高等材料力学第六章平面问题ppt课件

1、第六章第六章 平面问题平面问题 直角坐标直角坐标解解 工程构造的某些特殊方式，经过适当简化和力学模型的笼统处置，可以归结为弹性力学的平面问题。例如水坝，受拉薄板等。平面问题的特点是某些根本未知量被限制在平面内发生的。目录目录6.1 6.1 平面问题的根本方程平面问题的根本方程6.2 6.2 应力函数逆解法与半应力函数逆解法与半逆解法逆解法6.3 6.3 梁的平面弯曲梁的平面弯曲6.4 6.4 三角级数解三角级数解6.1 平面问题的根本方程平面问题的根本方程平面问题平面问题 平面应变平面应变平面应力平面应力变形与应力变形与应力根本方程根本方程应力解法应力解法根本方程根本方程6.1 根本方程根本方

2、程2构件几何外形特征构件几何外形特征:具有很长的纵向轴的柱体，具有很长的纵向轴的柱体，横截面大小和外形沿轴线不变；横截面大小和外形沿轴线不变；外力与轴线垂直并且沿轴线不变；外力与轴线垂直并且沿轴线不变；柱体的两端受固定约束。柱体的两端受固定约束。可以假设柱体是无限长的。可以假设柱体是无限长的。恣意横截面都是构造对称面。恣意横截面都是构造对称面。变形时，横截面上的各点只能在其本身平面内挪动。变形时，横截面上的各点只能在其本身平面内挪动。平面应变问题平面应变问题 6.1 根本方程根本方程3平面应变问题平面应变问题 6.1 根本方程根本方程4平面应变问题平面应变问题 平面应变问题的物理方程平面应变问

3、题的物理方程平面应变问题只需应力平面应变问题只需应力x，y，z=(x+y)和和xy不等于零，而不等于零，而且这些应力均为且这些应力均为x，y的的函数，与坐标函数，与坐标z无关。无关。6.1 根本方程根本方程5位移分量位移分量u=u (x , y), v=v (x , y), w=0 。 平面应变问题平面应变问题 应力分量应力分量x，y，z=(x+y)和和xy不等于零，不等于零，而且这些应力均为而且这些应力均为x，y的函数，与坐标的函数，与坐标z无关。无关。应变分量应变分量 x， y，xy 均为坐标均为坐标x,y的函数，而其他应的函数，而其他应变分量变分量z = xz= yz = 0。 6.1

4、根本方程根本方程6平衡微分方程平衡微分方程 平面应变问题平面应变问题_ _根本方程根本方程 几何方程几何方程平面应变本构关系平面应变本构关系 6.1 根本方程根本方程7变形协调方程变形协调方程 平面应变问题平面应变问题_ _根本方程根本方程 面力边境条件面力边境条件应力解法应力解法_应力分量表示变形协调方程应力分量表示变形协调方程将物理方程带入变形协调方程将物理方程带入变形协调方程6.1 根本方程根本方程8平面应变问题平面应变问题_ _根本方程根本方程 应力解法应力解法_应力分量表示变形协调方程应力分量表示变形协调方程膂力为常量情况下膂力为常量情况下xy0)(2yx莱维莱维Lvy方程方程 6.

5、1 根本方程根本方程9构件几何外形特征构件几何外形特征:薄板薄板,厚度为厚度为h；外力平行于中面外力平行于中面,沿厚度均匀分布；外表不受外力作用。沿厚度均匀分布；外表不受外力作用。外表面力边境条件外表面力边境条件:平面应力问题平面应力问题 0, 0, 0222hhhzyzzxzzz薄板厚度很小薄板厚度很小,应力分量均匀分布应力分量均匀分布z = 0, xz=0, yz=0 x，y， xy均为均为x， y的函数的函数6.1 根本方程根本方程10平面应力问题平面应力问题 平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程平面应力问题只需应变平面应力问题只需应变x，y，z和和xy不等不等于零，而且这些应变

6、均为于零，而且这些应变均为x，y的函数，与坐标的函数，与坐标z无关。无关。6.1 根本方程根本方程11平衡微分方程平衡微分方程 平面应力问题平面应力问题_ _根本方程根本方程 几何方程几何方程平面应力本构关系平面应力本构关系 6.1 根本方程根本方程12变形协调方程变形协调方程 平面应力问题平面应力问题_ _根本方程根本方程 面力边境条件面力边境条件0)(2yx平衡微分方程，几何方程，变形协调方程以平衡微分方程，几何方程，变形协调方程以及面力边境条件一样。及面力边境条件一样。平面应力与平面应变的不同主要在本构方程，平面应力与平面应变的不同主要在本构方程，留意到留意到 vvvvEE11121二者

7、之间的差别只是一个常数。二者之间的差别只是一个常数。因此，不论平面应力还是平面应变问题，假因此，不论平面应力还是平面应变问题，假设物体截面外形及侧面受力一样，那么根本设物体截面外形及侧面受力一样，那么根本方程和边境条件一样。方程和边境条件一样。 平面问题根本方程平面问题根本方程6.1 根本方程根本方程13vvvvEE11121留意到留意到 二者未知应力应变关系表二者未知应力应变关系表达式只是常数的不同。达式只是常数的不同。 平面应变与平面应力问题的差别平面应变与平面应力问题的差别z向位移向位移wz向正应力向正应力sz正应变分量正应变分量)(yxzvw=0w00)(1)(1zzxyyzyxxvE

8、vE)()(1)(1yxzxyyyxxEvvEvE0z6.1 根本方程根本方程146.1 根本方程根本方程15常膂力下的根本方程常膂力下的根本方程 平面问题平面问题_ _应力函数解法应力函数解法 通解通解 + 特解特解 0)(2yx特解：特解：6.1 根本方程根本方程16齐次方程的通解齐次方程的通解 平面问题平面问题_ _应力函数解法应力函数解法 引入恣意函数引入恣意函数yxf,6.1 根本方程根本方程17平衡微分方程的解平衡微分方程的解 平面问题平面问题_ _应力函数解法应力函数解法 应力分量还需满足变形协调方程应力分量还需满足变形协调方程 0)(2yx应力函数使得平面问题归结为在给定的边境

9、应力函数使得平面问题归结为在给定的边境条件下求解双调和方程。条件下求解双调和方程。f fx, y)x, y)称艾雷称艾雷AiryAiry应力函数，应力函数，简称应力函数。简称应力函数。 平面应力问题的近似性平面应力问题的近似性假设物体截面外形及侧面受力一样，平面假设物体截面外形及侧面受力一样，平面应力和平面应变问题的根本方程和边境条应力和平面应变问题的根本方程和边境条件也一样。件也一样。因此具有一样的应力解。因此具有一样的应力解。但是二者但是二者z z方向的正应力不同；方向的正应力不同；应变和位移表达式不同。应变和位移表达式不同。平面应力问题解的近似性。平面应力问题解的近似性。 6.1 根本方

10、程根本方程18平面应力问题的近似性平面应力问题的近似性讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其他五个方程未做检验。他五个方程未做检验。平面应变问题是完全满足的平面应变问题是完全满足的平面应力问题平面应力问题-第四，五两式自动满足第四，五两式自动满足-第二，三，六式还要求第二，三，六式还要求6.1 根本方程根本方程19这要求这要求x+y满足线性分布。这只需均匀应力分布，满足线性分布。这只需均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。经过双调和方程和边境条件得到的弹性力学解，普通是经过

11、双调和方程和边境条件得到的弹性力学解，普通是不能够满足此条件的。不能够满足此条件的。对于薄板问题，对于薄板问题，z很小，可以以为很小，可以以为z近似为零。这样近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解6.1 根本方程根本方程20cbyaxz)(yxzE误差与板厚的平方成正比。误差与板厚的平方成正比。薄板问题误差可以忽略不计薄板问题误差可以忽略不计平面应力问题解的近似性的了解平面应力问题解的近似性的了解无法的选择无法的选择6.1 根本方程根本方程21),(),(fyxzyxf22)1 (2z误差项6.2 应力函数应力函数逆解与半逆解法逆解与半逆

12、解法平面问题应力解的未知函数为平面问题应力解的未知函数为3 3个应力分量个应力分量求解求解2 2个平衡微分方程和个平衡微分方程和1 1个变形协调方程个变形协调方程利用应力函数可以简化为一个未知应力函数利用应力函数可以简化为一个未知应力函数对应一个根本方程对应一个根本方程yxxyxyyxf22f22f2yxxFyFbb膂力为膂力为0 0膂力为常数膂力为常数应力函数使得平面问题归结为在给定的边境应力函数使得平面问题归结为在给定的边境条件下求解双调和方程。条件下求解双调和方程。f fx, y)x, y)称艾雷称艾雷AiryAiry应力函数，应力函数，简称应力函数。简称应力函数。 6.2 应力函数应力

13、函数2024f422f44f4f22yyxx根本方程应力函数的物理意义及边境条件表示应力函数的物理意义及边境条件表示平面问题的求解有赖于应力函数平面问题的求解有赖于应力函数选取应力函数是求解问题的关键选取应力函数是求解问题的关键应力函数的边境性质应力函数的边境性质6.2 应力函数应力函数3应力函数的物理意义及边境条件表示应力函数的物理意义及边境条件表示6.2 应力函数应力函数4AB应力函数的物理意义及边境条件表示应力函数的物理意义及边境条件表示6.2 应力函数应力函数5AB从定点从定点A到动点到动点B作积分作积分 线性项线性项ax+by+c对对于应力分量于应力分量没有影响没有影响应力函数对应力

14、函数对x，y的一阶偏导数分的一阶偏导数分别等于作用力合别等于作用力合力在力在x轴和轴和y轴负轴负向的投影向的投影 应力函数的物理意义及边境条件表示应力函数的物理意义及边境条件表示6.2 应力函数应力函数6AB应力函数的全微分应力函数的全微分从定点从定点A到动点到动点B作分部积分作分部积分 应力函数的物理意义及边境条件表示应力函数的物理意义及边境条件表示6.2 应力函数应力函数7AB线性项线性项ax+by+c对于应力分量没有影响对于应力分量没有影响边境上恣意点的应力边境上恣意点的应力函数等于由任一定点到函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的该点的作用力对该点的力矩力矩应力函数的物理意义及边境条

15、件表示应力函数的物理意义及边境条件表示应力函数的物理意义应力函数的物理意义6.2 应力函数应力函数8BAxBBAyBBsFyysFxxd)(d)(ssfsFxsFyBAyBBAxBd)(d)(sfsf应力函数对应力函数对y的偏导数等于边的偏导数等于边境由定点到该动点的境由定点到该动点的x方向合方向合力。力。应力函数对应力函数对x的偏导数等于边的偏导数等于边境由定点到该动点的境由定点到该动点的-y方向合方向合力。力。边境上恣意点的应力函数等边境上恣意点的应力函数等于由任一定点到该点的合力对于由任一定点到该点的合力对该点的力矩；该点的力矩； 上述关系来源于面力边境条上述关系来源于面力边境条件，因此

16、应力函数表达的件，因此应力函数表达的3个个关系式中只需两个是独立的。关系式中只需两个是独立的。逆解法逆解法根本思想对于某些矩形边境并不计膂力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足根本方程双调和方程，求出应力分量，并由边境条件确定这些应力分量对应边境上的面力，从而该应力函数所能处理的问题。利用逆解法了解应力函数性质。6.2 应力函数应力函数9一次多项式一次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数10cbyaxyxf,022f满足满足应力分量应力分量对应无应力形状对应无应力形状在应力函数中添加或减少一个在应力函数中添加或减少一个x，y的线性函数，将不影呼

17、应的线性函数，将不影呼应力分量的值。力分量的值。二次多项式二次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数1122,cybxyaxyxf022f满足满足应力分量应力分量对应均匀应力形状对应均匀应力形状三次多项式三次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数123223,dycxyybxaxyxf022f满足满足应力分量应力分量对应线性应力形状对应线性应力形状四次多项式四次多项式逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数13432234,eydxyycxybxaxyxf022f满足满足应力分量应力分量应

18、力形状可以是均匀的应力形状可以是均匀的,线性分线性分布的布的,或是二次抛物线分布的或是二次抛物线分布的.3a + c + 3e = 0线性函数二次函数三次函数四次函数应应力力函函数数0应力形状可以删除均匀应力形状线性应力形状二次应力形状只需4个系数独立逆解法逆解法- -多项式应力函数多项式应力函数6.2 应力函数应力函数146.3 6.3 梁的平面弯曲梁的平面弯曲半逆解法半逆解法力学模型力学模型边境条件边境条件悬臂梁悬臂梁主要边境主要边境次要边境次要边境位移边境条件位移边境条件问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边境条件问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边境条件应力函数应

19、力函数悬臂梁悬臂梁f(y)为为y的恣意函数的恣意函数 6.3 平面弯曲平面弯曲2应力求解应力求解悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲3自动满足自动满足自动满足自动满足所得应力分量与资料力学解完全一样所得应力分量与资料力学解完全一样变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲4应力函数描画的应力函数描画的变形是协调的变形是协调的变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲5m,n,c,d由边境条件确定由边境条件确定位移边境条件位移边境条件约束条件太剧烈！约束条件太剧烈！很难满足很难满足变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲6假定左端截面的形心不能挪动假定

20、左端截面的形心不能挪动-平动约束平动约束运用圣维南原理简化位移边境条件运用圣维南原理简化位移边境条件转动约束转动约束:1:左端面形心处的程度微分线段被固定左端面形心处的程度微分线段被固定;2:左端面形心处的垂直微分线段被固定左端面形心处的垂直微分线段被固定.变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲71:挠曲线方程挠曲线方程左端面变形为三次曲面左端面变形为三次曲面变形与位移变形与位移悬臂梁悬臂梁6.3 平面弯曲平面弯曲72:挠曲线方程挠曲线方程左端面变形为三次曲面左端面变形为三次曲面 悬臂梁受均匀分布荷载作用悬臂梁受均匀分布荷载作用n可以采用多项式的叠加求解可以采用多项式的叠加求

21、解n从应力与荷载的关系入手从应力与荷载的关系入手假定假定)(yfy)(22yfx悬臂梁悬臂梁)(22yfx)()(1yfyxfx)()()()(2212ayfyxfyfx022nf1(y),f2(y)是是y的恣意函数的恣意函数nx的二次方程的二次方程,有无穷多个根有无穷多个根悬臂梁悬臂梁)(22yfx)(610)(23452cKyHyyByAyfn(b),(c)带入带入(a)()(23bDCyByAyyf)()(231bGyFyEyyf)()()()(2212ayfyxfyfx悬臂梁悬臂梁n应力分量应力分量n边境条件边境条件悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁半逆解法半逆解法力学模型力学模型边境条件边境条

22、件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲8应力函数应力函数简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲9由资料力学分析可知：由资料力学分析可知：弯曲正应力主要是由弯弯曲正应力主要是由弯矩引起的；弯曲切应力矩引起的；弯曲切应力主要由剪力引起的；而主要由剪力引起的；而挤压应力应由分布载荷挤压应力应由分布载荷引起的。引起的。假设假设应力函数应力函数简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲10应力与边境条件应力与边境条件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲11由于由于y轴是构造和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于轴是构造和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于y轴，轴，因此因此x和和y应该是应该是x的偶函数，而

23、的偶函数，而xy应为应为x的奇函数的奇函数 E = F = G = 0 应力与边境条件应力与边境条件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲12首先思索上下两边的边境条件首先思索上下两边的边境条件应力与边境条件应力与边境条件简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲13思索左右两端面的面力边境条件思索左右两端面的面力边境条件对称性对称性-右端面右端面q=0 圣维南原理圣维南原理满足满足应力分析应力分析简支梁简支梁6.3 平面弯曲平面弯曲14截面惯性矩截面惯性矩静矩静矩弯曲内力弯曲内力三角形水坝三角形水坝力学模型应力函数6.3 平面弯曲平面弯曲15体内任一点的应力分量都将由两体内任一点的应力分量都将由两部

24、分组成：部分组成： 1:重力引起的，该当与楔形体的重力引起的，该当与楔形体的单位体积分量单位体积分量 g 成正比；成正比；2:液体压力引起的，与液体的单液体压力引起的，与液体的单位体积分量位体积分量 g成正比。成正比。应力分量还和应力分量还和，x，y 等有关。等有关。 ij为为x，y的纯一次式，的纯一次式，应力函数该当是应力函数该当是x，y的纯三次式的纯三次式 三角形水坝三角形水坝应力函数6.3 平面弯曲平面弯曲16应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，思索面力边境条件可以确定各个待定系数思索面力边境条件可以确定各个待定系数膂力分量膂力分量Fb

25、x=0，Fby= g 三角形水坝三角形水坝面力边境条件6.3 平面弯曲平面弯曲17x=y tana 三角形水坝三角形水坝应力分量6.3 平面弯曲平面弯曲18资料力学资料力学没有挤压没有挤压应力分析应力分析.与资料力学与资料力学偏心紧缩应偏心紧缩应力一样力一样.资料力学弯资料力学弯曲切应力按曲切应力按抛物线分布抛物线分布.莱维解，在工莱维解，在工程上作为三角程上作为三角形重力坝的根形重力坝的根本解答本解答 6.4 6.4 平面问题平面问题的三角级数解的三角级数解弹性力学的经典问题，可以经过半逆解法选取多弹性力学的经典问题，可以经过半逆解法选取多项式的应力函数。项式的应力函数。这种方法要求弹性体主

26、要边境作用的载荷必这种方法要求弹性体主要边境作用的载荷必需延续，而且也能表示成代数多项式的方式。需延续，而且也能表示成代数多项式的方式。边境条件的限制边境条件的限制载荷不延续，不能运用半逆解法载荷不延续，不能运用半逆解法.采用三角级数表示的应力函数求解采用三角级数表示的应力函数求解6.4 三角级数三角级数2带入双调和方程带入双调和方程同除同除XxYy0)()()()()()(2)()()4()2()2()4(yYyYyYxXyYxXxXxX对对y求一求一阶偏导数阶偏导数0)()()()()()(2)4()2()2(yYyYyYyYxXxX假设上式成立，那假设上式成立，那么么2)2()4()2()()(2)()()()(yYyY