第3章 理想流体动力基本方程

1、2022-5-8工程流体力学第3章1第三章 理想流体动力学基本方程n理想流体：不计粘性切应力的运动流体n本章研究理想流体运动的基本规律2022-5-8工程流体力学第3章2n思考1为什么河道窄的地方流速较大？2022-5-8工程流体力学第3章3高楼的水压为什么较低？思考22022-5-8工程流体力学第3章4思考3自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么不能爬上几十米的岸边山坡？2022-5-8工程流体力学第3章53-1 描述流体运动的两种方法n描述流体运动的方法有两种：拉格朗日法和欧拉法。 n拉格朗日法：研究每个流体质点的运动情况。并给出其运动轨迹。n质点的位置是时间的函数，某质点的轨迹为：x=x

2、(t), y=y(t), z=z(t)tzvtyvtxvzyx,222222,tzatyatxazyx速度：加速度：2022-5-8工程流体力学第3章6n 流场有无数个质点，设其中某一质点t=0时的位置为（a,b,c），则对于任意的流体质点：ttcbazvttcbayvttcbaxvzyx),(,),(,),(222222),(,),(,),(ttcbazattcbayattcbaxazyx 轨迹：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t)速度：加速度：2022-5-8工程流体力学第3章7n欧拉法：研究空间某个点的流动参数，并给出这

3、些参数的分布：),(),(),(),(tzyxpptzyxvvtzyxvvtzyxvvzzyyxxn由速度分布求加速度，方法比较复杂。tot01)(limvva2022-5-8工程流体力学第3章8由速度分布求加速度：n设某个质点，t 时刻位于（x, y, z,），速度为),(0tzyxv),(1ttzzyyxxvzzyyxxttvvvvvv01t+t 时刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t),速度为v0和v1的关系为2022-5-8工程流体力学第3章9n加速度:tot01)(limvvazzyyxxttvvvvvv01wtztyutxttt00lim,lim,limzwyvxutvvv

4、van而n注意到n因此2022-5-8工程流体力学第3章10n加速度的投影式：一元流动：xuutua一元恒定流动：dxduua zvvyvvxvvtvazvvyvvxvvtvazvvyvvxvvtvazvyvxvtzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxxzyxvvvva2022-5-8工程流体力学第3章113-2 流线、流管n1迹线和流线 流线:在固定时刻t，设有某曲线，该曲线上每一点的切线都与该点的流体速度方向相同，此曲线称为 流线流线.迹线：质点的轨迹2022-5-8工程流体力学第3章12流线的微分方程n设流线微段为:kjivzyxvvvvdzdydxdkjiszyxvdzvdyv

5、dx该点的流体速度为:因为v/ds,因此,两矢量的分量成比例:2022-5-8工程流体力学第3章132)4(xdyydxcyx22)4(21)2(21流线过点（0，0） c=10流线方程为 (x+2)2+(y+4)2=20n解: t=2时， vx=(y+4)， vy =x+2, vz =0，n流线方程 ndz =0n例3-1 已知vx=(y+t2)， vy =x+t, vz =0，求t=2，经过点（0，0）的流线2022-5-8工程流体力学第3章14流线和迹线的区别n图示为t时刻经过点0的流线,以及t时刻经过点0的迹线.显然,定常流动的迹线和流线重合2022-5-8工程流体力学第3章15n2流

6、管和流束的概念n流管:在一条封闭曲线上的每一点作流线,这些流线所围成的管状面称为流管。n流束:流管内的运动流体称为流束。2022-5-8工程流体力学第3章163流量n对曲面A：AndAvQAnmdAvQ 质量流量：单位时间内通过面积A的流体体积。 体积流量：单位时间内通过面积A的流体体积。2022-5-8工程流体力学第3章173-3 连续性方程:系统和控制体的概念)()()(tVdVttm0)()(lim0ttmttmdtdmtn质量守恒:系统的质量在任何时刻都相等：n系统的流体质量为2022-5-8工程流体力学第3章18系统与控制体n系统：包含固定质量的流体质点的总和。n控制体：固定在空间中

7、形状不变的体积。n系统随着其他流体一起运动。控制体则固定不动。流体不断的流经控制体。2022-5-8工程流体力学第3章192022-5-8船舶流体力学第三章19n质量守恒定理：加入空间体积V的质量，等于体积内由于密度变化引起的质量增加，以及从该体积的表面上流出的质量之和。VAnVdAvdVtdVdtd2022-5-8工程流体力学第3章202022-5-8船舶流体力学第三章20n质量守恒定理：如果空间体积V内没有质量源，则体积内由于密度变化引起的质量增加，以及从该体积的表面上流出的质量之和等于零。0VAndAvdVt2022-5-8工程流体力学第3章21n质量守恒定理：对于不可压缩流体，从某控制

8、体体积V的表面上流出的质量之和等于零。0AndAv2022-5-8工程流体力学第3章222022-5-8船舶流体力学第三章22n如果流动定常：1212AAdAvdAvn速度分布均匀：222111AvAvn流体不可压缩：2211AvAv2022-5-8工程流体力学第3章23ttMttMatdMt)()(lim0)()()()()()(tttdtdtttMttM)()()()()(ttdtdttdttdAtvttdtttdttdtttntAt)()()()()()()()(2022-5-8工程流体力学第3章24dAvdVtpdVdtddtdMAnVVn控制体的概念：一个空间固定体称为控制体n在这里

9、,我们选取t时刻系统的体积V和面积A为控制体的体积和面积。n因此：2022-5-8工程流体力学第3章25n选控制体，表面为A，体积为（与t时刻系统的表面积、体积相同），则对控制体来说，体积分d的时间变化率等于控制体内因密度变化引起的质量增量加上控制体表面上的质量通量.AndAvdtddtd对于一般物理量（如动量）：dAvdtddtddtdMAn2022-5-8工程流体力学第3章26n由于质量守恒，因此：0AndAvdt0AndAv此方程称为积分形式的连续性方程定常流动:一元流动：1v1A1=2v2A2不可压缩的一元流动：v1A1=v2A22022-5-8工程流体力学第3章270AndAvdtn

10、二元流动，取控制体，长dx, dy, 设控制体中心点速度为vx， vy ，密度为。dxdytdt第一项为:n微分形式连续性方程：2022-5-8工程流体力学第3章282022-5-8工程流体力学第3章29n考虑第二项:dydxxvvdxxxx)2)(2(dxdyxu)(左侧面流入质量 右侧面流出质量x方向纯流出的质量为:dydxxvvdxxxx)2)(2(dydxxvvdxxxx)2)(2(dydxxvvdxxxx)2)(2(2022-5-8工程流体力学第3章30微分形式连续性方程同理, y方向纯流出的质量为:dxdyyvy)(0)()(dxdyyvdxdyxvdxdytyx因此即三元流动：0

11、)()(yvxvtyx0)()()(zvyvxvtzyx2022-5-8工程流体力学第3章31微分形式连续性方程定常流动:如果流体不可压缩=常数时（不可压）：0)()()(zvyvxvzyx0zvyvxvzyx2022-5-8工程流体力学第3章32cossin,sincosyxyxrvvvvvv0)()(1vrrvrtprcossin,sincosvvvvvvryrxn极坐标的连续性方程n极坐标形式的连续性方程：n极坐标和直角坐标的速度关系2022-5-8工程流体力学第3章33作业n3-1n3-42022-5-8工程流体力学第3章343-4 动量方程和运动方程Fv )(mdtdFvdVdtdA

12、ndAvdVtFvv)(n系统的动量方程n质点的动量方程n对于控制体，不计粘性力影响,则有动量方程2022-5-8工程流体力学第3章35x方向的运动方程: m ax=Fxdxdydzax()()22xp dxp dxf dxdydzpdydzpdydzxx1xxpafxyypafyzzpafzn运动微分方程：n取一个流体的长方体，边长为dx，dy，dz。设长方体中心的压强为p，则各个面的压强如图示。n简化后得到：n同理得到：2022-5-8工程流体力学第3章362022-5-8工程流体力学第3章373-5 伯努利方程n考察理想流体沿流线 s 的运动方程spfass1suutuas)2(2uss

13、uuasn加速度：n如果流动定常：2022-5-8工程流体力学第3章38伯努利方程)(cosgzsszggfs)(1pssp0)()()2(2psgzsusconstupgz22则n如果流体不可压缩：n如果质量力仅有重力n积分得：2022-5-8工程流体力学第3章39constHgugpz22n或写成：n伯努利方程：流体的位置水头，压力水头，速度水头之和(称为总水头H)沿流线是一个常数。2022-5-8工程流体力学第3章40作业n3-162022-5-8工程流体力学第3章413-6 压强沿流线法向的变化rpfarr1rzggfruarrcos,2)(2pgzrrun径向加速度和质量力为：n设流

14、线某处的曲率半径为r ，沿曲率半径方向的运动方程为：n径向的运动方程改写为：2022-5-8工程流体力学第3章42)(2pgzrru, 0)(pgzr常数gpz缓变流和急变流的概念: 如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处的流动称为缓变流.否则称为急变流.n径向的运动方程的积分为：n当曲率半径无限大时：n这时，沿流线的法线方向，压强分布符合静压分布规律。2022-5-8工程流体力学第3章433-7 总流的伯努利方程gugpzgugpz2222222111 不可压缩连续方程u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2n总流是全部流束的总体：n研究总流在截面11和22的部份，取某一流束，速度和截面积

15、分别为：u1, dA1和u2 ，dAu2 。n伯努利方程：2022-5-8工程流体力学第3章44总流的伯努利方程222222112111)2()2(21dAugugpzdAugugpzAAn设两截面处在缓变流中，在1-1和2-2截面上，z+p/g=常数，则AQgpzdQgpz)()(AvgvudAguA2222n令：n式中，v为断面平均速度。2022-5-8工程流体力学第3章45dAVuAA3)(1n对圆管层流，=2，工程上的管流为紊流，1222222121111)2()2(QgVgpzQgVgpzgVgpzgVgpzQQ22222222111121z, p 通常在截面中心取值。n称为动能修正

16、系数：2022-5-8工程流体力学第3章463-8 伯努利方程应用举例n一、小孔定常出流gvgpzgpzaa221110hzz101, 1ghv21对00和11：n对断面0-0和1-1应用总流伯努利方程：2022-5-8工程流体力学第3章47二、 毕托管的测速原理n考察图示的测压管和总压管。gvgpzgvgpz2221112000ghgppgvvzz220,101010沿流线的伯努利方程：n使用的毕托管将测压管和总压管套在一起。2022-5-8工程流体力学第3章48gvgpzgvgpz222222221111)()(12)(212142212212211gppzzDdgvDdAAvvAvAvn

17、三、文丘里流量计n文丘里流量计由收缩段、喉部、扩散段组成。使用时接于管道中。n对截面1和2应用总流伯努利方程：2022-5-8工程流体力学第3章49n如果用水银压差计测压差则有：hzzzzgppzzgzzgpzzgp) 1/)(1/()()()()(,342121344223114,222)/(1) 1/(24DdhgdVAQ为流量系数2022-5-8工程流体力学第3章50作业n3-11n3-122022-5-8工程流体力学第3章513-9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程n 采用动坐标，离心惯性力属质量力spfass1)2(.2ussuuas沿动坐标的一条流线s:加速度:2022-5-8工程流

18、体力学第3章52n不计重力,质量力为惯性力dsdrrrfs22cos0)22(222rupdsdgRRgugpgugpgRRguugpp2)(2202)(2:2122221122221222212212积分得2022-5-8工程流体力学第3章533-10 非定常的伯努利方程spgzssuutu1)(0)2(2upgzstu2102)(21211212ssuuppzzgdstu或n沿流线从1到2点积分n非定常一元流动的运动方程：2022-5-8工程流体力学第3章542102)(21221212ssuuppzzgdstu022ughldtdu即1. 旁管非定常流出流utdtlughdu00212)

19、22(2tlghthghun容器的旁管打开瞬间，出流速度从零开始增加，容器内速度视为零，水深 h 可视常数。2022-5-8工程流体力学第3章552. U形管中的液体振荡0)sin()sin(xgxgdtdul2102)(21221212ssuuppzzgdstu2l)sin(sing,dtdxu令0222xdtxdn设U形管的液柱之长为l。n初始时，液面在虚线上。振荡时，左液面向下位移x，右液面向上位移x。2022-5-8工程流体力学第3章56102021010102)(uuppzzgdstu4422DVdun例 习题3-21n水库的出水管设有调压井，已知水管长度l、水管直径d、调压井原水深

20、h、调压井直径D，求调压井水面的振荡周期。n解：振荡时，水库内的流速很小，忽略不计。调压井水面偏离平衡水面的高度y远小于调压井水深h。2022-5-8工程流体力学第3章57n其解为 y=y0sint02)(222VgydtdvdDlh2222,2dDlhgdtdyVV令且忽略0222ydtydn振荡方程及其解：0202Vgydtdvhdtdul2022-5-8工程流体力学第3章58作业n3-202022-5-8工程流体力学第3章593.11 动量方程、动量矩方程1212AAdQdQFuun1. 定常流动的总流动量方程n设流体在流道中定常流动，取图示的控制体。n在断面1-1上的点速度为u1 ，平

21、均速度为v1，断面2-2上的点速度为u2 ，平均速度为v2。n总流的伯努利方程为：2022-5-8工程流体力学第3章60Fvv流入流出)()(QQFrrvrv流入流出)()(QQAvQudQAAdAvuAdQvuQ2)(11n断面上的速度u分布很复杂，为此引入断面平均速度v及动量修正系数。n总流的动量方程可表示为：n两边各项对某点取矩得到总流的动量矩方程：2022-5-8工程流体力学第3章612动量方程和动量矩方程的应用n1. 水流对弯管的作用力n分析管壁受力n设为水流对弯管的总作用力力为F，dAppAa00)(nFn弯管对水流的作用力F与水流对弯管的总作用力F，大小相等，方向相反：F=-F。

22、2022-5-8工程流体力学第3章621122222111)()(vvnnFQQAppAppaan动量方程为：sinsin)()cos(cos)()(sinsin)()cos(cos)()(222122211222122211QvAppFQvvQAppAppFQvAppFQvvQAppAppFayaaxayaaxn由x和y方向的投影式求弯管对水流的作用力：2022-5-8工程流体力学第3章63例:求固定弯水管所需外力。gvgpgvgp22222211得 p2-pa=p1-pa+(v12-v22)/2=9387Pan已知:q=0.08 m3/s，d1=0.3m，d2=0.2m, =30,p1-p

23、a=12kPa,求外力F x ，F y。n解:v1=1.13m/s, v2=2.55m/sNQvAppFNQvvQAppAppFayaax5 .249sinsin)(467)cos(cos)()(2221222112022-5-8工程流体力学第3章642水流对喷嘴的合力n已知水管出口的喷嘴两端的直径分别为d1和d2，n截面1的表压强p1-pa。截面2通大气。n求:为固定喷嘴所需的力Fn解：取图示的控制体，22111211)()(AvAvvvQAppFa2022-5-8工程流体力学第3章65)(1 2)(1 2222212221121222212222211AAvppgppAAgvgvvgvgp

24、gvgpaaa121 )()()1 (1 )()1 ()(2121111212211212211AAAAppAppAAvAppAAvAppFaaaan利用伯努利方程和连续性方程求速度：n由动量方程得到：2022-5-8工程流体力学第3章663水流对水坝的合力n水坝长度为b，上下游水深为h1和h2，求水坝给水流的合力F。n解：对图示的截面1-1和2-2之间的水体应用动量定理：bhvbhvQvvQbhhgF2211122221)()(212022-5-8工程流体力学第3章67n利用伯努利方程和连续性方程求速度：213212121212221122221)(212)(21)()(21hhhhgbhh

25、hhhgbhhhgbvvQhhgbF2121211222212212122221222222112)1 ()()(1 2222hhhhhgbhhhbhvvvQhhhhgvgvvgvgphgvgphaa2022-5-8工程流体力学第3章684射流对固定平板的作用力sin)sin(0cos00000002211vQvQFvQvQvQn平面射流冲击倾斜平板。射流冲击平板发生在水平面内。求射流对平板的冲击力。n解：用动量定理求平板对射流的阻挡力。板的阻挡力与水流冲击力大小相等，方向相反。n图示的控制体为三个截面0-0，1-1，2-2之间的水体。2022-5-8工程流体力学第3章69210210210210222221112000222v