数值分析第二章 插值法

1、 在生产和科研中出现的函数是多种多样的，常遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽可断定所考虑的函数 f (x) 在区间 a , b 上存在且连续，但却难以找到它们的解析表达式，只能通过实验和观测得到在这有限个点上的函数值（即一张函数表)来分析函数 f (x ) 的性态，甚至直接求出其它一些点上的函数值可能是十分困难的。 在有些情况下，虽然可以写出函数 f ( x ) 的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数 P( x ) 作为 f ( x ) 的近似。 插值法是解决这类问题的一种比较古老，然而却是目前常用的

2、方法，它不仅直接广泛应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值分析计算方法的基础。个不同的点上连续，且在在区间设1,)(nbaxfybxxxan10.,10nyyy上的值分别为的方法称为插值法。数的插值函数，求插值函处在节点为函数函数类，称为插值类）为插值条件，称函数值节点，称（为插为插值区间，点通常称区间)(,)()(,1010 xPxxxxfxPIxxxbann( ),( )(0,1, )( )( )( )iiiP xP xyinIxxP xf x插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数使而在其它点上，作为的近似。 插值函数类插值函数类的取法不同，所求得的插

3、值函数插值函数p(x)逼近f(x)的效果就不同。而它的选择主要取决于使用需要。常用的代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式多项式插值插值。本章讨论的即为此类问题。在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一个次数不超过n的代数多项式：使nnnxaxaxaaxp2210)(iinyxp)(（2）（3）其中naaa10为变数 iiyx ,意义同前满足插值条件（3）的多项式（2）称为函数 f(x)在节点（i=0，1 n ） 求函数 f(x) 的n次插值多项式的几何意义是： 通过曲线y=f(x)上的n+1个点（ 处的n次插值多项式。iiyx ,）

4、（i=0,1n）作一条n次代数ixnp曲线y=(x)作为曲线 y= f(x)的近似。如下图。设p(x)是形如（2）的插值多项式，用nH代表所有次数不超过n的 多项式集合，于是p(x)nH，所谓插值多项式p(x)存在唯一，就是 指在集合 中有且只有一个p(x)满足（3）。由（3）得：nHy0 xba1010 xxyynnxynnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa22101121211000202010(4) 这是一个关于naaa10的n+1元线性方程组。 要证明插值多项式存在且唯一，只要证明方程组（4）存在唯一的解，nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxv2121

5、1020010111),(也就是证明方程组（4）的系数行列式（5）不为零，式中),(10nnxxxv称为范德蒙（Vandermonde)行列式。 利用行列式性质可得：)(),(11010jniijinnxxxxxv定理定理1：若节点nxxx10、互不相同，则满足插值条件（3）的n次插值多项式（2）存在且唯一。由定理1的证明可见，要求插值多项式 p(x)，可以通过求方程组（4）的解:时由于ji jixx ，故所有因子0jixx，于是故方程组（4）存在唯一的一组解.,10naaa由此有结论：0),(10nnxxxvnaaa10得到。但这样做不但计算复杂，而且难于得到P(x)的简单表达式。为求得便于

6、使用的简单插值多项式 p(x)，我们先讨论n=1的情形。 义直接给出：）的表达式可由几何意（如上图所示，的直线，与（点（的几何意义就是通过两xLyxyxxLykkkk1111),),)(y0 x11kkxykkxy)(1xLy )(xfy )(),(,111kkkkkkxfyxfyxx的端点处的函数值要求线性插值多项式 假定已知区间11111)(,)()(kkkkyxLyxLxL。满足：kkkkkkkkxxxxxlxxxxxlxL11111)()()(是由两个线性函数由两点式可看出，（6）的线性组合得到的。其系数分别为即：及,1kkyy下图：为线性插值基函数。见及我们称函数上满足条件：及在节点

7、也是线性插值多项式，)()(. 1)(, 0)(, 0)(. 1)()(),()()()(1111111111xlxlxlxlxlxlxxxlxlxlyxlyxLkkkkkkkkkkkkkkkkk（7）（点斜式）（两点式）11111111)()()(kkkkkkkkkkkkkkyxxxxyxxxxxLxxxxyyyxLyx011)(kkxxlkx0 xkkxxl)(11kxy1上满足：是二次函数，且在节点及数方法，此时基函数的表达式，可采用基函为了求出的抛物线。就是通过三点（几何上（要求二次插值多项式假定插值节点为的情形。下面讨论)()(),(),(),).(,)() 1, 1(),21121

8、1112211xlxlxlLyxyxyxxLykkkiyxLxxxnkkkxkkkkkiikkk0)(. 1)(0)(. 1)(. 0)(. 1)(111111jkkkjkkkjkkkxlxlxlxlxlxl（j=k-1,k) (j=k-1,k+1)(j=k,k+1)(11)()()(.).(8111111111kkkkkkkkkkkkxxxxAxlAxxxxAxlxxxl（可得：为待定系数，由条件其中故可表示为：有两个零点求出的。例如）的插值基函数是容易满足条件（)()()()()()()()()(11111111111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxx

9、xxxxxxxlxxxxxxxxxl从而：同理可得：.)()()()()()()()()()(),(),(,)(),(),(111111111111111112111111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxlyxlyxlyxLxlxlxlxxxlxlxl（可得：利用二次插值基函数上的图形如右区间在二次插值基函数y10kkxxl)(11kx1kxx11kkkxxxy1)(xlkxy0111kkkxxxx)(1xlk定义定义1：若n次多项式01)(,1), 1 , 0()(10kjnjxlxxxnnjxl上

10、满足条件：个节点在。(11)次基函数。上的为节点次多项式个就称这nxxxxlxlxlnnnn,1,010)()(),(1)1 , 0,(nkjjkjk上面找的对n=1及n=2的情况，得到了一次与二次插值多项式次插值基函数。先定义为了构造假设满足条件：次插值多项式的个节点般情形。下面讨论通过示的方法容易推广到一）。这种插值基函数表），（如（nxLniyxLxLnxxxnxLxLniinnn)()1 , 0()()(197)().(1021(10)()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxln（次插值基函数为：类似前面推导可得 (12)

11、 (k=0,1n)）。显然它满足条件（ 11 。有如下估计定理：为也称之（则截断误差为近似上用若在插值多项式的余项),()(),()(,xLxfxRxfxLbannn(15)nkknknknnkkkkkkkknxxxxyxLxxxxxxxxxxx01111101)()()()(13)()()()(）可改写成：从而公式（(13)(14)则若引入记号。为拉格朗日插值多项式称此)()()()(101nnnxxxxxxxxLnkkknnxlyxLxL0()()(10）可表示为：）的插值多项式于是满足条件（物线。就是一条直线而不是抛（式的二次插值多项。如过三个共线点（可能小于次数的多项式。特殊情况下一般

12、应为次数为次插值多项式注：),(),(),)(2221100 xLyxyxyxnnxLnn( )(1)012(1)11 ( ),( ), ),( )10( ),( )( )( )( )(1)!( , )14nnnnnnnnnfxa bfxa baxxxxb L xfxa bR xf xL xxna bx设在上连续，在（内存在，节点是满足条件（ ）的插值多项式，则对任何插值余项其中依赖于 ，定义如（ ）。（16）定理定理2： n=2，抛物插值的余项为：1021032,),)()()(61)()(61)(xxxxxxxxfxfxR 101021,),)()(21)()(21)(, 1xxxxxxf

13、xfxRn 线性插值的余项为：(1)1( )( , )max( ),( )( )nnna x bf xa bfxMLxf x 该定理证明见相关教材。还应注意的是，余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用， 在内的具体位置不能确定，若可以求则插值多项式逼近的截断误差限为：(17)()!1()(11xnMxRnnn的近似值。物插值求。分别用线性插值和抛，例：已知115121441112110100010111100115121,100121,10,117121100( )1011100 121121 100115 121115 100115( )101110.714100 121121 100 x

14、xyyxxL xL x解：因为故取节点，相应地有于是由线性插值公式（ ）可得：从而）：式（样，再由抛物插值公节点得到的结果将不一注意：按不同方式选取9)121144)(100144()121)(100(12)144121)(100121()144)(100(11)144100)(121100()144)(121(10)(2xxxxxxxL则：取为的近似值，其截断误差用线性插值求下面进行误差分析：.115,121,100,),)(81)()(21)()(1010102321 xxxxxxxxxxfxRxxf52230120201252( )11( )( )( )()()(),3!16100,12

15、1,1441151115(115 100)(115 121)(115 144100.001716f xxR xfxxxxxxxx xxxxxR 当用抛物插值求的近似值时，其截断误差为，将及代入得（）01125.01061581121,100,max)121115)(100115(81)115(3231R 在许多情况下，直接用插值余项公式（16）来估计误差是困难的。下面以线性插值为例，介绍另一种估计误差的方法。01201102211011012202202,()(0,1,2),( ),161()()().,21()()().,2ixxxxf xixxyf xyxxyyyyfxxxxxxyyfxx

16、xxxx设且已知若将用两点作线性插值求得的近似值记为用两点作线性插值点求得 的近似值记为 。则由余项公式（ ）有：)()(,)(121211121211212120yyxxxxyyyyxxxxyyxxxxyyyyxxxf 即式相除即得近似：内变化不大，将上面两在区间假设(18)了，必须重新计算，算出的数据均不能利用需增加插值节点，原来精度不满足要求就计算函数近似值，如果插值多项式用)(xLLagrangen由（18）可见，可以通过两个结果的偏差来估计插值误差00835. 0)714.10682.10(12114412111511518682.10115144100.714.10115121,1

17、00112201101yyyxxyxxyy的误差为：）可估计出插值结果由（似值为的另一近作节点可算得和同样方法，用的近似值作节点算得例如，在上例中，用。称为果来估计误差的方法，。这种直接利用计算结事后估计法12yy 为克服这一缺点，通常可用逐次线性插值方法求得高次插值。例如在前例中：则211111115 144115 100115(115)(115)(115)100 144144 100(115)(115)(115)(115 100)144 100291510.71410.739444410.7225(LLLLLL与利用抛物插值得到的有效值一致）739.10121144121115121441

18、2114411511)115(115714.101001211001151112110012111510)115(11511LL现在令 表示函数 关于节点 的n-1次插值多项式， 是零次多项式, , i1,in均为非负整数。一般地，两k次插值多次式可通过线性插值得到（k+1）次插值多项式：)(21xIniii)(xIki)()(kkiixfxIniiixxx21)(xf0,11,0,10,1.0,1( )( )( )( )()(19)klkk lkklkIxIxIxIxxxxx(19)是关于x插值多项式，显然 i=0，1，2k-1时 而0,1,0,1( )( )( )k likiiIxIxf

19、x0,1,20,1,2,0,1,20,1,2,0,1,2()()()( )( )( )( )()( )kkkk lkklkllk llkllkllkxxIxIxf xf xIxxxIxIxxxf xxx时，时，)()()()()(111 , 0, 0, 1 , 0, 1 , 0 xxxxxIxIxIxIllllxxx10从而证明了插值多项式(19)满足插值条件。我们称(19)为AITKEN（埃特金）逐次线性插值多项式（埃特金）逐次线性插值多项式当k=0时为线性插值。 k=1时插值节点为 三点，公式为计算时可由k=0到k=n-1逐次求得所需的插值多项式。计算过程如下43210 xxxxx4433

20、221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf0,10,20,1,20,1,30,1,2,30,30,40,1,40.1.2.40,1,2,3,4IIIIIIIIII4321 0 xxxxxxxxxx公式(19)也可以改成下面的计算公式(20)称之为NEVILLE（列维尔）算法（列维尔）算法，计算过程如下1,2, 10,10,1, 10,1010( )( )( )( )() (20)k kkk kkkIxIxIxIxx xxx43210 xxxxx4433221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf0,11,20,1,22,31,2,30,1,2,33,42,

21、3,41,2,3,40,1,2,3,4IIIIIIIIII43210 xxxxxxxxxx从表上看每增加一个节点就计算一行，斜线上是1次到4次插值多项式的值，如精度不满足要求，再增加一个节点，前面计算完全有效，这个算法适用于计算机 上计算，且具有自动选节点并逐步比较精度的特点，程序也比较简单。算例见教材(略）。0 xx )(10 xxxx)()(110nxxxxxx01020101()()()()() (1)nnaa x xa x xx xa x xx x 的线性组合 ，即可以把满足插值条件P（xi）=yi的n次插值多项式写成 由线性代数知，任何一个不高于n次的多项式都可以表示成函数: 其中

22、ak(k=0,1,2n ) 待定系数这种形式的插值多项式称为NEWTON插值多项式插值多项式。即牛顿插值多项式是插值多项式的另一种表示形式。与Lagrange插值多项式相比，它不仅克服了增加一个节点时整个计算工作必须重新开始的缺点，而且可以节省乘除法运算次数，另外，在牛顿插值多项式中用到的差分差商的概念又与数值计算的其他方面有着直接的关系。设函数f（x）的等距节点0(0,1)kxxkh kn处的函数值f（xk）=yk为已知，h为正常数，称为步长步长。称俩个相邻点xk+1与xk处函数值之差yk+1-yk为函数f（x）在点xk处以h为步长的一阶向前差分一阶向前差分（简称一阶差分）记为1kkkyyy

23、从而函数f（x）在各节点处的一阶差分依次是：又称一阶差分的差分为二阶差分二阶差分。010yyy121yyy11nnnyyykkkkyyyy12)(一般的，定义函数f（x）在点x处的m阶差分为阶差分为:为便于计算常, 采用下面表格形式计算差分表格形式计算差分kmkmkmyyy11143210 xxxxxxk43210yyyyyyk3210yyyyyk2212022yyyyk13033yyyk044yyk在等距节点 情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数，并将所得公式加以简化。这是因为：由插值条件)1 , 0( ,0nkkhxxn202120202002222001011110000! 2)

24、()()()()(hyxxxxxxhyyyayxNhyxxyyayxNyayxNnnn(1)(1)1(1)0100( )( )(1)(1)()( )()( )(1)!(1)!(1)!(,)nnnnnnnjjnfft ttnR xthwxxxhfnnnx x 称之为牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式。则插值余项为插值余项为:一般的，由 可设：（利用归纳法证明）kknyxN)(kkkhkya!0于是满足插值条件iinyxN)(的插值多项式为200000120010( )()()()2!()()(),(0)!nnnnyyNxyxxxxxxhhyxxxxxxxxthtn h令0200000(1)(1)(

25、1)()(2)2!nnnxxnht tt ttnNxthyt yyyn 注意到则可化简为：解：因0.12介于0.1与0.2之间。故取为求 构造插分表如下。表中各数依次是sinx在x=0.1处的函数值和各阶差分。2 . 01 . 01 . 012. 00hxxt020,yy001)12.0()12.0sin(ytyN=0.09983+0.2X0.09884=0.11960若用线性插值求 sin（0.12）的近似值有：牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式适合于计算函数表表头处附近的函数值。例例：从给定的正弦函数表（见下表左边俩列）出发计算sin(0.12)并估计截断误差。22200010(1)(1)(

26、0.12)(0.12)2!2!0.2(0.2 1)0.11960( 0.00199)20.11960 ( 0.00016)0.11976t tt tNytyyNy Sin(0.12)用二次插值得:用三次插值得(1)(2)33203!sin(0.12)(0.12)(0.12)0.2(0.11)(0.22)0.11976( 0.00096)60.11976( 0.00005)0.11971t ttNNy 因此 很接近，且由插值表可以看出三阶差分接近于常数，故取 =0.11971为sin(0.12)的近似值）（）与（12. 012. 032NN）（ 12. 03N此时由余项公式可知截断误差为：434

27、55(1)(2)(3)(0.12)sin4!0.2(0.21)(0.22)(0.23)0.1 sin(0.4)240.336100.389420.12975 10t tttRh6 .05 .04 .03 .02 .01 .0 x56464. 047943. 038942. 029552. 019867. 009983. 0sin x08521.009001.009390.009686.009884.0y00480. 000389. 000295. 000199. 02 y00091. 000094. 000096. 03 y在等距节点 下，还可以引入向后差分和中心差分向后差分和中心差分。定义如

28、下：y=f(x)在xk处以h为步长的一阶中心差分和m阶向后差分为khyx001111,(2,3)kkkmmmkkkyyyyyym 11111122221122(),()22,mmmkkkkkkkkkkyyyyyyhhyfxyfx其中y=f(x)在xk点处以h为步长的一阶中心差分一阶中心差分和m阶中心差分阶中心差分:各阶向后差分与中心差分的计算均可类似如向前差分，构造向后差分与中心差分表来完成计算。 若将节点 排列顺序，则（1）可以写为：利用向后差分也可用于构造牛顿插值公式，导出类似牛顿向后插值公式。这是因为：0, 121,xxxxxnn012111( )()()()()() () (3)nnn

29、nnnnN xb b x xb x x x xb x x x xx x 利用插值公式的条件与导出（2）的方法类似可得一个向后差分向后差分表示的插值多项式：)0 , 11,( ,)(nniyxNiin ( 其中 t0 ), 称之为牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式简称向后插值公式向后插值公式，（4）适合于计算函数值表表尾 x 处的函数值。(1)(2)(1)()(4)!nnnnt ttt nN xthy t yyn 例：例：已知函数表同上表，计算sin(0.58)的近似值，并估计截断误差.解：因x=0.58位于表尾 附近，故用后插公式计算sin(0.58)的近似值。6 . 05x1(1)0(1)(2

30、)()()( ),(,)(5)(1)!nnnnnt tttnRxthhfxxn插值余项公式为: 为了计算函数在 处的各阶向后差分，应构造向后差分表。但由向前向后差定义可见，对于同一函数表来说，构造出来的向前差分向后差分再数值上完全相同，因此上表中的数据依次给出了sinx 在 x=0.6 处的函数值和各阶向后差分值。5x2 . 01 . 06 . 058. 0)(5hxxt5352553! 3) 2)(1(! 2) 1()58. 0()58. 0sin(ytttyttytyN于是由后插公式（4）可得：因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算，且54802. 0)00091. 0(6)22

31、. 0() 12 . 0()2 . 0()00480. 0(2) 12 . 0(2 . 008521. 0)2 . 0(56464. 054310189072. 06 . 0sin) 1 . 0(24) 32 . 0() 22 . 0() 12 . 0(2 . 0)58. 0(R由（5）可知截断误差为： 与自变量之差自变量之差 的比值的比值设f(x)在一串互异点 上的值依次表示为 当插值节点非等距分布时，就不能引入差分来简化牛顿插值多项式。因此就要用到差商差商（又称均差均差）这个新概念。kiiixxx10)()(),(10kiiixfxfxf)()(01iixfxf01iixx , 称函数值之

32、差函数值之差为函数f(x)关于点 的一阶差商一阶差商。记为01iixx10iif x x01102110,iiiiiiiiiiixxxxxfxxxfxxxfmmmm一般的可用f(x)的m-1阶差商定义f(x)的m阶差商如下：120120,iiiiiif xxf xxxx210iiixxx012iiifx x x120101220,f x xf xxf xx xxx 的二阶差商二阶差商 记做 如又称为一阶差商的差商一阶差商的差商 为为f(x)关于点关于点101021121021( )()()( ) , ,f xf xf xf xf x xf x xxxxx又如：和计算差分类似，在计算差商时常采用

33、表格形式如下所示：3210 xxxxxk322110 xxfxxfxxf一阶差商321210 xxxfxxxf二阶差商)()()()()(3210 xfxfxfxfxfk3210 xxxxf三阶差商 使之间必有一点在则的某个区间上存在时，在包含节点当mjiiiimxxxmjxxf, 1 , 0310 !,10mfxxxfmiiim 关系：阶差分与差商有下面的的情况下，在等距节点mnkkhxxk, 1 , 040 差商具有下列重要性质重要性质： mimiiiiiiiimxxxxxxxxxxxfxxxf0111010,mxxxf,10 mxfxfxf,10 的线形组合表示的线形组合表示 ,且：（1

34、）函数函数f(x)的的m阶差商阶差商可由函数值可由函数值 021201210,xxxfxxxfxxxf（2）差商具有对称性，即任意调换差商的节点的次序差商具有对称性，即任意调换差商的节点的次序，不会影响差商的值不会影响差商的值，例如mnmmnnnhmyxxxf!,1 ,!,010mmmhmyxxxf 0010, 2, 1,.,xfankxxxfakk 引入 差商的概念后可以像 确定前插公式中的系数那样逐步地确定（1）的系数： 102100100,xxxxxxxfxxxxfxfxNn01011,nnf x xxxxxxxx niyxNiin, 1 , 0 的 n 次插值多项式为： 故满足插值条件

35、称之为Newton 的的基本插值多项式基本插值多项式。 x 一阶均差 二阶均差 100 10 121 11 144 12解:0 x1x2xx047619. 0043478. 0000094. 0Newton，利用，例：已知121441112110100115基本插值公式计算的近似值。 Newton基本插值多项式的截断误差为基本插值多项式的截断误差为： 7,110 xxxxxfxNxfxRnnnn nnxxxxxxx 101 ,100 xf,047619. 0,10 xxf000094. 0,210 xxxf由表可见Newton基本插值多项式（6）中各系数依次为： 01001,115xxxxfx

36、fxN7143.10100115047619. 0100 f115x故用线形插值所求的近似值为： 1021001002,115xxxxxxxfxxxxfxfxN 121115100115000094. 01151 N7228.100085. 07143.10用抛物插值所求的近似值为：这里所求结果与前面例中计算一致。但计算量却明显减少。可以利用公式（7）计算上例中的截断误差。 正有关，而的值与中但xfxfxxxxfn,710 的精xxxxfn,10 xxxxxfxxxf,3210410近似代替可以用 是我们要计算的，故不能准确的计算出确值，只能作出一种估计，例如，当四阶差商变化不大时 最后，我们

37、指出，在带有差商的差商型的插值公式中，在带有差商的差商型的插值公式中，为了计算差商需要进行多次除法，因此当节点等距时，应为了计算差商需要进行多次除法，因此当节点等距时，应当用差分代替差商，若节点是可以随意取的，则自然应当当用差分代替差商，若节点是可以随意取的，则自然应当选为等距的。此外，利用差分作插值多项式，也要合理选为等距的。此外，利用差分作插值多项式，也要合理地决定差分的阶数，以避免高阶差分的误差积累，而这种地决定差分的阶数，以避免高阶差分的误差积累，而这种积累有时是很严重的积累有时是很严重的。请看下例。例：求序列0，0，0，0，0，0的差分表 表中仅有一个微小误差 ，但在各阶差分中，随着

38、差分的阶数的增高，误差影响增大很快，到了六阶差分时，误差积累已达 .020000000000000233446101020 通常差分阶数选取的一般原则为，当差分表中的k阶差分等于（或近似等于）0时，则插值多项式的差分阶数只选取到k-1阶。 上面讨论差商时，节点彼此相异。 010101limxxxfxfxx 01010001lim,xxxfxfxxfxx101000100,xxxxfxxfxxxf下面引入带重合节点的差商概念。若存在。则定义解：方法一： 由于插值条件有5个，因此可令 43223140axaxaxaxaxp ,000 xfxxf显然个1000, nxxxf !0nxfnnxxxxx

39、xfi,lim2100个1000, nxxxfni, 2 , 1 对于n+1个相同的节点，则定义 , 00 p , 10p , 31 p , 61p 393 p利用带重合节点差商的概念，为讨论带导数插值问题提供了一个方便的解决办法。例：求一个次数不高于4的多项式P(x)使： 102100100,xxxxxxxfxxxxfxfxp令方法二210 xxxxxxBxA（前一部分为Newton基本插值公式，后一部分为满足导数要求及插值次数要求的最高形式）作差商表: 0 0 1 3 3 390 x1x2x318543210,aaaaa再利用题中给出的条件即可解方程组求出系数但此法很繁，不宜采用。方法三视

40、重合节点为两个节点，并注意可作差商表：00 x00 x11x11x32x00333913618236110 310105030 xxxBxAxxxxp得 10p利用 61p 31153xxxxxxxpxxx23可得出：A=1，B=0因此 001000000,xxxxxxxfxxxxfxfxp从而1001100,xxxxxxxxxxf1000001210 xxxxxxxxxxxxxxx23计算结果同方法二，但计算过程简单得多。然后利用条件5，即P（3）=39定出A，但此过程不如方法三简炼。 2210 xxAxHxp令另外，也可以用前面4个条件作出Hermite插值多项式H(x)，再 xHxHnn

41、njxfmxfybxxxanjjjjn 12101222, 2 , 1 , 0) 1 (,的多项式次数不超过个个条件，可唯一确定一这里共上 1212221012 nnnxaxaxaaxH其形式为： 若由条件（1）直接求 这2n+2个未知系数，其过程将非常复杂。因此，我们仍采用Lagrange插值多项式的基函数方法。 1210, naaa 不少实际问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，甚至高阶导数也相等。满足这种要求的插值多项式就是Hermite（埃尔米特）插值多项式。 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况。设在节点 xHn 12 njjjjjnxmxyxH012从而满

42、足条件（1）的插值多项式H(x)=可写成：(3)kknyxH12kknmxH12 xj xjnk, 1 , 0 由条件（2）显然下面就来求满足条件（2）的基函数令： xljxlbaxxjj2为此，利用Lagrange插值多项式 xjnj, 1 , 0 先求插值基函数10jkkjxkj kj 0kjx0kjx10jkkjxkj kj nkj, 1 , 0, 每个基函数都是2n+1次多项式。满足：(2)(xj (4) njkkkjjjxxxl01而 xlxxxxxjnjkkkjjj20121于是 njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl 11101110其中 12jjj

43、jjxlbaxx 1jjxl而 02jjjjjjjjjxlbaxxalxlx由条件（2）有：021jjjxlabax ,2jjxla jjjxlxb21整理得：jxx 证：因nj, 1 , 0 0jjjxHxfxR xlxxxjjj2同理可证 (5)还可以证明满足条件（还可以证明满足条件（1）的插值多项式是唯一的）的插值多项式是唯一的。 !222122nxfxHxfxRnn nnxxxxxxx 101其中ba,定理定理：y=f(x) 在插值区间在插值区间a,b存在存在2n+2阶导数。则阶导数。则Hermite 插值插值公式的余项为：公式的余项为：(6) xHn 12 xHn 12 xHxHxn

44、n1212于是kx在每个节点 x x 0 x利用反证法反证法，设及上均有二重根，即有2n+2重根，但是不高于2n+1次的多项式。故。因此唯一性得证。均满足条件（1）。 njxHxfxRxHxfxRjjjjjj, 1 , 000 即 njxHxfxHxfjjjj, 1 , 0 njxxj, 1 , 0 今设上，nxxx,10 由于在节点 21xxkxHxfxRn xRnjxj为这说明, 1 , 0 ba, 21zxkzHzfzFn的二重零点。故对插值区间中任一定点 x，可设此处 k(x) 为待定函数。令 ： 的一个零点，此外是所以则zFxzxF . 0 zF都是 zF因此ba,在nxxx,10

45、有 2n+3 个零点.的二重零点，ba,存在一个 022nF使 212n注意到 xknfFnn!2202222 2122!22xnfxRnn从而（二重零点按二个零点计）。利用洛尔定理: 在插值区间a,b中是首项系数为1的2n+2次多项式， H(z)是2n+1次多项式，因此kx1kx及 xH3 733kkkkmxHyxH113kkyxH113kkmxH可取节点为插值多项式为满足条件：作为带导数的插值多项式（3）的重要特例是n=1的情形。这时 .1xxkk .xk xk 11kkx0kkx01kkx01kkx0kkx01kkx01kkx01kkx111kkx011kkx01kkx011kkx1kk

46、x01kkx01kkx111kkx相应的插值基函数为它们满足条件： 211121kkkkkkkxxxxxxxxx 21111,1 2, 8kkkkkkkx xx xxxxxx 211kkkkkxxxxxxx 2111,9kkkkkxxxxxxx由(4),(5)的一般形式可得： 1011113xmxmxyxyxHkkkkkkkk 21243! 41kkxxxxfxR于是满足条件(7)的插值多项式是：插值余项 jjxfxp2 , 1 , 0j 11xfxp及例：求满足的插值多项式 及余项表达式。 ,11xfx 22,xfx 102100100,xxxxxxxfxxxxfxfxp210 xxxxxx

47、A 11xfxp 210121001101,xxxxxxxfxxxxfxfA项式通过故其形式为：解：由给定条件可确定次数不超过3的插值多项式。由于此多其中A为待定系数，可由条件确定，通过计算可得： ,00 xfx)()()()()()()()()(2210 xxxxxxxkxpxfxRxpxfxR的表达式，可设：为了求出余项)(! 41)(.)4(fxk即：次多项式）的后面项为首系数为（因为！使得内至少有一个零点在应用罗尔定理知41)(0)(4)()(.,)()4()()4(xkxkfbatx20121( )( )( )( )( )()() ()()0 , (012) ,()0,( )0.(

48、),52.jk xtf tp tk x txtxtxxjxxta b其中为待定函数，构造：虽然， ，故在内有 个零点（重根算 个）115( )( )( )( )nnnLxf xRungeLxf x 由前面求的近似值的例子表明，适当提高插值多项式的阶数有可能提高计算结果的准确程度，但决结论：插值多项式次数越高逼近函数的精度越好。这是因为，对任意的插值节点，当时，插值多项式不一定收敛到。下面我们看在20世纪初给出的一个等距节点插值多项式不收敛到的例子。不能由此得出(4)20120121( )( )()() ()4!.,R xfxxxxxxx x xx故余项表达式其中 位于和 所界定的范围内.如图：

49、描绘在同一坐标系中，并将曲线次插值多项式为节点作再以插值多项式次为节点作先以考虑函数)1 , 1()(),(),251/(1),(10101 ,0511),(55.1 ,052111).251/(1)(10521052xxpyxpyxyxpiixxpiixxxxfii-5实线)(10 xLy虚线)(xfy yx0图图2-11析表明：的端点附近。进一步分，尤其是在区间）更好地逼近并非处处都比，但从总体看，能较好的逼近比中，如在区间范围内由图可知，虽然在局部1 , 1)()()()()(2 . 0 , 2 . 0,510510 xfxpxpxfxpxp内现象，这表明在大范围现象称为这种两端会发生激

50、烈振荡，发散的，尤其在内收敛，而在区间外是时，只在当Rungexn11726. 0)()()(2511)()1 , 0( ,2111 , 11102jnjnnjjnnxxxxxxLLagrangenkknxn插值多项试构造的，个等距节点上取在.)(越大越大，积累误差也可能越高，计算工作量的舍入误差，插值次数的误差和计算过程来自初始数据来自截断误差外，还另一方面，插值误差除效果可能是不理想的。使用高次插值，逼近的iixfy 10,0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1( )( )xLxf x因此 我们很少使用高次插值，在实际计算中，常用分段低次插值进行计算。即把整个区间分成若干个小区间

51、，在每个小区间上进行低次插值. 例如：上图中在节点处用折线连接起来效果显然比逼近要好。01011( ).,max,( )nnkkkkkhf xaxxxbfffhxxhhIx谓线过点线连来设以知节点上的函数值记求一折线函数满足：所分段性插值就是通插值用折段接起逼近1(1)( ),.(2)(),(0,1,).(3)( ),( ),hhkkhkkhIxC a bIxfknIxxxIxa b在每个小区间上是线性函数。则称为上的线数。分段性插值函上可表示为：在每个小区间由定义知1,)(kkhxxxI) 1 ()(11111kkkkkkkkkkhxxxfxxxxfxxxxxI)1 , 0,()()(nkj

52、xlxljkkjj满足条件其中基函数)2()()(,0njjjhxlfxIbax有：则：若用插值基函数表示。）（略去略去形式为：3,.,00)(11111111jjjjjjjjjjjjjxxxbaxnjxxxxxxxjxxxxxxxxl hxfxfhxxbaxxbaxfh)()(,)( 就有：只要两点上的连续模，即对任意在区间是函数其中， 。零，这种性质称为地方均为附近不为零，而在其他只在分段线性插值基函数局部非零性质jjxxl1)()()(,)(101xlxlxlxxxxlkknjjkkj有：的具体形式易得：由其他基函数为零 )4()()()()()()()()()()(lim)()()(,

53、),()()()(11101111hhxlxlfxfxlfxfxlxIxfxfxIxlfxlfxIxxxxfxlxlxfkkkkkkkhhhkkkkhkkkk由于下面来证明：时，另一方面，故( )(0,1,2)(0,1),hkkkkIxxknffmkn分段线性插值函数 的导数是间断的。如果在节点上除已知函数值 外还给出导数值 这样就可以构造一个导数连续的分段插值函数 ).(,)(,)()(lim,)()()(max,. 0lim,)(,)(00 xfbaxIbaxfxIbaCxfhxIxfbaxhbaCxfbaxfhhhhhbxah上一致收敛于在内一致成立。即在就有因此，只要时均有：由前式可知

54、：时，有：上的连续模。当在为称1221111111221111110( ),( )1212hkkkkkkhkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkHermiteIxxxxxxxxxxxIxffxxxxxxxxxxxxxxfxxfxxxx 由上节的两点三次插值多项式（ ）可知，在区间上的表达式为：(5)11( ).1 .( ),(2).(),()(0,1)(3)( ),hhhkkhkkhkkIxIxCa bIxfIxfknIxxx满足条件：（）在每个小区间上是三次多项式。分别表示为：其中)(),()6()()()(0 xxxfxfxIjjnjjjjjh可表示为：则：值基函数上定义一组分段三次插若

55、在整个区间)(),1 , 0()(),(,xInjxxbahjj）（其他略去略去7,0,21)(0,21)()(1121111211njxxxxxxxxxxxjxxxxxxxxxxxxjjjjjjjjjjjjjjjjj)9()()()()()()()()6()(),(),(1111111kkkkkkkkkkhhkkkxxxxfxfxfxfxIxIxxx可表示为：中不为零。从而),(,)(),(1xxxxxxkkkjj时，只有的局部非零性质，当由于）（其他略去略去8.0.,0.,)(12111211njxxxxxxxxxjxxxxxxxxxxjjjjjjjjjjjjj1111( )( )( )(

56、 )1( )1.,( )( )1(12)(7) (12),hnjjkkkkkkf xf xIxf xxxxxxxxxxxa b 此外，当是分段三次多项式时，的插值多项式就是他本身，例如：当时，就有当：时，就有；由当时，还有：后面推之)11(274)(,274)()10(1)(0)8(),7()(1kkkkjhhxhxxxI可直接估计：的收敛性，由为考虑 )274)(3231, 1)(,)(,)(),(*1*kjjjjjjjjjjhxxxxxxxxxxx的极大值点，为的极大值为可证：定义式直接求导利用baxxpcbxaxxp2)(.)(2则：解：设 011111max278,max278)()(

57、274)()()()(knkhkkkkkkkkkkkhfhffhhxxffhfxffxfxxIxf )(,)()()(lim,)(,)(0 xfbaxIxfxIbaCxfbaxfhhhh一致收敛于在即时，上的连续模，因此当在是其中在且唯一的条件。给出使这一问题的解存是已给的数据，试其中满足：，求二次多项式：考虑下述插值法问题例21020221100,.,)(,)()()(1yyyxxyxpyxpyxpxp0202202012220201xxxxxxxxxx即：即：11222200202ybaxycbxaxycbxax由已知条件有：0012111222020 xxxxx：唯一可解的充要条件为可解

58、，而后者就归结为上方程的唯一故原问题的唯一可解，式的次数：项式，试确定这个多项：下面数据取自一个多例2X -2 -1 0 1 2 3 -5 1 1 1 7 25)(xpk25318672160311100010103116524 , 3 , 2 , 1 , 03 , 2 , 1 , 02 , 1 , 0,1 , 0)(ffffxfx解：作差商表如下：应是个三次多项式。，故知：三阶导数也是常数差商与导数关系的三阶差商为常数。由由此表可见，函数)()(xfxf)()()()()()(0000 xxxfxfxfxfxxxf：要使两者相等，必须有0002000000)()(,)()()()()()(,

59、xxxfxfxxfxxxfxfxxxfxxxfxfdxdxxfdxd证：的一阶差商。是其中，是线性函数除非一般不等于：证明例)(,)(,3000 xfxxfxfxxfxxfdxdX 2.4 2.5 2.6 f(x) 0.0025 -0.0484 -0.0968：已知函数表：例4X y 2.4 0.0025 -0.05092.5 -0.0484 0.00252.6 -0.0968 -0.0484yy2#)()()()(000结论得证。是线性函数，即：整理得：xfxfxxxfxf125. 029741. 1125. 04)1215. 1(1215. 10)(22, 1xxf得：解二次方程9741.

60、 11215. 1125. 0)5 . 2)(4 . 2(1 . 0210025. 04 . 21 . 010509. 00025. 0)(22xxxxxxf则：如下：的根。解：先作差分表求0)(xf4048. 2)(5672. 64048. 221xxx故所求近似根为：舍去X 1 2 3y 2 4 12y3x y f0,1 f0,1,2 f0,1,2,31 2 2 1 22 4 3 52 4 83 12用导数代替差商）：解：作差商表（重零点：求满足条件例5的插值多项式及余项。性。今天样条插提高了插值函数的光滑多项式的各种优点，又了分段低次插值样条插值方法，既保留计的需要而发展起来的，造船等工