2020年秋人教版七年级上思维特训(四)含答案：绝对值与分类讨论

1、思维特训 ( 四)绝对值与分类讨论方法点津·1由于去掉绝对值符号时， 要分三种情况： 即正数的绝对值是它本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论a（ a>0 ），用符号表示这一过程为：|a| 0（ a 0）， a（ a<0） .2由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点 )有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论用符号表示这个过程为：若|x| a(a>0) ，则 x ±a.3分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为： 分类； 讨论； 归纳典题精练

2、·类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论1已知点 A 在数轴上对应的数是a，点 B 在数轴上对应的数是b，且 |a 4| (b 1)20.现将点 A ， B 之间的距离记作|AB| ，定义 |AB| |a b|.(1)|AB| _ ；(2)设点 P 在数轴上对应的数是x，当 |PA| |PB| 2 时，求 x 的值2我们知道：点A， B 在数轴上分别表示有理数a， b，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上 A ，B 两点之间的距离 AB |a b|，所以式子 |x3|的几何意义是数轴上表示有理数 3 的点与表示有理数 x 的点之间的距离根据上述材料，回答下列问题：(1)|5

3、( 2)|的值为 _；(2)若 |x 3| 1，则 x 的值为 _；(3)若 |x 3| |x 1|，求 x 的值；(4)若 |x 3| |x 1| 7，求 x 的值类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题3在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a， b， c 满足 abc 0，求 |a|a |b|b |c|c的值【解决问题】解：由题意，得a， b， c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数当 a，b，c 都是正数， 即 a 0，b 0，c 0 时，则|a|b|c| a b

4、c 1 11abc a b c|a| |b| |c|3；当 a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a 0，b 0，c0，则 a b ca bca b c 1 11 1.|a|b|c|所以的值为 3或1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：|a|b|c|(1)三个有理数a， b， c 满足 abc 0，求 a b c 的值；(2)已知 |a| 3， |b| 1，且 a b，求 a b 的值4在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：|6 7|6 7； |6 7| 7 6； |76| 7 6； |6 7| 6 7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形

5、式： |7 21| _； | 12 0.8| _；7 7 17 18 _11|1111.(2)用合理的方法计算： |2018 | |100952018225探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“”“”或“”)： | 2| |3|_| 2 3|；1111 | 2| | 3|_| 2 3|； |6| |3|_|6 3|； |0| |8|_|0 8|.(2)通过以上比较， 请你分析、 归纳出当 a，b 为有理数时， |a| |b|与 |a b|的大小关系 (直接写出结论即可 )(3)根据 (2) 中得出的结论，解决以下问题：当|x| |2020| |x 2020|时，求 x 的取值范围详解详析1

6、解： (1) 因为 |a 4|( b 1)2 0，所以 a 4， b1，所以 |AB| |a b| 5.(2)当点 P 在点 A 左侧时， |PA| |PB| (|PB | |PA|) |AB| 52，不符合题意；当点 P 在点 B 右侧时， |PA| |PB | |AB| 5 2，不符合题意当点 P 在点 A， B 之间时， |PA| |x ( 4)| x 4， |PB | |x 1| 1 x.因为 |PA| |PB| 2，所以 x 4 (1 x) 2，解得x 1.22 解： (1)7(2)因为 |x 3|1，所以 x 3 ±1，解得 x 2 或 4.故 x 的值为 2 或 4.(

7、3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在 1 与 3 之间，故x3 0， x1 0，所以原式可化为3 x x1，所以 x 1.(4)在数轴上表示3 和 1 的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在应点的左边或3 的对应点的右边1 的对若 x 的对应点在1 的对应点的左边，则原式可化为3 x x 1 7，解得x 2.5；若 x 的对应点在3 的对应点的右边，则原式可化为x 3 x 1 7，解得x4.5.综上可得， x 的值为 2.5 或 4.5.3 解： (1) 因为 abc 0，所以a， b， c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数当a， b， c 都为负数，即a 0， b 0， c

8、 0 时，|a| |b| |c| 则 a b c aa bb cc 1 1 1 3；当a， b， c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a0， b 0， c 0，|a| |b| |c| 则 a b c abc 1111.abc综上所述，|a| |b| |c|的值为 a b c3 或1.(2)因为 |a| 3， |b| 1，且 a b，所以 a 3， b 1 或 1，则 a b 2 或 4.4 解： (1)21 70.8177 21718(2)原式111111152018 .220182100955 解： (1) 因为 | 2| |3|5， | 2 3| 1，所以 |2| |3| | 2 3|.1151151111因为 | 2| 3|6， |23|6，所以 |2| |3| |23|.因为 |6| | 3| 6 39， |6 3| 3，所以 |6| | 3| |6 3|.因为 |0| | 8| 8， |0 8| 8，所以 |0| | 8| |0 8|.(2)当 a， b 异号时， |a| |b| |a b|；当 a， b 同号