第三章小波变换

1、etitfRdtetitfF),()()()( , )( ) ()i tGfbf t w tbdteR(,)()ittbw tbwe，则： ),(),()()(),)(btwtfRdtetibtwtfbGf可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄，高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。 为此，定义窗函数的一般形式为： 它是经过平移和放缩的结果。 )(2/1)(batatabw1/2( )()tbtwaaba（其他形式( ) t( ) tab( ) t( ) tabt)(t)3( t0136t0136t01365.1)21(t)321(t)2( t

2、)32(t2a1a21a_( , )( )( )a bf tt dtWfabR( ) tab( ) tba)(/2/ 1)(aeabiaab( ) t( ) tab20)()(2)(220)(tdtRtdtRtabtab( ) t_1 ( ) ( )( ) ( )2F f t F g t df tt dtgRR_1( , )( )( )( )( )2_1/ 21/ 2/()()()(22_1/ 21/ 2(22()()abRRabibWf a bf tt dtF f ttdaaib aibfdf adeeRRaaadaFRfFaef_)()( )ba定义)(/2/ 1)(aeabiaab)()

3、(_22/1)(_)(),(bagFadtRttgbagWab_1/21/2( , )( , ) () ( )( ) () ( )( )22_1 () ( )( ) () ( )( )22_ () ( ) () ( )2aaWWa ba b dbabFabdbFgfgfRRaab Fab dbFfgRaaadfgR_1 ( ) ( )( ) ( )2F f t F g t df tt dtgRR用到公式用到公式_11( , )( , ) () ( ) () ( )22_11( )() () ()( ) ( ) ( )( ) ( )22aWWa ba b dbdaaaddafggfaaR RRR

4、daad adf tt dtffgccggRRRR_1( , )( , ) () ()WW ababdb daf tt dtgcgfaR RR 式中： c ( )()g ttx令，其他0, 0/1)(xx000)(lim)(0 xxxx 1)(dxx0，000)(xxx 1)( dxx)0()()(fdttft)()()(00tfdttftt0001)(xtth)()()()(thdtttdttdht1)(tF)(2121tdedetiti)(21210)()00ttdedettitti（( )h t)()()()(_)()(_)(_)(),(xfRdtxttfRdttgtfxdttRxtba

5、Wgabab_1( , )( , ) ( ) ( )( )1( )( , )/abWWa ba bdbdaf tt dtf tgcCgfaR RRf tWa bdbdaCfaR R 2( ) tdtR( ) c 0(0)( )0t dtR2()RCd 0( )( )(0)( )( )0i tRi tRRt edtt edtt dt 这一结论指出， (t) 的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。( ) tab*tt*21*( )2( )01 / 2221*( )()2( )021*()2()01 / 2212*()()2()0ttd tta bRta btd ttta btRta bda bRa

6、 bda bRa b*t*() t221/222( )( )()022( )( )()()00RRRttdtaatbdtababtxatbd atb，*2112*( )( )22( )( )001122( )( )22( )( )001)(at xxbttdtxdxtabaxRRtabxbxdxxdxaaxxRRbat* 21/2*21/2*21/2*21/212 ()( )( )01112 ()()( )0112 ()()()( )01112 ()( )( )( )0tat b xtttdtabtabRbtatbdtaaatabRatbatbd atbaatabRxxd xataRttt 2

7、22200()()()()RRdda ba baa2221/221/200221/20*111 (*)() ()()()()*1 ()()()abRRababRabdadaaadaaa)(/2/1)(aeabiaab221()()aa ba*22*22002201()()()()()()abRRaRababaddaaaada( ) t( ) tab( ),tj k*, t*1(), bata*1*(), 22jktj22a22j*a*2j22a22j44 4*11(),() *,bbaaaaaattaa 1时移性质若f(t) 的CWT 是 Wf (a,b) ，那么f(t ) 的CWT 是Wf(

8、a,b a ) 。证明：令，g(t) = f(t ) ，则1/21/21/2( , )()()()( )( ,)()( () ()( ()gRRfRW a bf tadtf tad tf t adtW a b aat ba tb aatb a ),(),()(10)()(,0tbaWbaWabtatfttfba时：使用2 尺度转换性质如果f(t) 的CWT 是Wf (a,b) ，令g(t) = f(t)，则1/21( , )(, )gfaW a bWb证明：证明：1/21/21/21/21/21/21/21/2( , )()()( )()11()( )()( )( )1(, )()()()()

9、gRRRRfaW a bft adtftdtaaftdtf tdtaWbaat bt baat btb该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在a 轴上同时要作相反比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。),(1),()()(baWbaWtftf3 微分性质4 小波变换的内积（乘积）定理(Parseval等式）_1( , )( , ) ( ) ( )WWa ba b dbdaf tt dtgcgfaR RR 221( , )()W ab db daf t dtcfaR RR ()()g tf t如果令如果令该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度位移平面上的加权

10、积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时频分布的一种表示形式。( )f t( , )fWa b( )g t( , )gW a b1212( , )( , )( , )k fk gfgWa bkWa bk Wa b12_1/212_1/21/21212( , )( )( )( )( )( , )( , )()()()k fk gfgWa bk f tk g t adtkf t adtkg t adtkWa bk W a bat bat bat b 由前面的讨论可知，作为一个小波的函数 (t) ，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限

11、支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波 (x)形成的 a b (t ) , 是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望 (x)有高阶的消失矩，希望与 (x)相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓的“经典小波”，在MATLAB 中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis 构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies 构造的双正交小波。 (t) 的

12、傅里叶变换是：Haar 小波有很多好的优点，如：（1） Haar 小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；（2） 若取a = 2 j , j Z + ,b Z ，那么Haar 小波不但在其整数位移处是正交的，即 = 0， 而且在j 取不同值时也是两两正交的，即 = 0（3） Haar 波是对称的。我们知道，离散的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar 小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；（4）Haar 小波仅取1 和1，因此计算简单。Morlet 小波定义为其傅里叶变换它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分

13、析的信号一般是实信号，所以在MATLAB 中将其式改造为： 并取 0 = 5 。该小波不是紧支撑的，理论上讲t 可取 + 。但是当 0 = 5 ，或再取更大的值时， (t) 和() 在时域和频域都具有很好的集中。Morlet 小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。3 .Mexican hat 小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr 小波。它定义为该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图help mexihat4Gaussian 小波高斯小波

14、是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k 取偶数时 (t) 正对称，当k 取奇数时， (t) 反对称。上图给出了k = 4 时的 (t) 的时域波形及对应的频谱。1Daubechies 小波Daubechies 小波简称db 小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies 于90 年代初提出并构造的。Daubechies 对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度a 取2 的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）深受同行们的欢迎。dbN 中

15、的N 表示db 小波的阶次， N = 2 10 .当N = 1时，db1 即是Haar 小波。因此，前述的Haar 小波应归于“正交小波”类。Daubechies 计算出了N = 2 10 时的 (t),h 0,h 1 , g 0及 g 1 。在MATLAB5.3 中， N 的阶次还可以扩展。db 小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。 (t) 的支撑范围在t = 0 (2N 1) ， (t) 的支撑范围在(1 N) N 。小波 (t) 具有N 阶消失矩，() 在 = 0 处具有N 阶零点。但db 小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。2. 对称小波

16、对称小波简记为symN， N = 2,3,L,8 ，它是db 小波的改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有db 小波的特点外，主要是 (t) 是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。下图是N = 4时的对称小波。3. Coiflets 小波该小波简记为coifN， N = 1,2,5.在db 小波中，Daubechies 小波仅考虑了使小波函数 (t) 具有消失矩（ N 阶），而没考虑尺度函数 (t) 。R.Coifman 于1989 年向Daubechies 提出建议，希望能构造出使 (t) 也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。Daubechies 接受了这一建议，构

17、造出了这一类小波，并以Coifman 的名字命名。coifN 是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为6N 1，也是接近对称的。 (t) 的消失矩是2N ， (t) 的消失矩是2N 1。下图是N = 4时的coif4 小波。4Meyer 小波Meyer 小波简记为meyr，它是由Meyer 于1986 年提出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。Meyer 小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在8，8之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。下图给出了Meyer 小波的尺度函数 (t) 和小波函数 (t) 。两通道正交镜像滤波器组具有仿酋性质

18、。满足这一条件的分析滤波器H 0(z) 和H 1(z ) 是功率对称的，且h 0(n) 和h 1(n) 之间有着正交性，再是h 0(n) ，h 1(n) ， g 0(n) ，g1(n)有着同样的长度，都不是线性相位的。为了取得线性相位的滤波器组，我们需放弃H 0(z ) 的功率互补性质。这也就放弃了h 0(n)和h 1(n)之间的正交性，代之的是双正交关系。 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的 (t) ， (t) 和 h 0 ,h 1, g 0与 g 1都不具有线性相位（Haar 小波除外）。为此，Daubechies 和Cohen 提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr 是低通重建滤波器的阶次， Nd 是低通分解滤波器的阶次。在MATLAB 中， Nr 和Nd 的可能组合是：Nr =1, Nd =1,3,5 Nr =2, Nd =2,4,6,8Nr =3, Nd =1,3,5,7,9 Nr =4, Nd =4Nr =5, Nd =5 Nr =6, Nd =8这一