工程制图第三章-点、直线、平面的投影

1、2021/3/271第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影第二节第二节 直线的投影直线的投影第三节第三节 平面的投影平面的投影第四节第四节 直线、平面的相对位置直线、平面的相对位置第五节第五节 投影变换投影变换第一节第一节 点的投影点的投影2021/3/272第一节第一节 点的投影点的投影1-1 两投影面体系中点的投影两投影面体系中点的投影1-2 三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影1-3 两点的相对位置两点的相对位置1-4 重影点的投影重影点的投影例题例题1例题例题2基本要求基本要求2021/3/2732021/3/2741-1 两投影面体系中点的投影两投影面体系中点

2、的投影五五、两面投影图的性质、两面投影图的性质二二 、两投影面体系中点的投影、两投影面体系中点的投影一、两投影面体系的建立一、两投影面体系的建立三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置四四、两面投影图的画法两面投影图的画法2021/3/275一、两投影面体系的建立VXO水平投影面 H 正面投影面 V 投 影 轴 OX2021/3/276二、两投影面体系中点的投影点A的水平投影 a点A的正面投影 aaAZYXa2021/3/277三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置2021/3/278四、两面投影图的画法HXHVOa aaxxzya2021/3/279

3、2021/3/2710五、两面投影图的性质1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa 2021/3/27112021/3/2712通常不画出投影面的边界2021/3/27131-2 三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影三、点的直角坐标与三面投影的关系三、点的直角坐标与三面投影的关系二、三投影面体系中点的投影二、三投影面体系中点的投影一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立五、特殊点的投影五、特殊点的投影四、三投影面体系中点的投影规律四、三投影面体系中点的投影规律2021/3/2714一、三投影面体系的建立水平投影面 - H HV - OX正面投影面 - V V W -

4、 OZ 侧面投影面 - W HW - OY ZYWO2021/3/27152021/3/2716O二、 三投影面体系中点的投影点A的水平投影 a 点A的正面投影 a点A的侧面投影 aHa aa VWXOZYWYHaaaA2021/3/27172021/3/2718 1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA 三、点的直角坐标与三面投影的关系VXZYWOayaxazxyzaaaA2021/3/27192021/3/27201. aa X轴,aaz = aay = xA2. aaZ轴, aax =aa y = zA

5、3. aax = aaz =yA四、三投影面体系中点的投影规律2021/3/27212021/3/2722五、特殊点的投影HVOXb bc cCcca bBb Aaa a2021/3/27232021/3/27241-3 两点的相对位置两点中x值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上a a ab b bBA2021/3/27252021/3/27261- - 4 重影点的投影重影点的投影cd(c)dCDa(b)abAB2021/3/27272021/3/2728例题例题1 已知点A的正面与侧面投影,求点A的水平投影。a2021/3/2729注注:因为平面是无限大的因为平

6、面是无限大的,所所 以一般不以一般不画出平面边框。画出平面边框。2021/3/2730例题例题2 已知点A在点B之前5毫米,之上9毫米,之右8毫米,求点A的投影。a a a9852021/3/27312-1 直线的投影直线的投影第二节第二节 直线的投影直线的投影2-2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置2-6 直角投影定理直角投影定理2-3 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角一般位置线段的实长及它与投影面的夹角2-4 属于直线上的点属于直线上的点2-5 两直线的相对位置两直线的相对位置 基本要求基本要求 2021/3/2732基本要求2021/3/27332-1 直线的投影 直线的

7、投影仍为直线,特殊情况下为一点。abc(d)2021/3/27342-2 直线对投影面的相对位置一、特殊位置直线1.直线平行于一个投影面 (1) 水平线 (2) 正平线 (3) 侧平线2.直线垂直于一个投影面 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线3.从属于投影面的直线 从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线二、一般位置直线2021/3/2735(1) 水平线 只平行于水平投影面的直线aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性:1ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2 ab=AB。 3反映、 角的真实大小。2021/3/2736（2）正平

8、线只平行于正面投影面的直线Xabab baOZYHYW 投影特性: 1 ab 平行于 OX ; a b平行于 OZ。 2 a b=AB。 3 反映、角的真实大小aababbAB2021/3/2737投影特性: 1 ab 平行于 OZ ; ab平行于 OYH 。 2 ab =AB。 3反映 、 角的真实大小。（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线aa b a bbABXZa b bbaOYHYWa2021/3/2738Zb Xa ba(b)OYHYWa投影特性:1 a b 积聚 成一点。 2 a bOX ; a b OYW 。 3 a b = a b = AB。（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线

9、b a(b)a abAB2021/3/2739（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线投影特性: 1 a b 积聚 成一点。 2 ab OX ; ab OZ。 3 ab = ab =AB。bababaABZXab baOYHYWab2021/3/2740（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线投影特性: 1 ab 积聚 成一点。 2 ab OYH ; ab OZ。 3 ab = ab =AB。baababZXabbaOYHYWabAB2021/3/2741从属于V 面的直线ZXabaOYHYWabbBbbabaA a2021/3/2742从属于V 投影面的铅直线ZYWbXaba(b)OYHa2021/

10、3/2743从属于OX轴的直线ZXabaOYHYWabb2021/3/2744二、一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性:1 a b、 ab、a b均小于实长。 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴。 3不反映 、 、 实角。2021/3/2745四、作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题12-3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角2021/3/27461 求直线的实长及对水平投影面的夹角角|zA-zB |AB|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO2021/3

11、/2747|yA-yB|a bABABa b|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角O2021/3/27483 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角|xA-xB|xA-xB|2021/3/2749例题例题1 已知 线段的实长AB,求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|O2021/3/2750直线上的点具有两个特性: 1从属性 若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点,或判断已知点是否在直线上。 2定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b=

12、a c : c b = a c : c b 利用这一特性,在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。 例题2 例题3 例题42-4 属于直线的点2021/3/2751例题例题2 2 已知线段AB的投影图,试将AB分成21两段,求分点C的投影c、c 。ccO2021/3/2752ac例题例题3 3 已知点C在线段AB上,求点C 的正面投影。cabccO2021/3/2753例题例题4 已知线段AB的投影,试定出属于线段AB的点C的投影, 使BC 的实长等于已知长度L。cLABzA-zBcabO2021/3/27542-5 两直线的相对位置 一、平行两直线二、相交两直线

13、 三、交叉两直线四、交叉两直线重影点投影的可见性判断 例题5 例题6 例题72021/3/2755一、平行两直线 1若空间两直线相互平行,则它们的同名投影必然相互平行。反之,如果两直线的各个同名投影相互平行,则此两直线在空间也一定相互平行。 2平行两线段之比等于其投影之比。dcdcXbaabO2021/3/2756二、相交两直线 当两直线相交时,它们在各投影面上的同名投影也必然相交,且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。cbXaabkddckO2021/3/2757三、 交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 bXaabcddc11(2)2O2021/3/2758四、交叉两直

14、线重影点投影的可见性判断(3 )4 1(2)43341 2 判断两重影点其积聚性投影的可见性时,需要看两重影点在另一投影面上的投影,坐标值大的点投影可见,反之不可见，不可见点的投影加括号表示。2021/3/2759例题例题5 5 判断两直线的相对位置dacbOYWYHz2021/3/2760例题例题6 6 判断两直线的相对位置11dc 11O2021/3/2761例题例题7 7 判断两直线重影点的可见性3(4)34121(2)O2021/3/27622-6 直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影定理一定理一垂直相交的两直线,其中有一条直线平行于投影面时,则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定

15、理二定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角,且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。例题8例题9例题102021/3/2763一、垂直相交的两直线的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab accXbacbaO2021/3/2764AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac二、交叉垂直的两直线的投影O2021/3/2765例题例题8

16、8 过点A作线段EF的垂线AB,并使AB平行于V 面。bb2021/3/2766例题例题9 9 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。ffO2021/3/2767 例题例题1010 作三角形ABC,ABC为直角,使BC在MN上,且BC AB =2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcO2021/3/2768第三节第三节 平面的投影平面的投影3-1 3-1 平面的表示法平面的表示法3-2 3-2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性3-3 3-3 属于平面的点和直线属于平面的点和直线 基本要求基本要求2021/3/2769基本要求2021/3/27703-1 平面的表示法一、用几何

17、元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式:不在一直线上的三个点;一直线和直线外一点;相交二直线;平行二直线；任意平面图形。二、平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。 2021/3/2771一、用几何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcddXXXXXOOOOO2021/3/2772二、 平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ2021/3/27733-2 各种位置平面的投影特性一、投影面的垂直面1铅垂面2正垂面3侧垂面二、投影面的平行面1水平面2正平面3侧平面三、一般位置平面2021/3/27

18、74PPH1铅垂面投影特性 (1) abc积聚为一条线。 (2) abc、 abc为ABC的类似形。 (3) abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小。 ABCacbabab bab ccc2021/3/2775铅垂面迹线表示法PPHPHPVPWXZOYHYW2021/3/2776QQV 2正垂面 投影特性 (1) abc 积聚为一条线。 (2) abc、 abc为 ABC的类似形。 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小。 AcCabBbababaccc2021/3/2777正垂面的迹线表示法 QQVQHXQVYHQWOZYW2021/3/2778SWS 3侧垂面投影特性

19、 (1) abc积聚为一条线。 (2) abc、 abc为 ABC的类似形。 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小。 CabABcbababaccc2021/3/2779侧垂面的迹线表示法VWSwSSHYHXSVOSWYWZ2021/3/27801水平面投影特性: (1) abc、 abc积聚为一条线,具有积聚性。 (2) 水平投影 abc反映 ABC实形。 CABabcbacabccabbbaacc2021/3/27812正平面投影特性: (1) abc 、 abc 积聚为一条线,具有积聚性。 (2) 正平面投影 abc反映 ABC实形。 cabbacbcabacabcbca

20、CBA2021/3/2782投影特性: (1) abc 、 abc 积聚为一条线,具有积聚性。 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC实形 。 3侧平面abbbacccabcbacabcCABa2021/3/2783三、一般位置平面投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形。 (2) 不反映、 的真实角度。 abccabbaaabbccbacABC2021/3/27843-3 属于平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线四、属于平面的最大斜度线2021/3/2785一、属于一般位置平面的点和直线1平面上的

21、直线 直线在平面上的几何条件是:通过平面上的两点;通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2平面上的点 点在平面上的几何条件是:点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图,实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图,可以解决三类问题:判别已知点、线是否属于已知平面;完成已知平面上的点和直线的投影;完成多边形的投影。例题1 例题2 例题32021/3/27861取属于平面的直线 取属于定平面的直线,要经过属于该平面的已知两点;或经过属于该平面的一已知点,且平行于属于该平面的一已知直线。EDFddeeff 2021/3/27872取属于平面的点 取属于平面的点,要取自

22、属于该平面的已知直线EDddee2021/3/2788例题例题1 已知给定一平面 ABC ,试判断点D是否属于该平面。ddee2021/3/2789例题例题2 已知点D在 ABC上,试求点D的水平投影 。dd2021/3/2790例题例题3 已知点E在 ABC上,试求点E的正面投影 。ee2021/3/2791二、属于特殊位置平面的点和直线 1取属于投影面垂直面的点和直线 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3过特殊位置直线作平面 (1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面 2021/3/2792bb1 取属于投影面垂直面的点和直线aaeffe

23、2021/3/2793abbaSbaabAB2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVAB2021/3/2794(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法)mn(n)(m)2021/3/2795(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法)baSVQWPH2021/3/2796(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)PVSVQVRV（a ）给题（c）作侧平面（ b）作水平面（d）作正垂面（有无穷多个）2021/3/2797(2) 过正平线作平面PHSHgg（a ）给题（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平

24、面（有无穷多个）2021/3/2798三、属于平面的投影面平行线属于平面的水平线和正平线 例题4 例题52021/3/2799P属于平面的水平线和正平线PVPH2021/3/27100例题例题4 已知 ABC给定一平面,试过点C作属于该平面的正平线,过点A作属于该平面 的水平线。mnnm2021/3/27101例题例题5 已知点E 在ABC平面上,且点E距离H面15,距离V 面10,试求点E的投影。mnmnrsrs1015ee2021/3/27102四、属于平面的最大斜度线1平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2平面上对某投影面的

25、最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3平面上的投影面最大斜度线有三组,即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。 （1）平面上对水平投影面的最大斜度线 （2）平面上对正面投影面的最大斜度线 （3）平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题6 例题7 例题8 例题92021/3/27103PCDE1 SaAE2021/3/27104（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF AB平行于 H, EF垂直于 ABPEFBA2021/3/27105（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD AB平行于V, CD垂直于 ABPCDBA2021/3/27106（3） 平面上对侧面投影

26、面的最大斜度线 MN AB 平行于W, MN垂直于ABPBAMN2021/3/27107例题例题6 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。bddee2021/3/27108例题例题7 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。BEZb-Zebe 2021/3/27109例题例题8 过正平线作平面与正面投影面成 30。30ABYb-Yaaabbb2021/3/27110例题例题9 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线,试作出该平面。aa给题2021/3/27111第四节第四节 直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置 两平面的相对位置两平面的相对位置4-1 直线与平面平行直线与平面平行 两平

27、面平行两平面平行4-2 直线与平面的交点直线与平面的交点 两平面的交线两平面的交线4-3 直线与平面垂直直线与平面垂直 两平面垂直两平面垂直 基本要求基本要求2021/3/27112基本要求（一）平行问题 1熟悉线、面平行,面、面平行的几何条件; 2熟练掌握线、面平行,面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法;掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。 3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直

28、的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法; 2能对一般画法几何综合题进行空间分析,了解综合题的一般解题步骤和方法。2021/3/271134-1 直线与平面平行 两平 面平行一、直线与平面平行几何条件几何条件 若平面外的一条直线平行于属于定平面的一条直线,则该直线与该平面平行。 有关线、面平行的作图问题有:判别已知线面是否平行;作直线与已知平面平行;包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 例题1 例题2二、平面与平面平行几何条件几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行,则此两平面平行。 两面平行的作图问题有:判别两已知平面是否

29、相互平行;过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行,完成其中一平面的所缺投影。 例题3 例题4 例题52021/3/27114一、直线与平面平行 若一直线平行于属于定平面的一直线,则该直线与平面平行。2021/3/27115例题例题1 试判断直线AB是否平行于定平面。 fgfg结论:直线AB不平行于定平面。2021/3/27116例题例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面。 baaffb2021/3/27117二、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线,则此两平面平行。EFDACB2021/3/27118例题例题3 试判断两平面是否平行。mnmnrrs

30、s结论:两平面平行。2021/3/27119例题例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定,试过点K作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrkk2021/3/27120例题例题5 试判断两平面是否平行。结论:因为PH平行SH,所以两平面平行。2021/3/271214-2 直线与平面的交点、两平 面的交线一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线三、特殊位置线面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交2021/3/27122一、直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点,它是直线与平面的共有点。BKA2021/3/27123M二

31、、平面与平面相交两平面的交线是一条直线,这条直线为两平面所共有。FKNL2021/3/27124三、特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交2021/3/27125直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性,交点可直接求出。bbaaccmmnnkk2021/3/27126判断直线的可见性 特殊位置线面相交,根据平面的积聚性投影,能直接判别直线的可见性。 kbbaaccmmnnk2021/3/27127( ) 求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。k21k212021/3/27128四、一般位置平面与特殊位置平面相交 求两

32、平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性,交线可直接求出。一般位置平面与特殊位置平面相交判断平面的可见性2021/3/27129一般位置平面与特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf2021/3/27130判断平面的可见性结 果2021/3/27131判断平面的可见性2021/3/27132五、直线与一般位置平面相交 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图2021/3/271331 2 以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤:1过EF作正垂平面Q。2求Q

33、平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。示意图2021/3/27134ABCQ过MN作正垂面Q以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图MN2021/3/2713512以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1 步骤:1过EF作铅垂平面P。2求P平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。kk2 示意图2021/3/27136CAB过MN作铅垂面PPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图NM2021/3/27137fee直线EF与 ABC相交,判别可见性。利用重影点判别可见性124 kk示意图( )2 1 （ ）3 342021/3/27138直线EF与平面 ABC相交,判别可见性示意图1 (2

34、)(4)3利用重影点判别可见性2021/3/27139六、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点,将其连线即为两平面的交线。 两一般位置平面相交求交线 示意图 判别可见性 例题6 2021/3/27140 两一般位置平面相交,求交线步骤:1用求直线与平面交点的方法,作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线llnmmnPVQV1 2 21kkee2连接两个共有点,画出交线KE。示意图2021/3/27141两一般位置平面相交求交线的方法 示意图 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点,将其连线即为两平

35、面的交线。MBCAFKNL2021/3/27142利用重影点判别可见性两平面相交,判别可见性3 4 ( )3 4 21( )1 2 2021/3/27143例题例题6 试过点K作一直线平行于已知平面ABC,并与直线EF相交 。2021/3/27144分析 过已知点K作平面P平行于 ABC;直线EF与平面P交于H;连接KH,KH即为所求。FPEKH2021/3/27145作图mnhhnmPV11221过点K作平面KMN/ ABC平面。2求直线EF与平面KMN的交点H 。3连接KH,KH即为所求。2021/3/271464-3 直线与平面垂直、两平面垂直直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直

36、 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题132021/3/27147直线与平面垂直的几何条件:若一直线垂直于一平面,则必垂直于属于该平面的一切直线。 2021/3/27148定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影;直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。knkn2021/3/27149定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影;直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影,则直线必垂直于该平面。2021/3/27150例题例题7 平面由 BDF给

37、定,试过定点K作平面的法线。acacnnkk2021/3/27151h例题例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b）2021/3/27152例题例题9 平面由两平行线AB、CD给定,试判断直线MN是否垂直于该平面。efef2021/3/27153例题例题10 试过点N作一平面,使该平面与V面的夹角为60 ,与H面的夹角为45 。2021/3/27154分析:平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角2021/3/27155直径任取NM 作图过程|yM-yN|zM-zN|mhm nmk|zM-zN|yM-yN|3045m nmnkhnn2021/3/2715

38、6两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面,则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD2021/3/27157 反之,两平面相互垂直,则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂直两平面不垂直2021/3/27158g例题例题11 平面由 BDF给定,试过定点K作已知平面的垂面。hacachg2021/3/27159例题例题12 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。ffdd结论:因为AD直线不在 ABC平面上,所以两平面不垂直。2021/3/27160例题例题13 试过定点A作直线与已知直线EF正交。2021/3/27161分析 过已

39、知点A作平面垂直于已知直线EF,并交于点K,连接AK,AK即为所求。QAFEK2021/3/27162作图2 1PV1 22 1a efaf e 1 2kk2021/3/27163第五节第五节 投影变换投影变换 5-1 概概 述述 5-2 换面法换面法基本要求基本要求 5-3 旋转法旋转法绕投影面垂直轴旋转绕投影面垂直轴旋转2021/3/27164基本要求 （1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。 （2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。 （3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。2021/3/271655-1 概 述 2021/

40、3/27166aabb 两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd 直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角2021/3/271675-2 换面法一、换面法的基本概念二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律四、六个基本问题2021/3/27168VACB c bX aa bc一、换面法的基本概念 换面法空间几何元素的位置保持不动,用新的投影面来代替旧的投影面,使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置,然后找出其在新投影面上的投影。V/H 体系变为V1/H 体系a1c1b1V1X1X1bcabacXc1b1a12021/3/27169一、换面法的基本概念 换面法空间几何元素的位置保

41、持不动,用新的投影面来代替旧的投影面,使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置,然后找出其在新投影面上的投影。V/H 体系变为V1/H 体系a1c1b1V1X1X1bcabacXc1b1a12021/3/27170（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件:1新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2新投影面必须垂直于一个不变投影面。二、新投影面的选择原则2021/3/27171三、点的投影变换规律1点的一次变换2点的投影变换规律3点的两次变换2021/3/271721点的一次变换X1V1a12021/3/27173a1X1 V1a1X1HV1 V1a12021/3/271742 点

42、的投影变换规律（1） 点的新投影和不变投影的连线,必垂直于新投影轴。（2） 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。2021/3/27175H1X1 点在V/H1体系中的投影 X1H1Va1a12021/3/27176a23 点的两次变换X2H2V12X2a22021/3/27177四、六个基本问题四、六个基本问题（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 例题1（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 例题2 例题3（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 例题4 例题5（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面（六） 把一般位置平面变为投影面平行

43、面 例题62021/3/27178V1X1（一） 把一般位置直线变为投影面平行线 a1 b1a1b1 X1V1H2021/3/27179例题例题1 把一般位置直线变为H1投影面平行线 X1H1Va1b12021/3/27180X1H1Va1 b1（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 bb1X1a1b12021/3/27181 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线V1X1 a1 b1作图过程2a2 b22021/3/27182把一般位置直线变为投影面垂直线X2H2V1a2 b2X1HV1a1b12021/3/27183 例题例题2 求点C到直线AB的距离提示作图过程2021/3/271842

44、021/3/27185c2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距离2021/3/27186211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例题例题3 求两直线AB与CD的公垂线 。 2021/3/27187a cXVHbb ac（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d12021/3/27188k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例题例题4 求点S到平面ABC的距离距离2021/3/27189Ne ddX1VH1k1e1例题例题5 已知E到平面ABC的距离为N,求E点的

45、正面投影e。b1a1c1d12021/3/27190（五）（五） 把把投影面垂直面变为投影面平行面投影面垂直面变为投影面平行面 V1c1b1a1X1作图过程X1V1c1b1a12021/3/27191a1c1b1X12021/3/27192 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（六） 把一般位置平面变为投影面平行面 实形2021/3/27193例题例题6 已知E点在平面ABC上,距离A、B为15,求点E的投影。 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e22021/3/271945-3 旋转法绕投影面垂直轴旋转一、旋转法的基本概念二、点旋转时的投影变换规律三、直线和平面的旋转四、四