大学物理 能量与动量

1、第第1页页 共共32页页 系统变换过程中保持不变的量系统变换过程中保持不变的量 自然界的普遍规律自然界的普遍规律 自然界某种对称性的反映自然界某种对称性的反映结结构构框框图图动能动能机械能守机械能守恒定律恒定律动量守恒动量守恒定律定律动能的时动能的时间变化率间变化率动量动量 势能势能动量的时动量的时间变化率间变化率动量动量定理定理角动量角动量 角动量时角动量时间变化率间变化率角动量角动量定理定理角动量守角动量守恒定律恒定律三三个个守守恒恒定定律律应应用用动能动能定理定理第第2页页 共共32页页动能的时间变化率动能的时间变化率trFtEddddkrFEddk状态改变量状态改变量过程量过程量 迄今

2、，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能达到达到 1019 eV，是其静止能量的，是其静止能量的1010倍。倍。1. 动能动能vvmmvE21212k质点的动能质点的动能质点系的动能质点系的动能2kk21iiiiivmEExyz1r2rcrNr1m2mcmNmO第第3页页 共共32页页iiFF外外外外质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有iiFF0内内内内同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为内力。内力。 内力内力：系统内质点间的：系统内质点间

3、的 相互作用力。相互作用力。 外力外力：系统外的物体对系：系统外的物体对系统内任一质点的作用力。统内任一质点的作用力。1m2m3m12F21F13F31F32F23F外外1F外外3F外外2F第第4页页 共共32页页恒力作功恒力作功sFsFAcos2. 功功力对空间累积力对空间累积：cosdcosdddsFrFrFAzFyFxFrFAzyxddddd直角坐标系：直角坐标系：kFjFiFFzyxkzj yi xrdddd(1) 变力的功变力的功abOFrdsdrrsFFsab第第5页页 共共32页页：rFsFAAbababaddcosdbazyxzFyFxFddd(2) 示功图示功图dAFcoss

4、abOFcos s曲线下的面积表示力曲线下的面积表示力F所作的功的大小所作的功的大小 第第6页页 共共32页页1) (代数量代数量)A总总=A1+A2+A 0 力对物体做功力对物体做功A 0 物体反抗阻力做功物体反抗阻力做功A = 0 力作用点无位移力作用点无位移 力与位移相互垂直力与位移相互垂直 注意：注意：2) 与力作用点的与力作用点的位移位移相关相关与参考系的选择相关与参考系的选择相关mghv地面系地面系 AG0电梯系电梯系 AG = 0第第7页页 共共32页页3)作用力作用力反作用力反作用力力作用点的位移不一定相同力作用点的位移不一定相同质点系内力做功的质点系内力做功的代数和不一定为零

5、代数和不一定为零一对内力的功一对内力的功 2121222211)(rfrrfrfrfA 一对内力所做的功等于其中一个物体所受的力沿两个一对内力所做的功等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功。物体相对移动的路径所做的功。Or1r2r21m1m2系统内力总是成对出现系统内力总是成对出现f1f2r1r2第第8页页 共共32页页什么条件下什么条件下, 一对内力做功为零一对内力做功为零? 作用点无相对位移作用点无相对位移 相互作用力与相对位移垂直相互作用力与相对位移垂直0NNAANCNv0 ffAAvmCff ssM第第9页页 共共32页页解：解：j yFixFF00jyixrj yi

6、 xrdddrFAdC .xyoPrRmF一质点做圆周运动，有一力一质点做圆周运动，有一力 作作用于质点，在质点由原点至用于质点，在质点由原点至P(0,2R)点过程中，力点过程中，力 做做的功的功 A = ？j yi xFF0FRyyFxxF200000dd202RF第第10页页 共共32页页质量为质量为10kg 10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为点的速度为jit1642v解解24ddttxxvttxd4d216ddtyyvty16ttmFxx80ddv0ddtmFyyvyFxFAyxdd J 1200d320213tt在质点从

7、在质点从 y = 16m 到到 y = 32m 的过程中，外力做的功。的过程中，外力做的功。求求例例, ,开始时质点位于坐标原点。开始时质点位于坐标原点。时16y1t时32y2t第第11页页 共共32页页已知已知 m = 2kg , 在在 F = 12t 作用下由静止做直线运动作用下由静止做直线运动解解ttmFdd6vtxtdd32vttxd3d2J144d36203ttW2883122ttxxFA0dtttF02d3v FP例例求求t = 02s内内F 作的功及作的功及t = 2s 时的功率。时的功率。第第12页页 共共32页页m2 . 0m1 . 0000sxMgkx弹簧伸长弹簧伸长 0.

8、1 m物体上升物体上升 0.1 m得得 如图如图 M =2kg , k =200N m-1, s = 0.2m , g 10ms -2不计轮、绳质量和摩擦不计轮、绳质量和摩擦, 弹簧最初为自然长度，弹簧最初为自然长度，缓慢下拉缓慢下拉s, 则则 AF = ?MFks缓慢下拉缓慢下拉: F =kx (0 x 0.1m) kx0 =Mg (0.1 x 0.2m) J3dd2.01.01.00 xMgxkxAxO第第13页页 共共32页页iiiiiErfFAKd)( 对于第对于第i个质点个质点mi , 所有外力、所有外力、内力共同做功，其动能定理为内力共同做功，其动能定理为xyz1r2rcrNr1m

9、2mcmNmO由质点系的动能由质点系的动能2kk21iiiiivmEE3. 动能定理动能定理由由 得得rFEddkk1k2kk2k1k21ddEEEErFAEErr第第14页页 共共32页页质点系动能定理质点系动能定理：质点系所有外力、内力做功的代数：质点系所有外力、内力做功的代数 和等于质点系总动能的增量。和等于质点系总动能的增量。K111() dNNNiiiiiiiiAFfrE对于整个系统，其动能定理为对于整个系统，其动能定理为iNiiNiiNiiiErfrFAK111ddKEAA内内外外?d1iNiirfA内内第第15页页 共共32页页1. 计算重力、弹力、引力的功计算重力、弹力、引力的

10、功kmmomxkkx1x2FFhmgmgo1221mghmghmghmghAh2h12121222121kxkxdx-kxA-kxFxx第第16页页 共共32页页1222dd2121rmMGrmMGrrmMGrFArmMGFrrrr共同特点：共同特点： 做功与路径无关，只与始、末点位置有关。做功与路径无关，只与始、末点位置有关。 做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函做功等于与相互作用物体的相对位置有关的某函 数在始末位置的值之差。数在始末位置的值之差。OMmFr第第17页页 共共32页页2. 保守力保守力 做功与路径无关，做功与路径无关， 只与起点、终点位置有关只与起点、终点位置有关ba

11、barFrFAdd（路径（路径L1）（路径（路径L2） 对沿闭合路径运动一周的物体做功为零对沿闭合路径运动一周的物体做功为零0drFL保否则为非保守力否则为非保守力 ambL1L2F第第18页页 共共32页页摩擦力的功摩擦力的功在这个过程中所作的功为在这个过程中所作的功为 21dcosMLMsFAmgsA摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关的路径有关 。1M2MvFmgF摩擦力方向始终与质点速度方向相反摩擦力方向始终与质点速度方向相反结论结论摩擦力摩擦力F第第19页页 共共32页页3. 势能势能 势能曲线势能曲线 凡保守

12、力的功均可表示为与相互作用物体相对位置凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定有关的某函数在始末位置的值之差，我们将该函数定义为此物体系的势能。义为此物体系的势能。重重 力力质点质点mghh = 0hEpO刚体刚体mghcrEp弹力弹力引力引力221kxrmMGx = 0r xEpOO第第20页页 共共32页页保守力与相关势能的关系：保守力与相关势能的关系： 1) 凡保守力都有其相关势能凡保守力都有其相关势能, 势能属于物体系势能属于物体系, 保守保守 力为该势能系统的内力。力为该势能系统的内力。2) 保守力的功等于其相关势能增量的负值保守力的

13、功等于其相关势能增量的负值A保保 = -Ep 物体在物体在保守力场保守力场中某点的势能等于将物体从该点中某点的势能等于将物体从该点移到零势点过程中移到零势点过程中保守力保守力做的功做的功零零势势点点场场点点保保rFEdp第第21页页 共共32页页 质量为质量为 m的质点在外力的质点在外力F的作用下沿的作用下沿x轴运动。轴运动。 已知已知t = 0时质点位于原点，初速度为零。力时质点位于原点，初速度为零。力F随距离线随距离线性减小，性减小，x = 0处，处，F=F0; x=L处，处，F = 0。试求质点在。试求质点在x=L处的速率。处的速率。应用动能定理应用动能定理0212mvAxLFFF00由

14、题意由题意2d)(d00000LFxxLFFxFALLmLFv0第第22页页 共共32页页 均匀链均匀链 m , 长长 l 置于置于光滑光滑桌面上桌面上,下垂部分长下垂部分长 0.2 l , 施力将其缓慢拉回桌面。施力将其缓慢拉回桌面。 用两种方法求出此过用两种方法求出此过程中外力所做的功。程中外力所做的功。用变力做功计算用变力做功计算光滑平面光滑平面, 缓慢拉回缓慢拉回, 则拉则拉力与链下垂部分重力平衡力与链下垂部分重力平衡, 设下垂部分长为设下垂部分长为 x , 质质量量 ，以向下为正：，以向下为正：lxmglmxG 00.2Gdd50GlmgmglAxx xl 50mglAAGF0.8

15、l0.2 l0 xFO第第23页页 共共32页页 用保守力做功与势用保守力做功与势能变化的关系计算能变化的关系计算令桌面令桌面 0pEp1551050cmgmglmglEh 初态初态:02pE末态末态: pp2p150GmglAEEE 重力做功重力做功:5 0FGm g lAA 外力功外力功: 0.8 l0.2 l0Ep=0质心质心C第第24页页 共共32页页4. 功能原理功能原理KEAAA非非保保内内保保内内外外PEEEEAApK非保内非保内外外 质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点质点系外力和非保守内力做功代数和等于质点系总机械能的增量系总机械能的增量KEAA内内外外质点系动能定理质点

16、系动能定理第第25页页 共共32页页 如图所示，质量如图所示，质量m = 2kg的物体从的物体从静止静止开始，开始，沿沿1/4圆弧从圆弧从A滑到滑到B，在，在B处速度的大小为处速度的大小为 。已知圆的半径已知圆的半径R = 4m, 求物体从求物体从A到到B的过程中的过程中 (1) 重力对它作的功。重力对它作的功。 (2) 摩擦力对它作的功。摩擦力对它作的功。1sm6vRAmBOd2 9.8 478.4(J)BAAmg hmgR 重力解解: (1) 重力的功重力的功RAmBOhdhmgAdd重力重力第第26页页 共共32页页由功能原理由功能原理 得得EAA非保内非保内外外摩摩支支撑撑摩摩非非保保

17、内内外外因因为为AAAAA 0(2) 以以B点为重力势能零点，求摩点为重力势能零点，求摩 擦力的功为擦力的功为J4 .42J )48 . 926221(2122mgRmvA摩摩所所以以RAmBO第第27页页 共共32页页 一质量为一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动的人造地球卫星沿一圆形轨道运动(v c) ， 离开地面的高度等于地球半径的二倍离开地面的高度等于地球半径的二倍(即即2R)。试以。试以 m、R、引力恒量引力恒量 G、地球质量地球质量 M表示出：表示出： (1) 卫星的动能。卫星的动能。(2) 卫星在地球引力场中的引力势能。卫星在地球引力场中的引力势能。(3) 卫星的总机械能

18、。卫星的总机械能。第第28页页 共共32页页：, cv 非相对论问题非相对论问题RGmMmvERvmRmMG621332k22(1)(2)RmMGrrmMGER3d32p(3)RGMmEEE6pk约束于引力场中，未摆脱地球影响约束于引力场中，未摆脱地球影响OrF2RRMm第第29页页 共共32页页abaRbR思考思考: 卫星对接问题卫星对接问题 设飞船设飞船 a 、b 圆轨道在同一平面内，飞船圆轨道在同一平面内，飞船 a 要追上要追上 b并与之对接，能否直接加速？并与之对接，能否直接加速？RGMmEEE6pk加速，发动机做功，加速，发动机做功，E0,轨道半径轨道半径R增大增大, 不能对接不能对

19、接;: a 减速减速E 0R减小减小RC轨道轨道加速加速Rb轨道轨道Rcc第第30页页 共共32页页 一轻弹簧的劲度系数为一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处处, , 如图所如图所示。放手后，物体沿水平面移动到示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。而停止。 放手后，物体运动到放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中处和弹簧分离。在整个过程中，解解例例物体与水平面间的滑动摩擦系数。物体与水平面间的滑动摩擦系数。求求2121kx2mgx摩擦力

20、作功摩擦力作功弹簧弹性力作功弹簧弹性力作功1x2x20. 01 . 08 . 91 . 0202. 010022221mgxkx0021221 mgxkx根据动能定理有根据动能定理有第第31页页 共共32页页(1) 当各微元过程都满足当各微元过程都满足 时，时， ，系统机械能守恒。，系统机械能守恒。0dd非非保保内内外外AA恒恒量量EE 0d(2)当过程满足当过程满足 时，时，系统初、末态机械能相等。系统初、末态机械能相等。0非非保保内内外外AA21EE (3)能量守恒定律对应于时间平移对称性能量守恒定律对应于时间平移对称性 时间平移对称性：时间平移对称性：一个静止不变或匀速直线运动的一个静止

21、不变或匀速直线运动的体系对任何时间间隔体系对任何时间间隔 t 的时间平移表现出不变性。的时间平移表现出不变性。 测定能量的物理实验可以在不同时间重复，其遵测定能量的物理实验可以在不同时间重复，其遵循的规律不变，则能量守恒。即是说，能量的测定循的规律不变，则能量守恒。即是说，能量的测定不依赖于绝对的时间坐标。不依赖于绝对的时间坐标。第第32页页 共共32页页)(21)(21210222210 xxxgmkxxxkgmmF)(21kgmx20kFx 1kgmx12用弹簧连接两个木板用弹簧连接两个木板m1 、m2 ，弹簧压缩，弹簧压缩x0 。2m1m0 x2m1mF1x1m2x解解 整个过程只有保守

22、力作功，机械能守恒整个过程只有保守力作功，机械能守恒2G2f1f1G例例给给m2 上加多大的压力能使上加多大的压力能使m1 离开桌面？离开桌面？求求第第33页页 共共32页页 例例 有一轻弹簧有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶其一端系在铅直放置的圆环的顶点点P, 另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环并在小球穿过圆环并在圆环上运动圆环上运动(不计摩擦不计摩擦) .开始小球静止于点开始小球静止于点 A, 弹簧处弹簧处于自然状态于自然状态,其长度为圆环半径其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的当小球运动到圆环的底端点底端点B时时,小球对圆环没有压力小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数求弹簧的劲度系数.解解 以弹簧、小球和地球为一系统，以弹簧、小球和地球为一系统，30oPBRABA只有保守内力做功只有保守内力做功系统机械能守恒系统机械能守恒ABEE 0pE取图中点取图中点 为重力势能零点为重力势能零点B第第34页页 共