第五章功率谱估计第5节

1、第五节白噪声中正弦波频率的估计及谱估计的其它方法一、白噪声中正弦波频率的估计确定性信号x(n)为任意形式的信号时，可作傅里叶级数分解，变成许多正弦分量的线性组合。估计淹没在噪声中的正弦波的频率是信号处理最有实际应用价值的技术之一。因为带有白噪声的正弦波是一种常见的随机过程，常用于评价谱分析的性能。一般假设这些正弦波之间是非谐波的关系。若傅里叶分析无法分辨其频率的多个正弦波用周期图是进行频率估计是最佳方法若傅里叶分析能够分辨其频率的多个正弦波不适用周期图法，而采用最大似然技术和基于自相关矩阵特征分解法谱估计。2、特征分解法把正弦过程看成是频率未知的确定信号1、最大似然技术采用平稳随机过程模型来分

2、析正弦信号，待估计频率自相关矩阵中的未知参数。、最大似然法对于复高斯白噪声中的复正弦信号所周对期图应的最大值的频率。其频率的最大似然解为：复高斯白噪声中复正弦信号的参数估计问题p假设数据由复高斯白噪声中的 个复正弦信号组成1( )exp()( )piiiix nAjwnw n即：20,1,-1,( )wnNw n其中是均值为零和方差为的复高斯白噪声。（1）推导1211,; ,pppA AAww 振幅相位频率正弦信号的参数依次为振幅、相位和频率估计目的:这些参量单个先讨复正论复白噪弦信号声中存在的情况。( )w n设复白噪声中有一个复正弦信号：111Aw式中 、和分别是正弦波的振幅、频率和相位，

3、假定它们是待估计的未知常数。（a）复白噪声中存在单个复正弦信号111( )exps nAjw n( )( )( )x ns nw n设 平 稳 随 机 过 程 ：111( )exp( )0,1,-1Nx nAjw nw nnN一次实现的个采样值为：1111( )(0), (1), (-1)exp1,exp,exp-1TTs nssss NAjjwj Nw矢量表示为：( ) (0), (1), (-1)Tx nxxxx N用矢量表示为：T( )( )=(0),(1),(-1)w nw nwww N用矢量表示为：( )w n假设为白噪声，其自相关矩阵为：2wwI 2( )ww nIN这里是的方差，

4、 是 阶单位矩阵。1111 exp()ccAAAj复令表 示波 的幅弦数 振正1111,exp,exp-1Tejwj Nw令信号矢量1 1 1csA e于是：（）2211( - )exp -( - ) ( - )detHNwwxp x sx sx sIH数据矢量 的概率密度函数为式中，表示共轭转置。111MLEAw求 、和 的最大似然估计（）111( - )p x sAw三参数的求解对 、和最大化问题( - ) ( - )HLx sx s 最求解 小化问题111 11 1)( -) ( -) (2)HcccL AwxA exA e（， 1 1(- )(- )HcsA eLxsxs将代入 式得：

5、11cLAw是和的函数。11-1-11111-101111:1( )exp(-)3cHHNwcHHnwwLAexe xAx njwneee eN设 为常数（已知），则可求出使 最小化的 （ ）11111( - )( - ) ( - )cccHcAAp x sALx sx sA最大化（ ）求的最大似然估的最小计化。即求使，的或求使。1111111 11 112( - ) ( - )( -) ( -),HHccccwwLx sx swAL AwxA exA ew（ ）再求的最大似然估计。即使 。将代入（， 式，求使其最小化化解的最小得：111 11 1*H1 11 11 1)( -) ( -) =

6、( -)-( -)HcccHcccL Awx A ex A exx A eA ex A e（，111121)-1-HHccHHL AwxxA x exxe xN易证：（，要使其最小化，则：最大化2-1211011() exp(-)NHnexx njw nNN( )x n可 以 看 出 ， 此 即的 周 期 图 。最 大 化最 大 化对于复高斯白噪声中的单个复正弦信号由此得证：所周对期图应的最大值的频率。其频率的最大似然解1111-1111101113A1 exp()=( )exp(-)cNcncAwAAjx njwnNAA（ ）求和 的最大似然估计。将、 的最大似然估计代回：求的模为 ，相位为

7、 。-11101( )exp(-)NnAx njwnN即得：-1101-110Im( )exp(-) =arctanRe( )exp(-)NnNnx njwnx njwn复白噪声中的多个复正弦信号频率估计1111-4exp()HppciciiiciiiLxA exA eAAj （ ）与单个复正弦波情况相似求正弦波参数的最大似然估计使以下函数最小化（b）复白噪声中存在多个复正弦信号1,exp,exp( (-1)Tiiiejwj Nw 其中：12,TpEe ee12,TccccpAAAA12=,Tpw ww(4)则式可写成以下形式： )-5HTTcccL Ax E Ax E A （ ，（ ）E假设

8、是已知矩阵，求上式的最小化。-1*6TcAE EE x解得：（ ）如果各正弦波的频率用周期图能进行分辩=复白噪声中多个复正弦信号的频率最大似然估计对应于周期图中最大值所在的频率再求得频率的最大似然估计，最后求得正弦波其余参数的最大似然估计。在各正弦波频率很相近的情况它可避免最大似然估计遇到的困难根据周期图谱峰的位置来估计正弦波频率是一种最简便的办法周期图无法分辨它们AR必须选用频率分辩率更高的谱估计方法，例如：谱估计等方法。()AR pp把谱估计的 个谱峰的频率位置作为频率估计结果AR利用谱估计来估计正弦频率几种作法：最直接的方法是求预测误差滤波器多项式的根，将其作为估计结果。另一种方法、AR

9、谱估计对白噪声中的正弦信号谱估计AR信噪比对谱估计的结果有很大影响a)（当信噪比很高时AR采用谱估计和多项式求根的方法得到的频率估计是无偏估计且其方差接近于极限（1）信噪比对AR谱估计的影响估计性能会较差(b)对于低信噪比表现在出现了偏倚和有大的方差。噪声会使谱峰展宽从而导致分辨率下降且会使谱峰偏离正确位置c（ ）对于白噪声中含有两个幅度相等的正弦信号所构成的过程AR谱估计的分辨率随信噪比的下降而下降在信噪比低的情况AR谱估计已经不再优于周期图分辨率下降的原因：AR是谱估计中所假设的全极点模型，在观察噪声较大时已经不再合适。( )( ,)AR pARMA p p此时模型已经变成了一个既有极点也

10、有零点的模型d（ ）结论：有噪声存在的情况下根据已知自相关函数所估计的预测误差滤波器零点的位置并不真的在正确的频率位置上。为减轻信噪比对估计性能的影响RA增加模型的阶AR能得到较准确的模型参数从而减小谱估计的偏倚。（2）改进信噪比对AR谱估计的影响或对数据进行滤波以减少噪声的方法等。但是，却会使方差有所加大严重时会导致产生虚假谱峰，出现错误的频率估计ARMA另也可以采用谱估计方法二、Capon谱估计方法-最小方差功率谱估计（MVSE）设计一种有限冲激响应（FIR）的数字滤波器保证滤波器输入过程的某个频率成分完全通过且使滤波器输出功率最小。将这时滤波器输出功率作为输入过程在这个频率上的功率谱估计

11、。这种滤波器可以使频率特性旁瓣最小，因此用它作功率谱估计可以取得较好的效果。* ( ) 1,2,-1,wiiNNFIR假设为阶滤波器的冲激响应函数( )x n 为一零均值的平稳随机过程-1*0( )( )( ) ()NHiy ny nw i x niWX经过有限冲激响应滤波器的输出为(0),(1),(-1)TWwww N式中：为滤波器系数矢量；( ), (1), (-1)TXx nx nx nN为输入信号矢量2( )()( )=HHHxHxy nEy nE WXX WWWE XX的平均功率 即方差 为：式中为输入信号的自相关矩阵( )x n估计的功率谱估计在各个频率点上的平均功率( )x n方

12、法：对进行傅里叶分解，变成许多正弦分量的线性组合，iiww估计某个频率上的功率谱值，就相当于一个频率的复正弦输入到上述有限冲激响应滤波器的情况。 ( )exp()ix nAjw n复正弦可表示为：exp() 1,exp(),exp( (-1)( )= 1,exp(),exp( (-1)TiiiTiiXAjw njwj Nwx n eejwj Nw则输入信号矢量为：( )= ( )HHy nWXx n We则 输 出 为 ：=112iHHHwWeWee WI为 了 使 复 正 弦完 全 通 过 ， 必 须 有 （ ）或 （ ）由于实际信号总包含有噪声，在满足上式的条件下，求滤波器系数矢量，2(

13、)E y n使滤波器输出平均功率最小。这是一个条件极值问题。-1-1=6xHxeWee（ ）W可计算出滤波器系数矢量：iw由此构成的滤波器，可使频率 信号分量全通过，且此时输出功率最小。2-1min1( )=7HxHxE y nWWee输出平均功率为：（ ）( )ix nw为输入过程在 频率上的功率谱估计。-1Capon1()=8caponiHxxxPwee方法的功率谱估计表达式为：（ ）式中：为自相关矩阵的估计。(1)Capon( )Caponx n功率谱估计的傅里叶反变换不等于的自相关函数，所以谱估计不收敛于谱的真实值。2、讨论2CaponAR（ ）谱估计与谱估计的关系()011=()()

14、pmmcaponARPwPwCapon0 ARp谱估计为阶谱估计的调和均值AR其谱分辨率要低于谱估计的分辨率由于平均的结果，估计的方差反而要小一些。分别对两个实正弦加白噪的过程进行谱估计：( )5.23cos(0.3) 10.66cos(0.4)( )xxmmmm其自相关函数为：例子BTARCapon画出、三种方法的结果。CaponARBT从图可见，谱估计的分辨率低于谱估计，但高于法谱估计。(3)C apon谱 估 计 方 法 常 被 称 为最 大 似 然 估 计 或 最 小 方 差 估 计 。-11()=caponHxPwee 利用式：(a)对单个正弦信号加白噪声过程进行估计估计结果与最大似

15、然估计相一致，且是同类方法中估计方差最小的。(b)如果输入过程是一般的平稳随机过程Capon这种估计既不具有最大似然性质，也不具有最小方差性质，所以称为最大似然估计或最小方差估计都不恰当，还是称为谱估计比较合适。Capon(Robust)方法的优点是：它无需模型阶的先验知识，就能直接给出信号功率的估计值。更重要的是它的适应性较好，在人为干扰环境下能较好地工作。三、特征分解频率估计在低噪比情况下AR谱估计的频率分辨率不高因而它不宜用于频率估计这时常采用特征分解技术。、特征分解技术思想自相关矩阵中的信息空间分成两个子空间：信号子空间噪声子空间两个子空间中矢量的某些函数在正弦波频率上有尖锐的峰，据此

16、可估计正弦波的频率。但这些函数并不是功率谱它们并不反映随机过程的功率它们的逆变换也不是自相关函数。( )w np设加性复白噪声中有 个复正弦信号它们构成了一个平稳随机过程.( )exp(),1,2,iiiis nAjwnip2( ).ww n的均值为零，方差为1( )exp()+ ( ) (1) 0,1,-1piiiiNx nAjwnw nnN一次实现的 个取样数据为：2、推导出信号子空间( )iiss nN令 是由正弦波的个取样值构成的矢量(0),(0),(-1)Tiiiissss N( )exp()iiiis nAjw n将代入上式，得到1,exp(),exp( 2),exp( (-1)T

17、iiiiejwj wj Nw称为信号矢量。 (2)iciisA e: =exp():ciiiAA式中是正弦波的复振幅( )(0), (1), (-1)Tww nNwwww N式中， 是由白噪声的 个取样值构成的矢量，( )(0), (1), (-1)Txx nNxxxx N令 是由的个取样数据构成的矢量1 (3)pciiixA ew写成矢量形式：21 (4)pHHxiiiwixExxPe eI求出 的自相关矩阵为：2wIwIN是白噪声矢量 的自相关矩阵这里 是阶单位矩阵2 iiiPiPA式中， 是第 个复正弦波的功率NNpN它们是阶的矩阵，相应的秩分别为 和。x数据自相关矩阵可分解为：sw信号

18、自相关矩阵与噪声自相关矩阵之和s12=+ (5) (6)=xwpHsiiiiwwPe eI即：12-,ppNN P其余个零特征值对应的特征矢量则为：-sp NNP由于的秩，它有个零特征值1 (7)spHsiiii 式的特征分解可写成：1212,pp 特征矢量称为主特征矢量，对应的特征值为。12,pe ee与信号矢量张成的子空间12,p 主特征矢量张成的子空间相同（1）结论1:j任何主特征矢量12,pe ee可表示成信号矢量的线性组合 HijiijiPe其 中 :1, (1,2,) (8)pjjiiiejp即：y设 是主特征矢量张成的子空间中的任一矢量，有：1111pppMjiHHijjjijj

19、ijiijjja PPyaeeee y即： 可以表示成信号矢量的线性组合。1pjjjya称主特征矢量张成的空间叫信号子空间。反之，可将信号矢量张成的子空间中的任何矢量表示成主特征矢量的线性组合。主特征矢量与信号矢量张成相同的子空间（2）结论2i由于特征向量是正交的1 (11)NHiiiI 3、推导出噪声子空间1s2=+ =pHsiiiixwwwI ，1221121 = 2) (1pNNHwiiipHHxiiiwiiiipHiwiii 1212,pppN 看出：由主特征矢量张成的信号子空间由特征矢量张成的噪声子空间1222212,pwwMw 主特征矢量张成的信号子空间对应的特征值为：， ，122

20、,ppNw特征矢量张成的噪声子空间对应的特征值为：有相同的特征值。因此噪声子空间与信号向量正交根据特征矢量之间正交性可知信号子空间与噪声子空间正交由于信号子空间与信号向量张成的空间相同1212: ,ppNpe ee即结论可用两种方式改善其频率估计。()一种称为：信号子空间 主分量频率估计。另一种称为：噪声子空间频率估计。2121 pHxiwiiiNHwiiip 由下式表示了自相关特征分解：4、特征分解频率估计的方法信号子空间方法只保留信号子空间的信息x构造对的一种低秩逼近可有效地增强信噪比它略去了噪声子空间中噪声功率的作用（1）信号子空间方法噪声子空间方法ie主特征向量与信号向量张成同一个信号

21、子空间信号向量与噪声子空间内的所有向量包括它们的线性组合均为正交，它构成噪声子空间频率估计的基础。（2）噪声子空间方法如 果 忽 略 噪 声 的 影 响sx只保留信号子空间中特征的信息或者说用降秩逼近能 有 效 地 提 高 信 噪 比5、信号子空间频率估计2121 pHxiwiiiNHwiiip 由式子：Yule-Walker作为方程的自相关函数矩阵的估计AR. a就可解出更精确的模型参数1= pHxxsiiiix 用下式近似：20- ( ) (14)pxxixxwiarai和-xNp将置构个小特征成一个的值零降秩阵，AR估计出系数矢量。x它与直接对求逆处理所得的结果是完全一致的。-xxpNp

22、AR阶大特上式表明：当精确已知时，系数矢量与的对应的特征征矢量，而与个小特征值有关矢量无关。21 = - (16)Hpiixiiwra 解得：x在实际应用中常常不是精确已知的xa来估计系数矢量 ，可以减少噪利用声的降秩阵的影响。21 - Hpiixiiwra 2w降秩阵内的大特征值中包含有噪声的分量2w在降秩处理时在大特征值上减去的估计值可以获得更好的估计性能。 (1)nxx根据已知数据序列，估计其自相关矩阵xNNN为矩阵，大于所要估计的正弦个数。（2）信号子空间频率估计的步骤(2)x对进行特征值分析：1 =pHxiiii 1211(3),ppNpp设保留 个大特征值，即。21-pNwNp再用

23、剩下的个小特征值来估计。211 =-NwiipNp(4)进行噪声补偿2-,10,iwiippiN (5)p构成新的秩为 的降秩矩阵。211 -pNHHpiiiiwiiii (6)AR求系数(7)ARAR将系数代入谱估计公式根据谱峰位置可确定正弦波频率#211 -(17)-pHp xiixiiwarr #211 -pHp xiixiiwarr 式子：N看出：不管模型的阶增加到多高，p都只用 个特征值和特征矢量来估计模型参数。AR但在常规的谱估计中，由于存在不稳定的噪声特征矢量，虚假谱峰一般不易避免。这 做 到 既 增 加 模 型 的 阶 ，而 又 不 产 生 虚 假 谱 峰 。12,()pe e

24、e信号矢量与噪声子空间中的所有矢量包括任何线性组合 是正交的。10,1,2,NHikkkpea vip即：这一性质奠定噪声子空间频率估计的基础。6、噪声子空间频率估计Pisarenoko法噪声子空间频率估计的两种主要方法：M USIC法Pisarenoko(PHDPisarenko Harmonic Decomposition)谐波分解，方法是一种以谐波信号为特定对象的谱估计方法，它将谐波频率的估计转化为信号相关矩阵的特征值分解。是应用特征分析进行功率谱估计与谐波恢复的最早方法之一（1）Pisarenoko法（皮萨伦科谱分析法）- ,i 其中假设初始相位是在内均匀分布的独立随机变量。p考虑由

25、个实正弦波组成的确定性过程1( )sin()piiiix nAw n( )x n推导满足的差分方程( )-2cos( ) ( -1)+ ( -2)=0 x nw x nx n得到二阶差分方程式：先考虑单个正弦波的情况( )sin()x nwn即sin()sin-22cos( )sin-1( )wnw nww nx n将三角函数恒等式中的正弦函数换成后 z=jwe上述方程的解为：-1-2z1- 2 cos()0w zz两边取 变换得：因此，可利用特征多项式的根来决定正弦波频率。20( ) ( )( - )0piix nx na x n i上式的差分方程为：同理p如 个实正弦波没有重复频率的话2*

26、2-01( -)( -)0 (18)ppp iiiiiipzzzza z则这 个频率应该由特征多项式：的根决定。( )x n以的差分方程代入上式，得：( )( )( )y nx nw n考虑白噪声中的正弦波过程：2( )ww n其中是零均值、方差为的高斯白噪声(2 ,2 )ARMAARMApp表明：观测过程是一个特殊的过程，且该过程的参数与参数相同。2201( )( - )( )( - ) (19)ppiiiiy na y n iw na w n i2( ),(-1),(- 2)1,( ),(-1),(- 2)( ),(-1),(- 2)TTpTTyy ny ny npaaaww nw nw

27、npxx nx nx np令 ：AR求解参数TTyEyyaEywa用观测数据向量 左乘上式两边，并取数学期望，得： TTy aw a将上式写成矩阵形式：2()TTTwEywExw wEwwI(0)(-1)(-2)(1)(0)(-21)(2)(2-1)(0)yyyyyyTyyyyppEyypp2 = (20)ywaa2 yxxwI正弦波的个数由单位模的共轭特征根对的个数决定上式表明：2wy是协方矩阵的最小特征值a是该特征值对应的特征向量ARya系数向量 可以利用的特征值分解求出22-001,2,3,2ipp iiijwia zzeiP计算特征方程的根:即可估计出正弦波频率Pisarenko由于谐

28、波分解法利用了最小特征值对应的特征向量，因此其本质是一种噪声子空间分析方法。例15(0)4,(1)1.659439- 1.809017,(2)-2.160576- 0.9510564,(3)-2.935286- 0.690832,(4)-1.083864+ 0.5877854Pisarenkoxxxxxxxxxxjjjj给定一个复自相关序列的前 个值：试用谐波分解算法求该自相关序列所包含的正弦信号的频率、幅度及所包含的噪声功率，并研究噪声对算法的影响。解：*15(0)(1)(2)(3)(4)(1)(0)(1)(2)(3)=(2)(1)(0)(1)(2)(3)(2)(1)(0)(1)(4)(3)

29、(2)(1)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（ ）根据给定自相关序列的前 个值列出自相关矩阵：123455:=13.10754,=5.10701,=1.784371,0.002388,0,(0)-0.0403920.2138813,(1)0.4538679 -0.2819374,(2)0.5734487 -0.07360017,(3)0.51037860.1581602,(4)-0ajajajaja对该矩阵作特征分解，求出 个特征值及最小的特征值所对应的特征向量分别是.09304213- 1.967916,j44

30、-432012341234123+=04 0.15,0.16,-0.16,0.25exp()e(0 xp()exp()exp()exp()(2 )exp( 2)exp( 2)exp( 21)(2)(1)iiiazzzzzfffaafjwjwjwjwj wj wj wjawa解此多项式得到 个根，它们都在单位圆上，对应的归一化频率分别是：由上四个特征向量构成四阶多再利项用式：14212343123441234(1)(2)exp( 3 )exp( 3)exp( 3)exp( 3)(3)exp( 4 )exp( 4)exp( 4)exp( 4)(4)= = = =141xxxxxxxxAAj wj

31、wj wj wAj wj wj wj wAA A A A求得：即这 个复正弦的幅度及功率都是 。例1Pisarenko假设观测数据由白噪声加上具有随机相位的两个不同频率复正弦信号组成，写出由它的三个自相关函数组成的自相关矩阵，并利用谱分析法确定复正弦信号的频率。解111222()()nnyA ex j wnA ex j w n观测数据的表达式为：221122( ,)( )exp,0,1,2,1,2yyiiiin nmmpjwn mpAi 其观测数据的自相关函数为：式中，。为白噪声的方差。1122121212121212212- 2- 22121212-2121212222121212=HHyw

32、wwwjwjwj wj wjwjwjwjwj wj wjwjwIp P Pp P Ppppep epep epep epppep epep epep epp因此，它的自相关函数矩阵为12122min012Pisarenko=1:= -jwjwjwjwaaaeeaee由法知，最小特征值与其对应的特征向量121212-1-2-1-2012-1-1( )( )=1-= 1-1-jwjwjwjwjwjwA zA zaa za zeezeezezez特征多项式为121212,jwjwzezeww根为：确定两个复正弦信号的频率为和。MUSIC(Multiple Signal Classification)多重信号分类算法是一种估计信号空间参数的现代谱估计方法，它将功率谱推广为空间谱，是最早问世的子空间方法。该算法的基础是：10,1,2,NHikkkpea vip的正交关系的应用（2）MUSIC法211() (21)musicNHiip