1312线段垂直平分线的性质

1、给我最大快乐的，不是已懂的知识，给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习而是不断的学习.-高斯高斯课前复习课前复习1 1、什么叫轴对称图形、什么叫轴对称图形? ?什么叫对称轴什么叫对称轴? ?如果一如果一个平面图个平面图形沿着一形沿着一条直线条直线折叠折叠，直线两旁的部分能够互相重直线两旁的部分能够互相重合，合，这个这个图图形形就叫就叫轴轴对称图形对称图形。折痕所在的直线就是轴对称图形折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴。的对称轴。2 2、什么叫、什么叫两个图形两个图形成轴对称成轴对称? ?如果把一个图形沿着某如果把一个图形沿着某一条直一条直线线折叠折叠, ,如果它能如果它能够与另一个图

2、形重合够与另一个图形重合, ,那么就那么就说这说这两个两个图形图形关于关于这条这条直线（成轴）对直线（成轴）对称称, , 这这条直条直线叫线叫作作对称轴对称轴, ,互相重合的互相重合的两个点两个点, ,其中一点叫作另一个点关于这其中一点叫作另一个点关于这条直线的条直线的对称点对称点比较归纳：比较归纳：轴对称图形两个图形成轴对称区别个图形个图形联系沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够都有如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是一一两两互相重合互相重合对称轴对称轴对称对称轴对称图形轴对称图形 如图，如图，ABC和和A

3、BC关于直线关于直线MN对称，对称，点点A、B、C分别是分别是A、B、C的对称点，线段的对称点，线段AA、BB、CC和直线和直线MN有什么关系？有什么关系？CAACBMNB探究：探究：轴对称的两个图形的性质轴对称的两个图形的性质CAACBMNBP探究：探究：轴对称的两个图形的性质轴对称的两个图形的性质 将将ABC和和ABC沿直线沿直线MN折叠后，点折叠后，点A与与A重合重合于是有于是有AP=PA，MPA=MPA=90DCAACBMNBPE探究：探究：轴对称的两个图形的性质轴对称的两个图形的性质用上述方法，你还能得其它的结论吗？用上述方法，你还能得其它的结论吗？MEC= CME MDB= BMD

4、 CE= CEBD= BD CAACBMNBP探究：探究： 由由AP=PA，MPA=MPA=90可得出什么结论？可得出什么结论？点点P是是AA的中点的中点MNAA 对称轴所在的直线经过对称点所连线段对称轴所在的直线经过对称点所连线段的的中点，中点，并且并且垂直垂直于这条线段。也就是于这条线段。也就是MN垂直平分垂直平分AA 经过线段的经过线段的中点中点并且并且垂直垂直于这条线于这条线段的段的直线直线，叫做这条线段的，叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线（也称（也称中垂线中垂线）。）。线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线的定义O1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对、如果两个图形关于某条直线对

5、称，那么对称轴是任何一对应点连线段的垂直平分线称轴是任何一对应点连线段的垂直平分线 2、轴对称图形的对称轴，是任何一对应点所、轴对称图形的对称轴，是任何一对应点所连线段的垂直平分线连线段的垂直平分线l垂直平分垂直平分l垂直平分垂直平分l垂直平分垂直平分AACCBB图形轴对称的性质图形轴对称的性质线段线段AB的中垂线的中垂线MN，垂足为，垂足为C；在；在MN上任上任取一点取一点P，连结，连结PA、PB； 量一量：量一量：PA、PB的长，你能发现什么的长，你能发现什么？PMNCPA=PBP1A=P1B由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？ 命题命题：线段垂直平分线线段垂直平分线上的点和这条线

6、段两个端点上的点和这条线段两个端点的距离相等。的距离相等。画一画画一画ABP1命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点和这条线段和这条线段两个端点两个端点的距离相等。的距离相等。 已知：如图，已知：如图， 直线直线MNAB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB.点点P在在MN上上.求证：求证： PA=PB证明：证明：MNAB PCA= PCB 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB证一证证一证ABPMN NC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。这条线段两个端点的距离相

7、等。ABPMNCPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上性质定理有何作用？性质定理有何作用？可证明线段相等可证明线段相等定理应用格式：定理应用格式：AC=BC,MNAB,P是是MN上任意一点上任意一点PA=PB(线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质)线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质ABPCPA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上（利用全等（利用全等, ,仿照性质定理自己证明）仿照性质定理自己证明）反过来，如果反过来，如果PA=PBPA=PB，那么点，那么点P P是否在线段是否在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上? ?换

8、一换换一换判定定理：与一条线段两个端点距离相等的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理有何作用？判定定理有何作用？用途：判定一条直线是线段的中垂线用途：判定一条直线是线段的中垂线 判定定理：与判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。 性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。个端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上判定判定ABPC

9、性质性质题设和结论正好相反，是互逆关系题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一一 个简易的个简易的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中中央央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？向与木棒垂直呢？只要只要AC=BCAC=BC就就可以了可以了ABC为什么？为什么？ （1 1）线段）线段ABAB的垂直平分线上的所有点都满的垂直平分线上的所有点都满 足足“与点与点A A、B B的距离相等的距离相等”这一条件吗？这一条件吗？ 线段的垂直平分线线段的垂直平分线可

10、以看作是和线段两可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合个端点距离相等的所有的点的集合想一想想一想（2 2）满足）满足“与与A A、B B的距离相等的距离相等”的所有点都的所有点都在线段在线段ABAB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？1、如图直线、如图直线MN垂直平垂直平分线段分线段AB，则，则AE=AFABMEFN2、如图线段、如图线段MN被直线被直线AB垂直平分，则垂直平分，则ME=NEABMNE3、如图、如图PA=PB，则直线，则直线MN是线段是线段AB的垂直平分线。的垂直平分线。ABMNP二、逆定理：二、逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条与一条线段两个端点距离相等

11、的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线判定线段垂直平分线判定线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质三、三、 线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合端点距离相等的所有点的集合13.3 角的平分线角的平分线ODEAB

12、PC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 14.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相距离相等等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直

13、平分线可以看作是和线段线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点两个端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线1、如图，、如图，ADBC，BD=DC，点，点C在在AE的垂直的垂直平分线上，平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD 与与DE有什么关系？有什么关系？AC=CEAB+BD=DEECDBA2、如图，、如图，AB=AC，MB=MC，直线，直线AM是是线段线段BC的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？ABCM3、如图，、如图，ABC中中，DE是是AC的垂直平分的垂直平分线，线

14、，AE=3cm， ABD的周长为的周长为13cm，求求ABC的周长？的周长？ECDBA4、如图，、如图，ABC中中，BC的垂直平分线的垂直平分线分别交分别交AC、BC于点于点E、D，ABE的周的周长为长为15，BD=5，求，求ABC的周长？的周长？ECDBA 5、如图、如图ABC中，中，AC20cm，DE垂直平分垂直平分AB，若，若BC=12cm，求，求BCD的周长。的周长。DCEBA 6、如图、如图ABC中，中，AB=AC32，DE是是AB的垂直平分线，且有的垂直平分线，且有BC=21，求求BCD的周长。的周长。DCEBA已知：已知： ABC中，边中，边AB、 BC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点P。求证：求证：PA=PB=PC.PABC结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。并且这点到三个顶点的距离相等。证明：证明：MNAB，P在在MN上上PA=PB（线段垂直平分线上的（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）点与线段两个端点的距离相等）同理：同理：PB=PCPA=PB=PCMFEN 如图，八（如图，八（5）班与八（）班与八（6）班两）班两个班的学生分别在个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，两处参加植树劳动，现要在道路现要在道路AO、BO的交叉区域内设一个的交叉