线性矩阵不等式在控制理论的应用

1、线性矩阵不等式在控制理论的应用线性矩阵不等式在控制理论的应用 报告人： 潘 宁 导 师： 蔡云泽 2010.04.7l控制领域发展现状控制领域发展现状Linear Matrix Inequality控制领域发展现状控制领域发展现状控制理论发展控制理论发展现代控制理论自20世纪50年代，现代控制理论飞速发展，在随后工业应用中（1）描述物理系统的解析模型复杂（2）模型不能精确刻画对于此类复杂的不确定性系统的分析与综合，引出一个全新的领域：参数不确定性系统的鲁棒性能分析与综合问题。它是近20年以来，国际自动控制界最活跃的研究领域之一。提出诸如H无穷，H2,u方法等全新的结果。 经典控制理论控制领域发

2、展现状控制领域发展现状求解方法存在问题克服Riccati缺陷Lyapunov 控制问题转化求解提前设定参数控制问题转化求解Matlab工具包Riccati方程（早期）LMI(20世纪90年代)u在时域中研究此类鲁棒不确定性问题，主要理论基础是Lyapunov稳定性理论控制领域发展现状控制领域发展现状uRiccati 方程处理方法方程处理方法 在在过去的过去的10 余年内余年内,由于线性矩阵不等式由于线性矩阵不等式(LMI) 的的优良性质优良性质以及以及解法解法的突破的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。在此之前在此之前,

3、绝大多数的控制问题都是通过绝大多数的控制问题都是通过Riccat方程方程或其不等式的方或其不等式的方法来解决的。但是解法来解决的。但是解Riccati 方程或其不等式时方程或其不等式时,有大量的有大量的参数参数和和正正定对称矩阵定对称矩阵需要需要预先调整。预先调整。有时有时,即使即使问题本身是有解的问题本身是有解的,也找不出问也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便,具有很大的保守性具有很大的保守性uLinear Matrix Inequality处理方法处理方法 线性矩阵不等式方法给出了问题可解的线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约

4、束条件一个凸约束条件, 因此因此, 可以可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解, 不需要不需要预先调整任何参预先调整任何参数和正定对称矩阵数和正定对称矩阵, 大大降低了间题求解的保守性和方便性大大降低了间题求解的保守性和方便性。同时这。同时这种凸约束条件的种凸约束条件的任意一任意一个可行解都是满足设计要求的控制器个可行解都是满足设计要求的控制器, 这一性这一性能在求解系统的能在求解系统的多目标控制问题多目标控制问题时是特别有用的时是特别有用的Linear Matrix InequalityLinear Matrix InequalityLinear M

5、atrix Inequality111221221112212 11121221112 22 12,0,0;(3)0,0;TTsssssss s sss s s以下三个条件等价：(1)sI的对阵矩阵的对阵矩阵P,使得使得 A1P+PA10 A2P+PA20 A3P+PA30A1=-1,2;1,-3;A2=-0.8, 1.5;1.3,-2.7;A3=-1.4,0.9;0.7,-2.0;实例仿真实例仿真Setlmis()P=lmivar(1,)5l NCS滤波研究背景滤波研究背景Smart home（智能家居）日常应用automobiles （007智能车）intelligent Robot（美国

6、军用智能狗）Telesurgery（远程手术）NCS战斗机协同作战军工应用鱼雷导弹制导与控制航天火星探测NCS1998Walsh控制论关于在动物和机器中控制和通信的科学于之训和顾洪军Halevi和RayMurry和As2trom等将网络控制大致分为（1）基于网络的控（控制领域）（2）对网络的控制（通讯领域）网络诱导时延对于随机且分布特性已知的网络时延,利用随机控制理论方法进 行系统分析与设计.对于时变、不确定的网络时延,采用鲁棒控制、自适应控制、智能控制等方法进行系统分析与设计通过技术手段将时变时延转化为固定时延,利用确定性系统方法进行分析和设计数据包丢失 由于数据包丢失呈现出明显的时变和不确

7、定性,难以准确描述数据包丢失特性和模型. 因此：（1）一方面,建立反映时变、不确定和随机丢包特性的NCS模型（2）并采用近年来出现的切换系统，混合系统，异步动态的分析方法,研究控制 器的设计方法New DerectionLincolnNoiseZhangWeiZhangWei于之训GoktasWalsh和Bushnell带有干扰的NCS设计（去噪，滤波）卡尔曼滤波器,保证分离定理提出了一种时延补偿结构,可实现对噪声的滤波处理H,H2综合的方法引入控制器和滤波器设计用非线性和摄动理论,将NCS中的时延效应看作连续系统的摄动,提出了摄动方法考虑长时延，丢包，等因素的滤波研究l传统的最优滤波理论如最

8、小二乘法、维纳滤波以及卡尔曼滤波理论均是基于系统部件之间数据传送具有无限可能的精度假设,而并未考虑实际网络环境下的时延，丢包等不确定性因素；虽然已有研究试将卡尔曼滤波算法扩展到时滞情况，但是滤波公式推导复杂，且得不到最优解。l在Kalman滤波理论基础上发展的现代鲁棒滤波技术考虑了系统中含有不确定参数、噪声干扰统计特性不能完全获知等情况，在系统中存在不确定因素的情况下可以得到较好的滤波效果，但在网络环境中，接收的信息还出现了延时和丢包现象。因此，基于确定性系统的鲁棒滤波技术在随机系统领域已经不再适用，需要改进或开发新的理论和算法。l目前对NCS的鲁棒滤波问题研究较少，且多考虑短时延。对于同时考

9、虑时延和丢包的鲁棒滤波研究更少。最新研究成果将定常系统H2滤波的概念推广到随机系统，研究了同时具有随机短时延和数据包丢失的随机系统H2滤波。l本文基于已有思想，研究了传感器和滤波器之间同时存在长时延及丢包的 滤波器设计问题。引入随机序列，建立具有长时延和数据包丢失的随机参数模型。基于该模型，通过扩展 范数在随机系统中的定义，给出滤波误差系统的随机范数表达式。利用状态增广的方法给出满足滤波误差系统指数稳定和随机性能指标的充分条件。通过求解线性矩阵不等式求出 最优滤波参数。lNCS模型描述模型描述NCS模型描述模型描述u模型合理假定：（1）假设NCS被控对象为线性定常系统，状态方程为：（2）传感器

10、和滤波器均采用时钟驱动，采样周期为T。控制器为事件驱动。（3）（4）丢包采用开关切换系统：NCS模型描述模型描述u模型表示（处理时延和噪声）引入滤波方程K1发生时：K2发生时 通过状态增广，将 系 系统方程和滤波方统 方程融合为滤波误方 系统引入随机序列l鲁棒鲁棒H2滤波稳定性分析滤波稳定性分析鲁棒鲁棒H2滤波稳定性分析滤波稳定性分析鲁棒滤波稳定性分析鲁棒滤波稳定性分析 （1）对于对于确定的线性定常系统确定的线性定常系统，如果输入是标准白噪声，则系统，如果输入是标准白噪声，则系统输出的均方根输出的均方根等于等于系统的系统的 H2范数范数。而在而在随机系统领域随机系统领域，此，此结论将不再适用。

11、结论将不再适用。 （2）基于基于 对带有随机长时延和丢包的对带有随机长时延和丢包的NCS 滤波器设计问题可归结为设计滤波器滤波器设计问题可归结为设计滤波器使得：使得： 滤波误差系统指数稳定；滤波误差系统指数稳定； 由扰动输入到误差状态输出的由扰动输入到误差状态输出的 范数小于一个指定的上界范数小于一个指定的上界 ，即，即： l定理定理l鲁棒鲁棒H2滤波稳定性分析滤波稳定性分析l鲁棒鲁棒H2滤波器设计滤波器设计鲁棒鲁棒H2滤波器设计滤波器设计l鲁棒鲁棒H2滤波器设计（滤波器设计（将定理将定理1的矩阵不等式线性化）的矩阵不等式线性化） 采用矩阵分解，合同变换等方法，将定理采用矩阵分解，合同变换等方法，将定理1中的非线性矩阵不等式转化为线中的非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式得定理性矩阵不等式得定理2：l鲁棒鲁棒H2滤波稳定性分析滤波稳定性分