动态电磁场及电磁波

1、第5章 动态电磁场与电磁波 5-1 动态电磁场1.1.时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件（1) 1) 两种一般媒质分界面上的边两种一般媒质分界面上的边界条件界条件 H的边界条件hH H2l1 12 2n021H H1 J Js应用积分形式的麦克斯韦第一方程，在令h0的前提下，得 htlHH)()()sinsin(2211lnDJ0由于 是有限量，如果分界面上没有传导面电流，则当h0时，上式右端为零。因此 t D021ttHH如果分界面上有传导面电流，则 sttJHH21写成矢量形式，两式分别为 0)(21HHn0sJHHn0)(21 E的边界条件应用积分形式的麦克斯韦第二方程，在令h0的

2、前提下，得 E E2l1 12 2n021E E1hhtlEE)()sinsin(2211lnB0因为 是有限值，所以 t B021ttEE写成矢量形式0)(21EEn0 B和D的边界条件时变场中磁感应强度B和电位移矢量D在两媒质分界面上的边界条件与静态场的相同，即 021nnBBsnnDD210)(210BBns)(210DDn（2)2)理想介质与理想导体分界面上的边界条件理想介质与理想导体分界面上的边界条件设媒质1电导率1=0；设媒质2电导率2=。媒质2中的传导电流密度J2不能是无穷大，由J=E可知，E2=0。由麦克斯韦第二方程，可知B2和H2不随时间变化，因而可以认为理想导体内也不存在磁

3、场（B2=0和H2=0）。 理想导体H1E1n0Js由场量表示的边界条件 sJHn01stJH1或或或或01 En0021ttEE01Bn0021nnBBs1Dn0snD1【例】两无限大导体平板分别位于z=0和z=d处，在两板之间的空气中有一时变电磁场，其电场强度 )sin(sin0 xtdzEy aE其中E0、为常数。求磁场强度H H和导体板表面上的面电流密度Js 解：由 t HE0tzExEyxyHaaz0)cos(cos)sin(sin)sin(cos)cos(sin000000 xtdzdExtdzEdtxtdzddtxtdzExzxzaa aaH下导体板（z=0）的外法线为n0=az

4、 )cos(000 xtdEyzzsaHaJ上导体板（z=d）的外法线为n0=-az )cos(000 xtdEyzzsaHaJ 正弦电磁场场强矢量的每一个坐标分量均是同频率的正弦时间函数，其振幅和初相位都是空间坐标的函数。以电场强度为例，在直角坐标中可以表示为 2.2.正弦电磁场的复数表示法正弦电磁场的复数表示法 ),(),(),(),(tzyxEtzyxEtzyxEtzyxzzyyxxaaaE其中各坐标分量为：),(cos),(2),(zyxtzyxEtzyxExxx),(cos),(2),(zyxtzyxEtzyxEyyy),(cos),(2),(zyxtzyxEtzyxEzzz既然电场

5、强度矢量的每一个坐标分量均是同频率的正弦时间函数，可以引入相量来表示每一个坐标分量，即 zyxjzzjyyjxxeEEeEEeEE相量与它对应的正弦量之间的数学关系为： 2Re2Re2RetjzztjyytjxxeEEeEEeEE可以引入复矢量来表示电场强度矢量，其表达式为 zzyyxxEEEaaaE它与对应的电场强度矢量之间的数学关系为 2RetjeEE引入复矢量之后，正弦电磁场场强矢量的下列数学运算可以用对应的复矢量的运算来代替。 两个场强矢量相加或相减的运算可以用对应复矢量相加两个场强矢量相加或相减的运算可以用对应复矢量相加或相减的运算来代替；或相减的运算来代替； 场强矢量乘以一个常数的

6、运算可以用对应复矢量乘以一场强矢量乘以一个常数的运算可以用对应复矢量乘以一个常数的运算来代替；个常数的运算来代替； 场强矢量对时间微分的运算可以用对应复矢量乘以因子场强矢量对时间微分的运算可以用对应复矢量乘以因子j j 的运算来代替；的运算来代替； 场强矢量对时间积分的运算可以用对应复矢量除以因子场强矢量对时间积分的运算可以用对应复矢量除以因子j j 的运算来代替；的运算来代替； 场强矢量对空间坐标微分的运算可以用对应复矢量对空场强矢量对空间坐标微分的运算可以用对应复矢量对空间坐标微分的运算来代替；间坐标微分的运算来代替； 场强矢量对空间坐标积分的运算可以用对应复矢量对空场强矢量对空间坐标积分

7、的运算可以用对应复矢量对空间坐标积分的运算来代替；间坐标积分的运算来代替；例如，电场强度对时间微分的运算可表示为：2Re2Re2RetjtjtjejetettEEEE再如电场强度的旋度可表示为： )(2Re2RetjtjeeEEE微分形式的麦克斯韦方程的复数形式为 DBBEDJH0jj其中，场源J和已分别用它们所对应的复矢量和相量表示。3.3.复介电常数和复磁导率复介电常数和复磁导率 在正弦电磁场中，复介电常数是一个复数，可以表示为 jc其虚部总是大于零的正数，反映媒质的极化损耗。媒质单位体积的极化损耗平均功率为 222*Re)(Re)(ReReEEjEjjjPcav EEEEJE当频率较低时

8、，媒质的极化损耗常常可以忽略。对于线性、均匀、各向同性的媒质，在没有场源的空间，麦克斯韦第一方程的复数形式为 EEEEEHcjjjj )()(式中)( jc称为等效复介电常数。与媒质的介电性能相似，媒质的导磁性能在高频下可以用复磁导率表示为 jc复磁导率的虚部也是与磁损耗相对应的。对于电介质，其损耗角正切定义为 etg对于导磁媒质，其损耗角正切定义为 mtg良好媒质的损耗角正切在10-3以下。 5-2 电磁场能量电磁场能量坡印廷定理坡印廷定理 在单位体积导电媒质中消耗的电功率为 电场能量密度与磁场能量密度为ED21ewHB21mwtDHEJE由恒等式 )()()(HEHEHE上式为 )()()

9、(HEBHDE HEEHDEJEttt对于各向同性的线性媒质twtttttteDEEDDEDEDEDE2121212121twttmBHBH21由此可得JEHEmewwt对任意闭合曲面 S 包围的体积V求积，并由散度定理得 PWWtVVwwtVVSmemedd dJEdddSdHEV V内电磁能量的增量内电磁能量的增量V V内焦尔热损耗功率内焦尔热损耗功率传入传入V V内电磁功率内电磁功率HES坡印廷矢量坡印廷矢量，单位面积上的电磁功率令对于时谐电磁场，导电媒质吸收的复功率体密度为)(DjHEJE仿照上述的推导过程，可得)()(DEHBjJEHE坡印廷定理坡印廷定理这是时谐电磁场坡印廷定理的微

10、分形式，其积分形式为VSVdDEHBjJESdHE)()(在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为HES媒质吸收的有功功率密度，等于电磁功率流面密度的平均值： Red,10avHErSSTttT5-3 电磁位电磁位 定义动态矢量位 A为AB由maxwell第二方程，可得0)(tAE由此，可定义动态标量位为t AE将以上两式带入麦克斯韦方程，可得JAAA)(222tt)(2At引入洛仑兹规范：t A可得：JAA222t222t以上两式称为电磁位的非齐次波动方程，又称为达朗贝尔方程。对于时谐电磁场，电磁位的非齐次波动方程的复数(有效值)形式为 JAA22k22k式中k称为波数，单位为弧度/米 (rad/

11、m). 令：1为电磁波的传播速度。在自由空间中 8001031m/s动态标量位满足的非齐次波动方程为：22221t位于坐标原点的时变元电荷dq = dV产生的标量位(r,t)= (r,t)仅为球坐标r 的函数。故在除坐标原点以外的整个无源空间，位函数 满足方程 22222222111trrrrrrr即：222221trrr(0 r )；其通解为：rrtftfr21在无界空间中，上式右端第二项应舍去。位于原点的时变电荷产生的标量位为 rtftr1, r式中函数 f1 取决于场域中的媒质和dq的变化形式。当dq与时间无关时，即为静电场，这时它所产生的电位为 VVttd,41,rrrrrr rV4d

12、r对比可得位于原点的时变元电荷dq产生的标量位为 Vrttrd4,dr若元电荷dq不在原点，而位于r点，则令R =|r - r|为源点到场点的距离，可得其标量位 Vttd4,drrrrrr位于场域V 中的任意体分布电荷(r,t)，在场点r处产生的标量位 VVttd),(4,rrrJrArr同理，可得位于场域V 中的任意体分布电流J J(r,t)，在场点r处产生的动态矢量位为 对于时谐电磁场时谐电磁场，电荷密度和电流密度J J均为正弦量，其中：)(2Re)cos()(2)cos()(2,jkrtjeekrtvrtvrtr r rr动态标量位复数形式的解为： VkVde)(41jrrrrrr同理可

13、得动态矢量位复数形式的解为： VkVde)(4jrrrrrJrA如果是线电流，动态矢量位复数形式的解为： VkdIlrrerArrj4基本参量间的关系：kk22k5-4 电磁辐射电磁辐射1.1.电偶极子的电磁场电偶极子的电磁场 设电偶极子长度 l远小于其上电流频率对应的电磁波波长，且其横截面可忽略不计。 为电流有效值相量,则 I zkrerlIjeA40在球坐标系下,)sin(cos40eeeAjrkrrlI根据， 可得0AHejeHjsin)1 (42krrlIkr根据， 可得0jHEeeeeEsin)1 (4cos)1 (2223030rkjkrrlIjjkrrlIjjkrrjkr2. 2

14、. 近场与远场近场与远场 电偶极子的近区即 ( )中的场可近似表达为 1krreeE30304sin2cosrlIjrlIjreH24sinrlI利用电流与电荷的关系 ,电场的表达式式可写为 qjIeeE30304sin2cosrlqrlqr注1：场与源的相位完全相同。虽然源随时间变化，但它产生的近区场(近场)与静态场的特性完全相同，无滞后效应，所以近场也称为似稳场。 注2：电场强度和磁场强度的相位差为90，故坡印廷矢量的平均值Sav为零。事实上近场也有平均功率在传输，而且正是这部事实上近场也有平均功率在传输，而且正是这部分功率提供了向外空间传送的辐射功率，只是相对于存储在近分功率提供了向外空

15、间传送的辐射功率，只是相对于存储在近场的功率而言，其值可以忽略不计。场的功率而言，其值可以忽略不计。电偶极子的远区 ( )中的场可近似表达为 1krreeEjkrrlkIjsin402eeHjkrrlkIjsin4电场和磁场的振幅之比定义为介质的特性阻抗，即377000kHE在一般媒质中，则 远区空间任意一点复坡印廷矢量的平均值为rrlIeSav22sin2 3. 3. 方向图方向图辐射场的电场强度随角度变化的函数f( ,) 被称为天线的方向图因子。电偶极子的方向图因子为 sin),(f电偶极子天线向外发出的总辐射功率为 23 lIdPSSSav如将上式写为 的形式，则rRIP2232 lRr

16、称为天线的辐射电阻。Rr 愈大则天线的辐射功率也就愈强。有时还常用 P 或 Rr 表示坡印廷矢量的平均值，即rrPeSav22sin83rrrIReSav222sin83【例】GSM系统双频移动电话天线的发射功率，当f=900 MHz时为0.12 W；当f =1.8 GHz时为0.11 W。若将该移动电话天线近似看作为偶极子天线，试分别计算距移动电话3 cm处的最大功率面密度。 解 由 ，最大功率面密度在 90 ， 当f900 MHz时，Savmax265.2 W/m2 26.52 mW/cm2 当f1.8 GHz时，Savmax132.6 W/m2 13.26 mW/cm2。 美国IEEE/

17、ANSI标准规定功率面密度限值为1 mW/cm2 rrPeSav22sin834. 4. 电磁波频谱电磁波频谱天线向空间发射电磁波信号，并占用一定的频谱宽度。因此，频谱成为一种特殊资源。为了防止电磁波信号相互干扰，必须将电磁波的频谱进行合理分配，并进行有效管理。1021电磁波频谱分配图10- 910 0频率（Hz） 频 段 主 要 应 用 领 域 波长（m）10-12射线癌症治疗，天体物理研究x射线医学诊断医学诊断10181015101210910610310010-610-3103106紫外线杀菌可见光视觉显示，天文学研究，光通信红外线毫米波加热，夜视，光通信天文学研究，气象学研究极高频（EHF）特高频