为迭代函数为,111)(2xxxg 验证验证 g(x)在区间在区间1.7, 2.0上满足压缩映像定理上满足压缩映像定理, 故故该迭代法收敛该迭代法收敛.(2) 可用可用Newt

15、on迭代法求根迭代法求根, 取取x0=2.0, 写出迭代公写出迭代公式后计算三次得式后计算三次得x1=1.857142857, x2=1.839544514, x3=1.839286811. 故故x3即为所求方程近似根即为所求方程近似根.29六六. 确定求解初值问题确定求解初值问题 .)(,),(0yaybxayxfy的二步隐式的二步隐式Adams方法方法)5(12111 nnnnnfffhyy 中的参数中的参数 , 使该方法成为三阶方法使该方法成为三阶方法, 并写出其局部并写出其局部截断误差主项截断误差主项.).()(241, 85)4(41hOxyhRnn 可用数值积分方法或可用数值积分方

16、法或Taylor展开方法展开方法30七七. 据资料记载据资料记载, 某地某年间间隔某地某年间间隔30天的日出日落天的日出日落时间如下时间如下5月月1日日 5月月31日日6月月30日日4:514:174:1619:3819:50日出日出日落日落19:04日出日落时间表日出日落时间表请问请问: 这一年中哪一天白天最这一年中哪一天白天最长长?解解 用用Newton插值公式较为方便插值公式较为方便, 答案为答案为:这一年中以这一年中以6月月22日的白天最日的白天最长长.31练习练习1. 第第126页页. 求解线性方求解线性方程组程组 Ax=b, 其中其中A如右图如右图所示所示, 试构造一个与求解试构造

17、一个与求解三对角方程组的追赶法三对角方程组的追赶法类似的直接方法类似的直接方法. 2222112211nnnn . 0, 0, 1 iiii 其中其中322. 确定如下求积公式中的求积系数确定如下求积公式中的求积系数, 使其具有使其具有尽可能高的代数精确度尽可能高的代数精确度).( )( )()()(1010bfBafBbfAafAdxxfba 提示提示: 用三次用三次Hermite插值多项式来近似函数插值多项式来近似函数 f (x).33 3. 若干年以前若干年以前, 美国原子能委员会准备将浓缩的放射美国原子能委员会准备将浓缩的放射性废料装入密封的圆桶内沉至海底性废料装入密封的圆桶内沉至海底

18、. 但是但是, 当时一些科当时一些科学家与生态学家都反对这种作法学家与生态学家都反对这种作法. 科学家用实验测定科学家用实验测定出圆桶能够承受的最大撞击速度为出圆桶能够承受的最大撞击速度为v=12.2 m/s, 如果圆如果圆桶到达海底时的速度超过这个速度桶到达海底时的速度超过这个速度, 将会因撞击海底将会因撞击海底而破裂而破裂, 从而引起严重的核污染从而引起严重的核污染. 然而原子能委员会却然而原子能委员会却认为不存在这种可能性认为不存在这种可能性. 根据圆桶的质量根据圆桶的质量, 体积以及海体积以及海水的密度与海底的深度水的密度与海底的深度, 通过建立数学模型得知圆桶通过建立数学模型得知圆桶到达海底时的速度到达海底时的速度v (m/s)满足如下方程满足如下方程:那么圆桶到达海底时的速度究竟会不会超过那么圆桶到达海底时的速度究竟会不会超过12.2 m/s呢呢? 试选用合适的方法求