复变函数42幂级数

1、1 幂级数的定义幂级数的定义： 20120()()()nnnczacc zacza 4 4. .3 3 形式的复函数项级数称为幂级数形式的复函数项级数称为幂级数,其中其中 c0,c1,c2 ,a都是复常数都是复常数.20121.nnnc zcc zc z 幂级数是最简单的解析函数项级数幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清为了搞清楚它的敛散性楚它的敛散性,先建立以下的先建立以下的阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理.4.2.1 幂级数的敛散性幂级数的敛散性具有具有若令若令zz-a,则以上幂级数还可以写成如下形式则以上幂级数还可以写成如下形式 定理定理4.10：如果幂级数如果幂级数(4.3)在某点

2、在某点z1(a)收敛收敛,则它必在圆则它必在圆K:|z-a|z1-a|(即以即以a为圆心为圆心圆周通过圆周通过z1的圆的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛内绝对收敛且内闭一致收敛.证证:设设z是所述圆内任意点是所述圆内任意点.因为因为1|() |nnczaM(n=0,1,2,),111|() | |() () |nnnnnnzazaczaczaMzaza 注意到注意到|z-a|z1-a|, 故级数故级数11nnzaMza a 10nnncza 收敛收敛,它的各项必然有界它的各项必然有界,即有正数即有正数M,使使收敛收敛z1111|() | |()|nnnnnnzazaczaczaMzaza 其次其次

3、,对对K内任一闭圆内任一闭圆0()nnncza 0()nnncza在圆在圆 K 上有收敛的优级数上有收敛的优级数因而它在因而它在 K 上一致收敛上一致收敛.再由定理再由定理4.8,此级数此级数必在圆必在圆K内内闭一致收敛内内闭一致收敛.01()|nnMza 在圆在圆K内绝对收敛内绝对收敛. 1:Kz aoza 上的一切点来说上的一切点来说,有有: a1()|nMza 推论推论4.11 若幂级数若幂级数(4.3)在某点在某点z2(a)发散发散,则它在以则它在以a为圆心并且通过点为圆心并且通过点z2的圆周的圆周外部发散外部发散. az1z2 其敛散性有以下三种情况其敛散性有以下三种情况:(1) 对

4、所有的复数对所有的复数z都收敛都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛. .2.幂级数的敛散性讨论幂级数的敛散性讨论对于一个幂级数对于一个幂级数, 首先它在首先它在z=a点处总是收敛的，点处总是收敛的，例如例如, 级数级数 nnnzzz2221对任意固定的对任意固定的z, 从某个从某个n开始开始, 总有总有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.(2) 除除 z=a 外都发散外都发散.此时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.例如例如,级数级数 nnznzz222

5、1, 0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零, 故级数发散故级数发散. (3)存在一点存在一点z1a,使级数收敛使级数收敛(此时此时,根据定理根据定理4.10的第一部分知的第一部分知,它必在圆周它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对内部绝对收敛收敛),另外又存在一点另外又存在一点z2,使使发散发散.(肯定肯定|z2-a|z1-a|);根据推论根据推论4.11知知,它必在它必在圆周圆周|z-a|=|z2-a|外部发散外部发散.)在这种情况下在这种情况下,可以证明可以证明,存在一个有限正数存在一个有限正数R,使得级数使得级数(4.3)在圆周在圆周|z-a|=R内部绝对收敛内部绝对收敛,在在圆

6、周圆周|z-a|=R外部发散外部发散.R称为此幂级数的称为此幂级数的收敛半收敛半径径;圆圆|z-a|R和圆周和圆周|z-a|=R分别称为它的分别称为它的收敛收敛圆圆和和收敛圆周收敛圆周.在第一情形约定在第一情形约定R=0;在第二情在第二情形形,约定约定R=+,并也称它们为收敛半径并也称它们为收敛半径.xyo1z.2z.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以的收敛范围是以a点为中心的圆域点为中心的圆域.收敛圆周收敛圆周答案答案:. 为中心的圆域为中心的圆域是以是以az 幂级数幂级数 0)(nnnazc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1: 在收敛圆周上

7、是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一不能作出一般的结论般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如例如, 级数级数: 0200nnnnnnnznzz1, 1 zR收收敛敛圆圆周周均均为为收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;,1在在其其它它点点都都收收敛敛发发散散在在点点 z在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛. 一个幂级数在其圆周上的敛散性有如下三种一个幂级数在其圆周上的敛散性有如下三种可能可能: (1)处处发散处处发散; (2)既有收敛点既有收敛点,又有发散点又有

8、发散点; (3)处处收敛处处收敛.定理定理4.12 如果幂级数如果幂级数(4.3)的系数的系数cn合于合于1lim,(nnnclD Alembertc 达达朗朗贝贝尔尔）lim|,()nnncl 柯柯西西C Ca au uc ch hy y或或lim,(-)nnnclCauchy Hadamard 柯柯西西阿阿达达玛玛或或4.2.2幂级数的收敛半径的求法幂级数的收敛半径的求法则幂级数则幂级数 的收敛半径为的收敛半径为:0()nnncza (4.4)定理定理4.13 (1) 幂级数幂级数0( )()nnnf zcza (4.5)的和函数的和函数f(z)在其收敛圆在其收敛圆K:|z-a|R(0R+

9、)内解析内解析.4.2.3 幂级数的和函数的解析性幂级数的和函数的解析性1000,lllRll (2)在在K内内,幂级数幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶可以逐项求导至任意阶,即：即：( )1( )!(1)2()pppfzp cppcz a (1)(1)()n pnn nnpc za (p=1,2,) (4.6)(3) (p=0,1,2,). (4.7)()( )!ppfacp 证证 由阿贝尔定理由阿贝尔定理(定理定理4.10),幂级数幂级数0()nnncza 在其收敛圆在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内闭一致收内闭一致收敛于敛于f(z),而且各项而且各项 又都在又都在z平平面上解析面上

10、解析.故由维尔斯特拉斯定理故由维尔斯特拉斯定理(定理定理4.9),本定本定理的理的(1)、(2)部分得证部分得证,逐项求逐项求p阶导数阶导数(p=1,2,)后后,即得即得(4.6). 在在(4.6)中令中令z=a,得得注意到注意到 即得即得(4.7).() (0,1,2,)nnczan ()( )(1,2,.)!ppfacpp(0)0( )( )cf afa 4.2.4、典型例题、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数 nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为)1( ,11112 zzzzzzsnnn1 zzsnn 11lim级数级数 0nnz收

11、敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.且有且有.1112 nzzzz收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域, 1 z由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内, 级数绝对收敛级数绝对收敛, 收敛半径为收敛半径为1,例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1) 13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2) 1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0 z时的情形时的情形)或或nnnnnnc31limlim 解解 (1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因为因为, 1 . 11lim3 nnn所以收敛半径所以收敛半径, 1 R即

12、原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收敛, 在圆外发散在圆外发散, 收敛的收敛的p级数级数 ).13( p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1 z上上, 级数级数 13131nnnnnz说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当 z原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数, 收敛收敛.,2时时当当 z发散发散.原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，(2)1limlim1 nnccnnnn,1 . 1 R即即incncos 因为因为nnnnnnnn

13、eeeecc 111limlim 所以所以故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解),(21coshnneen , e 解解)4sin4(cos21 ii因因为为nnic)1( 所以所以nnncc1lim .2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie ;)2(4inne nnn)2()2(lim1 . 2 例例5 把函数把函数bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的幂的幂级数级数, 其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数 .解解把函数把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式: bz

14、1)()(1abaz abazab 111代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 时，时，当当1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 设设,时时那那末末当当Raz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 例例6 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为. 1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzz

15、n 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z例例7 求级数求级数 01)12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11 nnnnnncc因因为为.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例8 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和和函函数数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,11

16、1zz cczzzzd11d1.2 i 五、小结与思考五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上z确定确定, 可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论数敛散性讨论.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .阿贝尔资料Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavang

17、er), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, NorwayNiels Abel非凡的数学家阿贝尔阿贝尔（阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威数学）挪威数学家。家。18021802年年8 8月月5 5日生于芬岛，日生于芬岛，18291829年年4 4月月6 6日卒于日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在亲还是在18151815年把阿

18、贝尔送进克里斯蒂安尼亚的年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，一所中学里读书，1515岁时优秀的数学教师洪堡岁时优秀的数学教师洪堡（Bernt Michael Holmbo 1795-1850Bernt Michael Holmbo 1795-1850）发现了阿）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。学产生了浓厚的兴趣。1616岁时阿贝尔写了一篇解岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根（方程的论文。丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Carl Ferdinand Degen 1766-1825D

19、egen 1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的）看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：研究，于是他给阿贝尔回信写到：“. .与其着手解决与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功是很好的题目，相信你会取得成功.”.”。于是阿贝尔。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。开始转向对椭圆函数的研究。阿贝尔阿贝尔18

20、18岁时，父亲去世了，这使生活变得更岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。加贫困。18211821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克克里斯蒂安尼亚大学。里斯蒂安尼亚大学。18231823年，他发表了第一篇论文，年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的是关于用积分方程求解古老的“等时线等时线”问题的。问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。的先河。18241824年，他解决了用根式求解五次方程的年，他解决了用根式求解五次方程的不不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但可能性问题。这一

21、论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。是高斯连信都未开封。 1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物纯粹与应用纯粹与应用数学杂志数学杂志。这个杂志头三卷发表了阿贝尔。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他

22、人，但这些会面也是虚应故让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的关于一类极广泛的超越函数的一一般性质般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪洪堡的信中，非常自信地说：堡的信中，非常自信地说：“.已确定在下个月的科已确定在下个月的科

23、学院例会上宣读我的论文学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅由柯西审阅,恐怕还没有来恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待在正昂首以待.。” 可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于下离

24、开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年年5月月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（Christine Kemp）欢）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师。阿贝尔和雅可比（当过代课教师。阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始）是公认的椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外