中考专题复习相似三角形模型-辅助线

1、相似三角形(模型-辅助线)一、本章概述相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。二、知识回顾1、图形的相似(1)相似图形：形状相同的图形叫做相似图形(2)相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比。2 .相似三角形(3)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。(4)相似三角形的判定预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等。判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边

2、相交，所构成的三角形与原三角形相似。如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。(5)相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。3 .位似(6)多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。(7)在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似

3、图形对应点的坐标的比等于k或-k。1.相似基本模型一、本节概述本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造齿特个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。正A:£ADEs£ABC1.“A”字形相似斜A:力即sXABC似乂：4GDsABCADAB=AEACAC2=ADAB2.力8”字形相似iH8：ABEsDC®金|8：AABEsACDEAEDE=BE-CE二、典例精析能力目标：1 .熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：2 .借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题【例11已知：图下图，AD是ABC的中线。一一4F(1)若E为AD的中点，射线

4、CE交AB于F,则瓦；=；一、.，一AE1一一4F(2)若E为AD上一点，且诉二/，射线CE交AB于F,则为F=JZj.LrrbJ思维探究:方法通过平行线构造相似解：过A点作AP/BC交CF于点P,8"字模型APCD.”=()'CDDE'.'AE=DE,：.AP='CD=BD,J.BC=4P.空”模型儿PCDAP/BCAFAP_AP,京=()=()答案为:方法二：过A作AH/CF交BC延长线于H,则方二DEAFCH1IEABFBC2方法三：作DK/CF交AB于K,AF=AE=BK=BD=fk=e=Tk='cd=则AF1.4F=8K=KE故第=1

5、方法四：作DM/AB交CF于M,贝UAF=DM,u火一故"BFBC2)BF2(2)构造平行线，通过线段比解决问题作BP/AD交CF于点P,D点，其它的同学们自己尝AED=/ACB.DECD,画=或=，._1._1'ED=kBP=()?.”=AE='BF=BP=，答案为，0大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和试。【例2】如图，BD、CE为ABO高，求证：/思路分析：求证相等的两角，在如图所示的了两个三角形中，符合“斜A”相似模型，只要证明它们相似即可，且证明它们相似只能用边的比例关系，而边的比例关系可以通过另一对相似三角形得到。思维探究：通过相似求出比例关系证明

6、：.J"I.AEC=ADB,又；NA=ZA,.AECsA;.AE:AD=AC:,通过“斜”A相似证明等角。tAE_AD-AC=()又二ZA=/4s,ZAED=ACB方法总结：A”相似模型后，首通过相似证明等角是证明等角的一种常用方法，当发现“斜先要想到利用相似证明等角。【例3】已知：如图，在O中,CD过圆心O,且CD,AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交O于F交AB于E.求证：CB2=CF?CE.思路分析：求证的是一条线段的平方等于两条线段的积，结合它们的位置可以考虑构造“似"A相似模型。思维探究：连接FB构造“似A”相似模型，只要证明即可,需要找到一组等角。证明：连接BF

7、、AC,通过垂经定理、圆周角定理转化条件：CDLAB,-AD=；.AC=；/.Z4=Z,二ZA=/F,/.ZF=Z证明相似，进而得到结论。乂./BCE=WFCB,：.ACBEsA,tCE_BC,茹=(y.CB2=CFCE方法总结：本题的关键是对平方关系转化，因此熟练掌握“似A”相似模型很有必要。三、成果检测1 .如图，在直角梯形ABCD中,DC/AB,/DAB=9,AC±BC,AC=BC,/ABCF分线分别交AD、AC于点E,F则BFEF的值是（）A.1IB.!：./2C.ID.2答案:/zDAB=9(?,AEflFG18F_BG:AC.LBC,二"CB=9ff,又18F是

8、二48c的平分线j二FG二FCt在RtBGF和RABCF中(BF二BF'CF二GF.'.RtBGFRtBCFHI。CB-GBt:ACBCt班=45°,:.AB=728c,BFBGBC1ri.'.二=>/2+LEFGA>/2ffC-BCV2-1故选：C.2 .如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与BD交于点E,/ADB=/ACB.(1)求证：AB:AE=AC:AD;(2)若ABLAC,AE:EC=1:2,F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形。zABE=zACB.又；/BAE=ZCAB,/.-ABE3-ACBAB_AC"AE&quo

9、t;ABrXvAB=ADj,AB_AC."AE"AD'(2)设AE=xr'/AE：EC=1：2f?.EC=2xf由(1渭：AB2=AE-AC即AB：=X3x二AB=.3x,又；BAiACf/.BC=23x;，,zACB=30s,7F是BC中点,二BF=j,3x,/.BF=AB=AD,又<zADB=zACB=zABDFzADB=zCBD=zACB=30°,，AD"BF,.四边形ABFD是平行四边形f又；AD=ABF，四边形ABFD是菱形口3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于

10、点E.F,连接BE、DF.答案：L(1)证明：在蓑形ABCD中*AD/BQDA=。/BCr/.AEO=匕CFOt在"FO和乙疗。中,/aAEOaCFO.AOE-/COF,1 OA=OCAEO-CFOiAAS)，二OE二OFj又/OB=ODt二四边形BFDE是平行四边形；(2)设0M=x,1-/EF±ASfianaMBO-,，BM=2xj又AC.lBD,jlAOM-zOBMt，-AOM5OBMAM二OMOMBMOM11W2%/ADBCAEMsdBFMT1八。EMFM;AM:BM="U=1:4.4.如图,在ABC,D是BC边上的点（不与点B.C重合），连结AD.问题引

11、入：如图，当点D是BC边上的中点时，.二-,=；当点D是BC边上任意一点时，S,lj士久小妄?=（用图中已有线段表示）.,索研究：如图,在AB中,0点是线段AD上一点（不与点A.D重合），连结BO、CO,试猜想5徵”与之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由。k展应用：如图,0是线段AD上一点（不与点A.D重合），连结B0并延长交AC于点F,一0DOEOFrt_、一-t连结CO并延长交AB于点E试猜想N万十近十而的值，并说明理由。答案11蒯叠。,当点RM版21上囚中点时故首宴为8D.8COD.AD如图创乍BCmEf作AFl8C与，:8C0EBCAF1理由如下BOCAD由得空5.如图，在RtA

12、B中,/ACB=90,AC=8,BC=6,CD±AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止。设运动时间为t秒。5(1)求线段CD的长；(2)设4CPQ面积为S,求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得Smfq：S3M=9:100?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。当t为何值时，CPQ腰三角形？答案:CDABr-5”纥=2HCAC=：用"8BCAC6x8T7F，线段仁。的长为4.8.过点户作,垂足为/如图2所示。由包可知r?p=t

13、.贝UCP=4.8-L9CF.上AS=lO口lHCP=9CT-CC8=，笈PH上AU,/=9。.nCHP=nAUB.4cHpPH'A=PHB-=-SjCPQq夕04.PC：AB。4.8t1O*964,25-1_1964=专OQfh=专代走一芸z52座J8,9:100.5+25存在某一时刻t,使得Sjcpq-Sabc:SdABC且SdCPQ:s4A8c=9：100,9AS/.(一(f+垸。：24二9:100.整理得：5户-24C27=0.即(5f9)(f-3)=0.9解得：|=弓或1=3./0<t<4.8,Q.当二5秒或上3秒时，S“q:S如二9：100.谓CQ=CP.如图1

14、,JK!1t=4.8-t.解得：t=2.4.若尸。二PCt如图2所示。vPQ=PCtPHlQC,若QC=QP1过点Q作QA。%垂足为F，如图3所示。24同理可得:t=五.CPQ为等腰三角形。14494综上所述:当t为2.4秒或豆秒或变秒时,2.双垂线模型、本节概述本节重点讲解“双垂线模型”的应用和构造方法，记住这个模型的一些常见结论，在解题中会起到很好的效果，双垂线模型：如图中有两个直角标记，故称之为“双垂线模型”，会得到以下结论：(1)角的关系：=(2)相似三角形：ABCsADBAsDAC(3)射影定理：AB2=BD-BC.AC2=CD-CB,AD2=BDCD(4)等积变换：ABAC=ADB

15、C请尝试证明上述结论二、典例精析能力目标：1 .熟练掌握双垂线模型;2 .识别利用、双垂线模型【例1】如图，已知ABC,AD,BF为BC,AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC的延长线于H,求证：DE2=EG?EH.思路分析：求证中涉及到的线段，其所在的三角形不能直接得到所求的结论，因此要进行转化，DE恰好在“双垂直”模型中，因此DE?=月片,2JE,所求转成AEBE=EG-EH,只要证明它们所在的ABEC和AAEH相似即可。思维探究：通过双垂直模型转化DE。证明：90)/DAE+ADBE=900.ZAED=ZDEB=90°BE=BE砺二(y；BDE+DBE=Z

16、iBDE=/1AAEDA,.DE2=利用相似三角形得到比例关系，进而转化为乘积关系1/ABF+ZBAC=90)/H+BAC=90°,ZABF=Z,；BEG=AHEA=90°,:丛BEGs丛.EG=()''AEEH'.EG-EH=又<de3=ae+be,DE2=EG-EH方法总结：本题利用双垂线转化线段的平法关系，是解题的关键。【例2】如图四边形ABCD是矩形，AB=2,/FEG=90求EF与EG的数量关系。思路分析：求EF与EG的数量关系，只要将它们放入方程中求出即可，由于AB=2,E是AC中点，因此可以考虑构造中位线，进而出现双垂直模型。思维

17、探究：构造中位线。解：取BC的中点H,连接EH,丁四边形ABCD是矩形，.AE=CE,ZABC=90°BFHGCi.'.EH=-AB=1,EH/AB,：.EH±BC在中用勾股定理得到EF与EG的关系，在JltAEFG中,由勾股定理得：EF2+EG2=2利用双垂线模型面积关系/EH±FGfFEG=90°,：,EFEG=EII'.EH=1,/,EF-EG=,：,EF2-EG2=FG2整理方程得到关系，E产,EG2=EF2+EG2,1I1-.E尸意十EG2-方法总结：本题利用“双垂直”模型的面积关系，当然也可以利用相似关系解决这个问题，留给同学

18、们自己思考。3.一线三等角、本节概述本节重点讲解“一线三等角”模型的应用和构造方法，这个模型的构造通常出现在综合性较强的压轴题中。模型一：如图，若/1=/2=/3,会得到以下结论：(1)Z4=Z5.Z6=Z7；模型二：如图是一线三等角的另一种形式，有着类似的结论我们会发现，其实前面学习的勾股弦图只是一线三等角的一种特殊情况。知识点1:一线三等角能力目标：1 .熟练掌握一线三等角模型2 .识别、利用简单的一线三等角模型解决问题【例1】如图，在等边三角形ABC中,AB=4AD=4,点P在边BC（不与B、C点重合）上移动，且保持/DPE=60",则AE的最小值是。求出相关量解:ABC是等边

19、二角形，/.ZA=ZB=ZC="PE=AB=BC=AC=4.AD=4,I3D=考虑到/48。=/。尸£=/£。8=60口,符合#一线三等角”模型，I”现相似二角形,CPE+乙BPD=1800-"PE=120°,ZBDP+ZBPD=1800-ZB=1200,"CPE=/又/乙B=丛BPDs丛.HD)PCCE求AE的最小值等价于求CE的最大值，利用函数关系式求最值。设8P=±,pc=、CE=n，/.3：(4x)=xy»整理得：y=(0<£<4)当E=时*9有最大位，此时4E=ACCE=,故AE最小

20、值是，方法总结：本题是非常明显的“一线三等角”模型，直接利用即可。【例2】在四边形ABCD中，/ADH=乙BCD=120:力。=GO,BC=4,CD=6,则AC=思维探究：由于ZADB=/BCD=120°可尝试构造一线三等角解:延长CD至点、E,使DE=BC,ZADE=180°-ADBZBDC=60°ZBDC,DBC=180°-乙BCD-BDC=60°-乙BDC、二NADE=/,又:AD=DB,DE=BC,二工。Eg，利用全等三角形的性质得到其它条件“.'.ZE=ZDCB=AE=CD=.在力。E中，知道两边及夹角，故可求出ACK,作乂耳

21、垂足为尸，在RtACEF中,UFEC二*EF=,CF=,在址AACF中山勾股定理可求得AC=,故答案为力。=.方法总结：有两个等角时，可尝试构造“一线三等角”【例3】在跳力打。中，/O=901AC=6，Z?C=8,D是斜边AB的中点，E是BC边上一动点，连接DE、AE,当/4即=45°时，求CE的长通过“一线三等角”构造相似三角形思维探究：/AED在日。上，且点4、。到的距离可求，故可构造“一线三等角解：作QFLB。截取FAf=FD,延长8。至点N,使CN二月C,连接AN,模型OFM和C4N是三角形，乙DME=/ANE=£DEA=。，FM=FD=AC=,CF二BC=,易证：

22、即Ms4EN，.MD_().,NEAN7利用相似三角形的性质解出所求。设CE=w,则NE=.ME=MC-CE=MD=,AN=,.3y/2_7-x£+66/2'解得：x=或工=,(含)故答案为：CE=.方法总结：本题为知道一角构造“一线三等角”，难度较大根据模型二构造一线三等角【例4】在4BC中，AB=AC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且/Z?ED=2NCED=N!L4C=901则DB与DC的数量关系为思维探究：ZBAC=ZBED=90°,可考虑构造以一线三等角"模型解：".A.通过“一线三等角”构造全等三角形，ABE-FBAE=>

23、;CAK+BAE=°?RASE=N.AB=AC,Z1AEB=AKC,£BEA,利用仝等三角形性项结作其它条件得到线段关系,二BE=,AE=.CK±AK."EK=451AE=EK,=AK=AE+EK,，AK=2AE,/.BE=2CK.“8字模型”构造比例二CK±AD,BED=90。，.二BE/CK,.BD_BE_nc=ck='：,BD=DC,故答案为：三、成果检测1.已知：如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,F是AD上一点,CF，毛点F交AB于点E,CD:CF=1:2.求AE的长。答案:四边形是矩形,DC：乂5=4fCFAE,士

24、EF=9(7.AEFAEDF=DC/AFE-DFC=90f乙AEFAFE二股,2AEF二2DFC,AFDCl1DC二"/.aDFC-30/fDC4.P_.FD=-=4V3,tan3(Xtan3Q二力户二10-4门，.广FD'AF4入，rt个/.AE=10V3-12.DC2.如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上,2BE=DB,作EF±D审截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,贝Uy关于x的函数解析式是（CABDDBEEGFkAAS答案：ADEB+FEC-tBDE=乙FEG-DBE与旺G/B二d

25、GEaBDEaFEG3.如图，在矩形AOBC中点A的坐标是(-2,1),C的纵坐标是4,则B.C两点的坐标分别是()答案:过点A作AD±x轴于点D,过点B作BEx轴于点E过点C作CF/y轴，过点A作AF/x轴，交点为F,延长CA交x轴于点H,I:四边形/08b是矩形,OfftACOB,，士CAF一BQE=,在n4U尸和&O8F中.|d二械。二9(yzCAF二wBOE二OBCAFBOEAASf，BE=6A=4-1=3.AODrjlBOE-jlBOE-OBE-9CT:.eAOD=eOBE,/d-ADOOEB9CF,AODsOBE,AD_OD一市一击,呜w-tOE1,即点&

26、Q.工AF=OE=If31,点U的横坐标为：_Q_今二",，点”：,4).故选D.4.如图1,在等腰直角ABC,/BAC=90,AB=AC=2,点E是BC边上一点，/DEF=451角的两边分别与边AB,射线CA交于点P,Q.(1)如图2,若点E为BC中点，将/DE看点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P,EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x,CQ为y,试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;AEO成(2)如图3,点E在边BC上沿B到C的方向运动(不与B,C重合)，且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点。探究：在/DEF过程中，等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明

27、理由。答案:,ABAC2,.zj?=z<5C=2V2又,：£FE8=£FED+£DEBjEQCC,fDEFC；-8PEsyEQ,BP_CE,'廿京，设BP为x.。为",X72.'.=.qy2/1/=-自变量*的取值范围是0万<1;JC£AEF=B=£C1且/HQFa/C(。aAQE>±AEF.AEHAQ.当二EQ时j/-aEAQ-AEQAtvAEQ=45°,Q二二67.51，"/IL9。fzC=45j;AE=乙QEC=22s.一在必先和上“。中，:zCz8AE=aCEQf

28、AE:EQ:ABEECQAAS).二CE=AB=2.二BE=BC-EC2V2-2;当#0=fQ日寸，可知/Q4下二aQEAASr7AErBG二点F是BU的中点。；.8E=72练上f在上。门运动过程中4F。能成等腰三角形，此时的的长为2d2-2或425.阅读理解如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A,B不重合），分别连结ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。解决问题：如图1,若/A=/B=/DEC=55试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;拓展探究: