线性代数第二章,矩阵及其运算

1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 矩阵矩阵 一、矩阵的定义一、矩阵的定义 称m行、n列的数表 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa 为m n矩阵矩阵，或简称为矩阵；表示为 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA 或简记为(),i jm naA或(),i jaA或m nA；其中i ja表示A中第i行，第j列的元素。 注：注：第一章中行列式111212121212nnmmmnaaaaaaDaaa为按行列式的运算规则所得到的一个数，而m n矩阵是m n个数的整体，不对这些数作运算。 例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。 设(),i j

2、m naA(),i jm nbB都是m n矩阵，当 i ji jab 1,2,;1,2,imjn 则称矩阵A与B相等，记成AB。 二二 、 特特 殊殊 形形 式式 n阶阶 方方 阵阵 ：nn矩 阵 行行 矩矩 阵阵 ：1n矩 阵 （ 以 后 又 可 叫 做 行 向 量 ） ， 记 为 12,naaaA 列列 矩矩 阵阵 ：1m 矩 阵 （ 以 后 又 可 叫 做 列 向 量 ） ， 记 为 12mbbbB 零零 矩矩 阵阵 ： 所 有 元 素 为 0 的 矩 阵 ， 记 为O 对对 角角 阵阵 ： 对 角 线 元 素 为12,n， 其 余 元 素 为 0 的 方 阵 ， 记 为 1212dia

3、g,nn 单单 位位 阵阵 ： 对 角 线 元 素 为 ， 其 余 元 素 为 0 的 方 阵 ， 记 为 111E 三三、线线性性变变换换的的系系数数矩矩阵阵 线性变换的定义：设变量12,myyy能用变量12,nxxx线性表示，即 11111221221122221122nnnnmmmmnnya xa xa xya xaxaxyaxaxax 这 里i ja(1,2,;1,2, )imjn为 常 数 这 种 从 变 量12,nxxx到 变 量12,myyy的变换称为线线性性变变换换， 线性变换由m个n元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。 上式的系数可构成一个mn矩阵 11

4、1212122212nnmmmnaaaaaaaaaA 称之为线性变换的系系数数矩矩阵阵。 线性变换和系数矩阵是一一对应的。 齐次线性方程组 11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax 与系数矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA 也是一一对应的。 非齐次线性方程组 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 与增广矩阵增广矩阵 11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaabB 也是一一对应的。 2

5、2 矩矩阵阵的的运运算算 一一、加加法法 设()i jm naA，()i jm nbB都是m n矩阵，则加加法法定义为 111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababAB 显然， ABBA，()()ABCABC 二、数乘二、数乘 设是数，()i jm naA是m n矩阵，则数乘数乘定义为 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA 显然 ()( ) AA，()AAA，()ABAB 三、乘法三、乘法 乘法运算比较复杂，首先看一个例子 设变量12,t t到变量123,x x x的线性变换为 111 112 2221 122

6、 2331 132 2xb tb txb tb txb tb t 变量123,x x x到变量12,y y的线性变换为 111 1122133221 1222233ya xa xa xya xa xa x 那么，变量12,t t到变量12,y y的线性变换应为 11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2yab tb tab tb tab tb tyab tb tab tb tab tb t 即 111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 3

7、22ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt 定义矩阵 111213212223aaaaaa和111221223132bbbbbb 的乘积为 111211 11122113 3111 12122213 32111213212221 11222123 3121 12222223 322122233132bba ba ba ba ba ba baaabba ba ba ba ba ba baaabb 按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义 设()i jm saA，()i js nbB，则乘法乘法定义为 ABC 其中 ()i jm ncC

8、1 1221si jijijiss jikk jkca ba ba ba b， 1,2,1,2,imjn 注注： 两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数； 乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。 一个必须注意的问题一个必须注意的问题： 1 若m sA，s nB，则m ss nAB成立，当mn时，s nm sBA不成立； 2 即使m nA，n mB，则m nn mAB是m阶方阵，而n mm nBA是n阶方阵； 3 如 果A，B都 是n阶 方 阵 ， 例 如2412A，24

9、36B， 则1632816AB，而0000BA； 综上所述，一般ABBA（即矩阵乘法不满足交换率） 。 但是下列性质显然成立： ()()AB CA BC，()()()ABA BAB， ()A BCABAC，()BC ABACA 几个运算结果：几个运算结果： 112121 122,nnnnbba aaaba ba bb 211 11 2122 12221212,nnnmmmmnaabababaa ba ba bb bbaa ba ba b 3若A为m n矩阵，E是m阶单位阵，则EAA；若E是n阶单位阵，则AEA。 1 线性变换的矩阵表示： 设111 11221221 122221 122nnnn

10、mmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxax， 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA，12nxxxx，12myyyy， 则 yAx 1 线性方程组的矩阵表示： 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb， 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA，12nxxxx，12mbbbb 则 Axb 矩阵的幂幂： 2AAA，32AAA，1nnAAA。 例：证明cossincossinsincossincosnnnnn 证：用归纳法：1n 时，显然成立，假定nk时成立

11、，则1nk时 1cossincossincossinsincossincossincoskk cossincossinsincossincoskkkk coscossinsincos sinsincossincoscos sinsinsincoscoskkkkkkkk cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)kkkk 从而结论成立。 由于cossinsincos是直角坐标旋转角度变换的系数矩阵， 故而cossinsincosn是旋转了n角度变换的系数矩阵。 四、转置四、转置 设111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA，记1121112222T12mmnnmnaaaaaa

12、aaaA 则称TA是A的转置矩阵转置矩阵。 显然， TT() AA，TTT()ABAB，TT()AA，TTT() ABB A 对称矩阵的定义：若矩阵A满足TAA（即i jj iaa） ，则称A是对称阵对称阵 例例：设A是m n矩阵，证明TA A是n阶对称阵，TAA是m阶对称阵。 例例：设T12( ,)nx xxx，且T1x x，E为n阶单位阵，T2HExx， 证明：H是对称阵，2HE。 证证：TTTTTTT(2)2()2HExxExxExxH，故H是对称阵。 2T2TTT(2)44HExxExxxx xx TTTTT44 ()44Exxx x x xExxxxE。 五、方阵的行列式五、方阵的行

13、列式 A为n阶方阵，其元素构成的n阶行列式称为方阵的行列式方阵的行列式，记为|A或detA。 显然， T| |AA，|nAA，| |ABAB。 例例：设 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA 记 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA， 其中i jA是i ja的代数余子式，*A称为A的伴随阵。 证明：*|AAA AA E。 证：设*()i jcAAC 11221|ni jijijinjnikjki jkca Aa Aa Aa AA *()(|) |() |i ji ji jcAACAAA E 设*()i jdA AD 112211|nni jijijni

14、njkikjkjkijikkdA aA aA aA aa AA *()(|) |() |i jjijidA ADAAA E。 六、共轭矩阵 i jaA为复矩阵，ija为ija的共轭复数，则称ijaA为A的共轭矩阵。 显然， ABAB，AA，ABAB。 4 矩阵分块法 例 设111213142122232431323334aaaaaaaaaaaaA 可按以下方式分块，每块均为小矩阵： 1112112122aaaaA，1314122324aaaaA，213132aaA，223334aaA 则11122122AAAAA 矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。 矩阵分块法的运算性

15、质： 1 加法： 设1111rssrAAAAA，1111rssrBBBBB， 则11111111rrsssrsrABABABABAB。 2 数乘： 设1111rssrAAAAA，是数，则1111rssrAAAAA。 3. 乘法： 设1111tm lsstAAAAA，1111rl nttrBBBBB，则m ll nm nABC 其中1111rssrCCCCB，1tijikkjkCA B，1,2,is，1,2,jr。 4. 转置： 设1111rssrAAAAA，则TT111TTT1srsrAAAAA。 5对角分块的性质： 设12sAAAA，其中12,sA A AA均为方阵，则12sAA AA。 若

16、A可逆，则111121sAAAA。 例 500031021A。求1A。 解 设15A，23121A，则12AAA 1115A，121123A，则111121005011023AAA。 几个矩阵分块的应用： 1 矩阵按行分块： 设111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA，记T12,iiiinaaa，1,2,im 则T1T2TmA 矩阵按行分块： 记12jjjmjaaaa，1,2,jn 则12,nAa aa。 2. 线性方程组的表示： 设11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 若记111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA，12nxxxx，12mbbbb 则线性方程组可表示为Axb。 若记T1T2TmA，则线性方程组可表示为T1T2Tmxb或T,(1,2,)iibim x。 若记12,nAa aa，则线性方程组可表示为121