理论力学达朗贝尔原理b

1、DBA例例4 如图所示，均质杆如图所示，均质杆AB的质量的质量m40 kg，长，长l4 m，点，点A以铰链连接于小车上。以铰链连接于小车上。不计摩擦不计摩擦，当小车以加速度当小车以加速度a15 m/s2向左运动时，求向左运动时，求D处处和铰链和铰链A处的约束力处的约束力(此时杆此时杆AB与与D处接触处接触)。解：以杆为研究对象，受解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。力如图，建立如图坐标。杆作平移杆作平移, 惯性力的大小为惯性力的大小为FIRma。假想地加上惯性力。假想地加上惯性力, 则由质点系的达朗贝尔原理则由质点系的达朗贝尔原理IR()0cos30sin300222ADMlllmgF

2、FFFIRA30DB1maaFDmgFAxFAyxyIR0sin300 xAxDFFFF0cos300yAyDFFFmg代入数据代入数据, , 解之得：解之得：617.9N357.82N39.47NAxAyDFFF DBAFIRaFDmgFAxFAyxy于是得于是得( cos30sin30 )DFm gaj jOxyCBA例例5 质量为质量为m, 长为长为l的均质直杆的均质直杆AB的一端的一端A焊焊接于半径为接于半径为r的圆盘边缘上的圆盘边缘上, 如图。今圆盘以角如图。今圆盘以角加速度加速度a a绕其中心绕其中心O转动。求圆盘转动。求圆盘刚开始转动刚开始转动时，杆时，杆AB上焊接点上焊接点A处

3、的约束力。处的约束力。解解: 以杆为研究对象以杆为研究对象, 受受力如图。力如图。t22( )2CCaaOClraa将惯性力系向将惯性力系向转轴转轴O简简化，惯性力的大小为化，惯性力的大小为a aOrABla amgaCFIRMIOFAxFAyMAa aOrABl22IR( )2ClFmam ra2I22222()1()1241()3OOCMJJm OClmlm rmlmraaaaj jOxyCBAa amgaCFIRMIOFAxFAyMA由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理IR0sin0 xAxFFFjIR0cos0yAyFFFmgjIIR()0sin02AAOlMMMmgFrj F

4、22sin4rlrj22cos24llrj将已知数值代入以上三式，解之得将已知数值代入以上三式，解之得AxFmra2AylFmgma21123AMmglmlaj jOxyCBAa amgaCFIRMIOFAxFAyMABCABMlC例例6 均质杆均质杆AB长长l，重，重W，B端与重端与重G、半径为、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力的力偶，借助于细绳提升重为偶，借助于细绳提升重为P的重物的重物C。试求固定。试求固定端端A处的约束力。处的约束力。解：先以解：先以轮和重物轮和重物为研究对象为研究对象, 受力如图。假想地加上惯性力受力如图。假想地加上惯

5、性力2I122BBGaGrMJragrgaIPFag由质点系的由质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理aMGFBxFByMIBPFIII()0()0BBMMMr PFF2()(2 )MPragr GP代入代入MIB 和和FI得得再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力00 xAxFFI00yAyFFWGPFI()0()()02AAIBMlMWGlMMPFlrFBCAaMGFAxFAyMIBPFIWMA A2()(2 )AyMrPFWGPPr GP()2()()2(2 )(2 )AWMrPrGMMlGMGlrPGPr GP代入代入MIB 和和FI解得解得由质点系

6、的由质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例例7 均质圆盘质量为均质圆盘质量为mA，半径为，半径为r。细长杆。细长杆长长l=2r，质量为，质量为m。杆端点。杆端点A与轮心为光滑铰与轮心为光滑铰接，如图所示。如在接，如图所示。如在A处加一水平拉力处加一水平拉力F，使，使轮沿水平面纯滚动。问力轮沿水平面纯滚动。问力F多大能使杆的多大能使杆的B端端刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦因数应为多大？间的静滑动摩擦因数应为多大？ FABC细杆刚离地面时仍为平移，地面细杆刚离地面时仍为平移，地面支持力变为零，设其加速度为支持力变为零，设其加速度为a。以杆为

7、研究对象，杆承受的力并以杆为研究对象，杆承受的力并加上惯性力如图所示，其中加上惯性力如图所示，其中FIC =maC=ma 。0AM ( F )sin30cos300marmgrga3解出解出解：解：按达朗贝尔原理列出方程按达朗贝尔原理列出方程FABCABCFICmgFAxFAy30a为求摩擦力，可以圆轮为研究对象为求摩擦力，可以圆轮为研究对象由方程由方程 ，得，得0)(FMAsI12AAFrMm ragmamFAA2321s解得解得ABC整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中FIAFICMIA2II1, 2AAAAAaFm aMm rr由方程由方程 得得0

8、,yF N()AFmm gmAgAFNFIAMIAFsmgmAgFFNFS 再以整个系统为研究对象，再以整个系统为研究对象，由方程由方程 ，得，得 0 xFgmmFFFFACA3)23(sII由此，由此，静滑动摩擦因数为静滑动摩擦因数为gmamFAA2321sssN32()AAFmfFmmmAgmgFABCFNFsFIAFICMIAmAgAFNFIAMIAFs11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 如图，以如图，以O为简化中心，为简化中心，所有主动力和所有主动力和惯性力系都向惯性力系都向该点简化，形该点简化，形成一空间任意成一空间任意力系，列平衡力系，列平衡方程方程

9、11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力IIIII0000000000 xAxBxRxxyAyByRyyzAzBzRzzxByAyzxyAxBxyyFFFFFFFFFFFFFFFMFOBFOAMMMFOAFOBMM由上述由上述5个方程解得轴承的全约束力为个方程解得轴承的全约束力为IIIIIIII1()()01()()01()()01()()0 AxyRxyxAyxRyxyBxyRxyxByxRyxyBzRzFMFOBMFOBABFMFOBMFOBABFMFOAMFOAABFMFOAMFOAABFF 这里把由于惯性力系的主矢这里把由于惯性力系的主矢FIR和主矩和主矩MI

10、O引起引起的轴承约束力的轴承约束力称称为为附加动约束力附加动约束力，要使之为零，要使之为零，必须有必须有00IIIIyxyxMMFF即要使即要使轴承轴承附加附加动约束力动约束力等于零的条件是：惯等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和轴和y轴轴的主矩等于零。的主矩等于零。由前面所得，即有由前面所得，即有II22II0,00,0 xCxyCyxxzyzyyzxzFmaFmaMJJMJJaa 因此，要使惯性力系的主矢等于零，必须因此，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即即转轴通过质心转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有。要使主矩等于零，必须有

11、Jxz=Jyz= 0 ，即，即刚体对转轴刚体对转轴z的惯性积等于零的惯性积等于零。如果刚体对通过某点的轴如果刚体对通过某点的轴z的惯性积的惯性积Jxz=Jyz=0，称称该轴为过该点的惯性主轴该轴为过该点的惯性主轴，通过质心的惯性，通过质心的惯性主轴成为主轴成为中心惯性主轴中心惯性主轴。则上述结论可表达。则上述结论可表达为为避免出现轴承附加动约束力的条件为是避免出现轴承附加动约束力的条件为是:刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。 静平衡：静平衡：刚体转轴过质心，刚体在刚体转轴过质心，刚体在仅受重力而不受其它主动力时，则不论仅受重力而不受其它主动力时，则不论位置如何，总

12、能平衡。位置如何，总能平衡。静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 动平衡的刚体，一定是静平衡的；动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。衡的。 动平衡：动平衡：转轴为中心惯性主轴时，转轴为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。转动时不产生附加动反力。例例8 质量不计的转轴以角速度质量不计的转轴以角速度 匀速转动，匀速转动，其上固结着两个质量均为其上固结着两个质量均为m的小球的小球A和和B。指出。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？动平衡的？静平衡：静平衡： (a)、

13、(b)动平衡：动平衡： (a) 例例9 设均质转子重设均质转子重 P，质心，质心 C 到转轴的距离到转轴的距离是是e，转子以匀角速度，转子以匀角速度 绕水平轴转动，绕水平轴转动，AO=a，OB=b (图图a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心求当质心C 转到最低位置时轴承所受的约束力。转到最低位置时轴承所受的约束力。 b a e z C O B A ( a )解解: 转子的惯性力可简化为作用在点转子的惯性力可简化为作用在点O 的一个的一个力力 FIO ，大小等于，大小等于2IOWFeg方向沿方向沿 OC。当质心。当质心 C 转到最低位置时，轴上转到最低位置

14、时，轴上实际所受的力如图实际所受的力如图 b所示。所示。 b a e z C O B A b a e z C O B A( b )PF BFA根据动静法写出平衡方程根据动静法写出平衡方程II0 ,()()0(1)0 ,()()0(2)BOAABOMPFbF abMF abPFa由式由式 (1) 和和 (2) 解得解得22(1)(1)ABbeFPabgaeFPabg两轴承所受的力分别和两轴承所受的力分别和 FA 、FB 的大小相等而的大小相等而方向相反。方向相反。 b a e z C O B A( b )PF BFA训练题训练题 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动

15、的圆柱体和鼓轮圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P1和和P2，半径均为半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角面倾角q q ，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试，试求：求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？绳子的拉力？ (3)轴承轴承O处的约束力？处的约束力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦圆柱体与斜面间的摩擦力（力（不计滚动摩阻不计滚动摩阻）？）？(用达朗贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解)解：解：OOORgPJMaa22I21列出方程：列出方程：(3) 0 sin0(2) 0cos0(1) 0 , 0)(T2TITqqFP , FFF , FFMMRFMyyxxOFAARgPMagPFa21IA1I21 , 取轮取轮A为研究对象，虚加惯性为研究对象，虚加惯性力力 和惯性力偶和惯性力偶MIA如图示。如图示。IF取轮取轮O为研究对象，虚加惯性力偶为研究对象，虚加惯性力偶列出方程：列出方程：(5) 0sin , 0(4) 0sin , 0)(1SITITI1qqPFFFFMRFRF