工程力学二轴向拉伸与压缩

1、第二章第二章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 本章研究拉压杆的内力、应力、变形以及材料在拉伸与压缩时的力学本章研究拉压杆的内力、应力、变形以及材料在拉伸与压缩时的力学性能，并在此基础上，分析拉压杆的强度与刚度问题，研究对象涉及拉压静性能，并在此基础上，分析拉压杆的强度与刚度问题，研究对象涉及拉压静定与静不定问题。此外，本章还研究拉压杆连接部分的强度计算。定与静不定问题。此外，本章还研究拉压杆连接部分的强度计算。2.1 轴向拉压的基本概念轴向拉压的基本概念 轴力与轴力图轴力与轴力图2.2 拉压杆的应力与圣维南原理拉压杆的应力与圣维南原理2.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性

2、能2.4 失效、许用应力与强度计算失效、许用应力与强度计算2.5 胡克定律与拉压杆的变形胡克定律与拉压杆的变形2.7 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题 2.8 温度应力与装配应力温度应力与装配应力 * 2.9 应力集中的概念应力集中的概念2.6 轴向拉伸或压缩的应变能轴向拉伸或压缩的应变能2.1 轴向拉压的基本概念轴向拉压的基本概念 轴力与轴力图轴力与轴力图一、工程实例一、工程实例二、概念二、概念1 1、计算简图：、计算简图：2 2 、轴向拉压的受力特点、轴向拉压的受力特点 作用于杆件上的外力或外力合力的作用线作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。与杆件轴线重合。 3 3、轴

3、向拉压的变形特点、轴向拉压的变形特点杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。三、轴向拉压杆件的内力计算三、轴向拉压杆件的内力计算FFmnmnF, 0ixF0 FFNFFNmnFNF注意：注意：1 1）轴向拉压杆横截面上的内力为）轴向拉压杆横截面上的内力为轴力轴力2 2）轴力的正负号规定：）轴力的正负号规定： 以拉为正，以压为负以拉为正，以压为负3 3）在列静力学平衡方程时是根据力在坐标系中的方向来规定力）在列静力学平衡方程时是根据力在坐标系中的方向来规定力的符号；的符号；而材料力学中，则是根据构件的变形来规定内力的符号的。而材料力学中，则是根据构件的变形来规定内力的符号的

4、。（截面法）（截面法）NFN32KN3KNA312215KNBC例例已知杆件的形状和受力如图所示，已知杆件的形状和受力如图所示，试绘出其轴力图。试绘出其轴力图。分析：分析：由图可知该杆受有三个外力，各外力作用于不同的横截由图可知该杆受有三个外力，各外力作用于不同的横截面。因此，为了求出各截面的轴力，必先分段求出面。因此，为了求出各截面的轴力，必先分段求出AB段段BC段段的轴力。的轴力。解：解：（1）AB段：段：A2KNFN1沿沿1-1面将杆件截开，假设轴力为正面将杆件截开，假设轴力为正-NF=120KNNF12得得由由0 xF（2）对）对BC段：段：A32KN312215KNBFN2设设2-2

5、面将杆件截开，假设面将杆件截开，假设轴力为正轴力为正223KNCFN22-250NF=得得- 3 KNNF2同样，取右半段也可同样，取右半段也可2-30NF=2KNNF - 3 由由0 xF由由0 xF32KN3KNA312215KNBC(3) (3) 作轴力图作轴力图思考：思考：3-3截面的轴力如何？截面的轴力如何？223KNCFN2得得2NF-3= 023 KNNF（压力）（压力）注：一般假设轴力为正注：一般假设轴力为正由由0 xF32KN3KNA312215KNBCxFN2KN3KN-+几点说明：几点说明：(1)(1)不能在外力作用处截取截面。不能在外力作用处截取截面。(2)(2)截面内

6、力不一定等于其附近作用的外力。截面内力不一定等于其附近作用的外力。(4)(4)轴力不能完全描述杆的受力强度。轴力不能完全描述杆的受力强度。(3)(3)轴力与截面尺寸无关。轴力与截面尺寸无关。下面来看几道思考题：下面来看几道思考题：一、应力分析的基本方法一、应力分析的基本方法实验实验-假设假设 -理论分析理论分析二、轴向拉压杆横截面上的应力二、轴向拉压杆横截面上的应力1、实验、实验2.2 拉压杆的应力拉压杆的应力 一、应力分析的基本方法一、应力分析的基本方法二、轴向拉压杆横截面上的应力二、轴向拉压杆横截面上的应力1 1、实验、实验2 2、假设、假设平面假设平面假设横截面变形后仍保持为平面，并与轴

7、线垂直。横截面变形后仍保持为平面，并与轴线垂直。任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。实验实验-假设假设 -理论分析理论分析3 3、理论分析理论分析（1 1）几何分析）几何分析所有小元素体（小方所有小元素体（小方格）变形一样。格）变形一样。xx +ullxuxzwyvzy0（2 2）物理分析）物理分析根据物理学知识，当变形为弹根据物理学知识，当变形为弹性时，变形与力成正比性时，变形与力成正比。各纤维变各纤维变形相同形相同各纤维所受各纤维所受内力相等内力相等横截面上横截面上的内力均的内力均匀分布匀分布横截面上的横截面上的应力均匀分应力均匀分布，且垂直布，且垂直于

8、横截面于横截面结论：结论：横截面上只有横截面上只有 ，且，且 均匀分布。均匀分布。（1 1）几何分析）几何分析（2 2）物理分析）物理分析（3 3）静力学分析）静力学分析AAFANdAFN与与A的形状无关的形状无关正负号规定：拉应力为正正负号规定：拉应力为正 ，压应力为负，压应力为负注：注：3 3、理论分析理论分析圣维南圣维南(Saint Venant)原理：原理： 作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，

9、在离开力系作用区域较远处，应作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。力分布几乎相同。分析分析: BC杆是拉杆杆是拉杆,BC杆的拉力可通过杆的拉力可通过B点点的受力平衡求得的受力平衡求得. 如图所示如图所示,斜杆斜杆BC为直径为直径d=20mm的钢杆的钢杆,重物重物G=15KN,求求G在图示在图示B点时点时,斜杆斜杆BC横截面上的应力横截面上的应力.(sin=0.39)ACBG例例解解: B点受力如图。点受力如图。GABFBCF斜杆斜杆BC的轴力为的轴力为:杆杆BC横截面受的应力为横截面受的应力为:/sin/ . KNBCFG15 0 3938 7. KNNBCFF

10、 38 72.()N/mMPaNFA332638 71020104123 10123 如图所示如图所示,斜杆斜杆BC为直径为直径d=20mm的钢杆的钢杆,重物重物G=15KN,求求G在图示在图示B点时点时,斜杆斜杆BC横截面上的应力横截面上的应力.(sin=0.39)例例ACBGACBG3、应力的单位是、应力的单位是N/m2 , 即即 Pa. 计算时要注意单位一致。计算时要注意单位一致。讨论讨论:1、悬臂吊车，悬吊的重物由、悬臂吊车，悬吊的重物由A点移到点移到B点时，点时，杆杆BC受拉力逐渐增大，在受拉力逐渐增大，在B点时，点时，BC杆所受拉力最大。杆所受拉力最大。2、计算应力前必须正确计算轴

11、力。、计算应力前必须正确计算轴力。二、轴向拉压杆斜截面上的应力二、轴向拉压杆斜截面上的应力FNFFFFA斜截面的面积斜截面的面积p斜截面上的应力斜截面上的应力AFFNcos/AA coscosFFpAA将斜截面上的应力分解为将斜截面上的应力分解为：2coscosp1sinsin22pFFApFF而：而：有：有：2cos1sin22轴向拉压杆斜截面上的应力：轴向拉压杆斜截面上的应力：（1）0,)(0max0oo（2）.45o2/)(,2/max4545oo0,09090oo（4）（3）.45=o-2/=)(=,2/=min4545-oo讨论：讨论：.0o.90o应力正方向如图示n2.3 材料在拉

12、伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能 研究材料力学性质的原因：量才使用研究材料力学性质的原因：量才使用材料在外力作用下表现出来的强度与变形方面的宏观材料在外力作用下表现出来的强度与变形方面的宏观性能，如：弹性、塑性、强度、刚度、断裂韧性等。性能，如：弹性、塑性、强度、刚度、断裂韧性等。（1 1）不同的材料，甚至同种材料的不同个体，也）不同的材料，甚至同种材料的不同个体，也 可能有不同的力学性质。可能有不同的力学性质。（2 2）不同的构件对材料的力学性能的要求不同，如：）不同的构件对材料的力学性能的要求不同，如：机械上的轴、齿轮要求材料的刚度要好，因此要选用机械上的轴、齿轮要求材料的

13、刚度要好，因此要选用一些优质合金钢；机器的底座主要承受压力，要求抗一些优质合金钢；机器的底座主要承受压力，要求抗压能力要好，因此常选用铸铁。压能力要好，因此常选用铸铁。（3 3）为某一构件选择适当的材料、尺寸或计算变）为某一构件选择适当的材料、尺寸或计算变形等都要知道材料的力学性质。形等都要知道材料的力学性质。2 2、实验分析的目的、实验分析的目的1 1、材料的力学性质受很多因素影、材料的力学性质受很多因素影响响a. a. 受力方式：拉、压、弯、扭、剪，性质不同受力方式：拉、压、弯、扭、剪，性质不同。b. b. 受力性质：静载荷、动载荷受力性质：静载荷、动载荷c. c. 受力状态：单向、二向、

14、三向受力状态。受力状态：单向、二向、三向受力状态。d. . 受力环境：常温、低温、高温等。受力环境：常温、低温、高温等。 本节是研究轴向拉压构件在本节是研究轴向拉压构件在常温常温、常压常压、静载荷静载荷作用下作用下的力学性质。的力学性质。a. a. 测定材料的力学性质测定材料的力学性质c. c. 解决某些复杂问题解决某些复杂问题d. d. 培养科学工作的能力培养科学工作的能力。实验分析实验分析b. b. 验证理论验证理论圆形截面圆形截面任意形状截面任意形状截面dl10dl5Al3 .11Al65. 5为推荐尺寸为推荐尺寸为材料尺寸不足时使用为材料尺寸不足时使用万能试验机万能试验机电子试验机电子

15、试验机通过该实验可以绘出通过该实验可以绘出载荷载荷变形变形图和图和应力应力应变应变图。图。 液压式万能试验机液压式万能试验机底座底座活动试台活动试台活塞活塞油管油管1.1. 试验过程：试验过程：拉伸图：拉伸图：应力应变曲线：应力应变曲线：FAlllFoFl图o图Oab变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复Oa段段 直线段，应力应变成线性关系直线段，应力应变成线性关系EE 材料的弹性模量材料的弹性模量(直线段的斜率直线段的斜率)Hooke定律定律P 直线段的最大应力，称为直线段的最大应力，称为比例极限比例极限；e 弹性阶段的最大应力，称为弹性阶段的最大应力，称为弹性

16、极限弹性极限。一般材料，比例极限与弹性极限很相近，近似认为：一般材料，比例极限与弹性极限很相近，近似认为：pe2. 2. 低碳钢拉伸的四个阶段：低碳钢拉伸的四个阶段：（1）弹性阶段（）弹性阶段（ob段）段）ePOabc（2）屈服阶段（）屈服阶段（bc段）段）屈服阶段的特点：屈服阶段的特点：s 屈服阶段应力的最小值称为屈服阶段应力的最小值称为屈服极限屈服极限；重要现象：重要现象：在试件表面出现与轴线成在试件表面出现与轴线成45的滑移线。的滑移线。屈服极限屈服极限 是衡量材料强度的重要指标；是衡量材料强度的重要指标；MPa240s应力变化很小，应力变化很小，变形增加很快，变形增加很快，卸载后变形不

17、能完全恢复卸载后变形不能完全恢复(塑性变形塑性变形)。s（3）强化阶段（）强化阶段（ce段）段）特点：特点：若要继续增加变形，须增加拉力，若要继续增加变形，须增加拉力，材料恢复了抵抗变形的能力。材料恢复了抵抗变形的能力。b 强化阶段应力的最大值，强化阶段应力的最大值， 称为强度极限；称为强度极限；是衡量材料强度另一重要指标是衡量材料强度另一重要指标。低碳钢：低碳钢：MPa470380b卸载定律卸载定律在强化阶段某一点在强化阶段某一点d 卸载，卸载过程应力应变曲线为一斜直线，卸载，卸载过程应力应变曲线为一斜直线，直线的斜率与比例阶段基本相同。直线的斜率与比例阶段基本相同。冷作硬化现象冷作硬化现象

18、在强化阶段某一点在强化阶段某一点d 卸载后，短时间内再加载，其比例极限提高，卸载后，短时间内再加载，其比例极限提高，而塑性变形降低。而塑性变形降低。OabceepddgbhOabcedf（4）局部变形阶段（）局部变形阶段（ef段）段）低碳钢拉伸的四个阶段：低碳钢拉伸的四个阶段：（1）弹性阶段（）弹性阶段（ob段）段）（2）屈服阶段（）屈服阶段（bc段）段）（3）强化阶段（）强化阶段（ce段）段）（4）局部变形阶段（）局部变形阶段（ef段）段）OabcedfPesb3.3. 低碳钢的强度指标与塑性指标：低碳钢的强度指标与塑性指标：(1)强度指标：强度指标：s 屈服极限；屈服极限；b 强度极限；强

19、度极限；(2)塑性指标：塑性指标：%1001lll 称为材料的称为材料的或或； 是衡量材料塑性是衡量材料塑性能的重要指标；能的重要指标；%5%5%30%20%1001AAA伸长率或延伸率；伸长率或延伸率；断面收缩率。断面收缩率。塑性材料、脆性材料并不是塑性材料、脆性材料并不是绝对的，可以相互转化，如：绝对的，可以相互转化，如：钢材在钢材在- 400C -500C时，易时，易脆断，或在三相受拉时也是脆断，或在三相受拉时也是脆断；岩石在地壳深处的高脆断；岩石在地壳深处的高温中也会发生很大变形，甚温中也会发生很大变形，甚至熔化。因此，应该说至熔化。因此，应该说材料材料在某种条件下是塑性状态或在某种条

20、件下是塑性状态或脆性状态。脆性状态。4 4、其它塑性材料拉伸时的力学性能其它塑性材料拉伸时的力学性能%2 . 0o图30铬锰钢铬锰钢50钢钢A3钢钢硬铝硬铝青铜青铜.0 2名义屈服极限名义屈服极限对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生生0.2的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，称其为名的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，称其为名义屈服极限，用义屈服极限，用0.2来表示。来表示。名义屈服极限：名义屈服极限：oEE没有明显的直线段，拉断时的应力较低；没有明显的直线段，拉断时的应力较低；没有屈服和没有屈服和颈缩现象；拉断前应变很小，

21、伸长率很小；颈缩现象；拉断前应变很小，伸长率很小；强度极限强度极限 是衡量强度的唯一指标。是衡量强度的唯一指标。bbo图常温、静载常温、静载 试件和实验条件试件和实验条件、低碳钢压缩时的、低碳钢压缩时的-曲线曲线拉伸拉伸压缩压缩Ps压缩压缩、铸铁压缩时的力学性能、铸铁压缩时的力学性能脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。拉伸拉伸讨论：因材使用讨论：因材使用 1、由于低碳钢等塑性材料抗拉性能及塑性好，且耐、由于低碳钢等塑性材料抗拉性能及塑性好，且耐冲击冲击,故可做机器中许多零部件。特别是受拉构件。故可做机器中许多零部件。特别是受拉构件。 2、合金钢性能好

22、可做主轴、齿轮轴承、弹簧等零件，、合金钢性能好可做主轴、齿轮轴承、弹簧等零件，但价格较贵。但价格较贵。 3、铸铁等脆性材料抗压性能优于抗拉性能，可做、铸铁等脆性材料抗压性能优于抗拉性能，可做机器底座、齿轮箱等受压部件。机器底座、齿轮箱等受压部件。2.4 失效、许用应力和强度计算失效、许用应力和强度计算1、失效的形式：、失效的形式：b会引起断裂会引起断裂s将产生屈服或显著塑性变形将产生屈服或显著塑性变形断裂断裂和和屈服屈服是构件失效的两种形式是构件失效的两种形式通常将通常将强度极限强度极限与与屈服极限屈服极限称为称为极限应力极限应力2、极限应力、极限应力 u脆性材料：脆性材料：塑性材料：塑性材料

23、：ub=us=3、工作应力、工作应力 根据分析计算所得构件之应力，称为根据分析计算所得构件之应力，称为工作应力工作应力. 在理想的情况下，为了充分利用材料的强度，似乎可使在理想的情况下，为了充分利用材料的强度，似乎可使构件的工作应力接近于材料的极限应力。但实际上不可能，构件的工作应力接近于材料的极限应力。但实际上不可能， 原因：原因：1）主观设定的条件与客观实际之间还存在差距，有可）主观设定的条件与客观实际之间还存在差距，有可 能使构件的实际工作条件比设想的要偏于不安全；能使构件的实际工作条件比设想的要偏于不安全；2）构件需要必要的安全储备；）构件需要必要的安全储备；二、许用应力二、许用应力0

24、 . 35 . 27 . 14 . 1bbbsssunnnnn脆性材料塑性材料其中其中为许用应力。为许用应力。 为了保证构件能安全地工作，为了保证构件能安全地工作，须将其工作应力限制在较极限须将其工作应力限制在较极限应力更低的范围内，即将极限应力更低的范围内，即将极限应力除以一个大于应力除以一个大于1 1的安全系数的安全系数n,n,作为构件工作应力所不允许超过作为构件工作应力所不允许超过的数值。这个应力值称为的数值。这个应力值称为材料的材料的许用应力。许用应力。 nu=其中：s为塑性材料的屈服极限，b为脆性材料的强度极限， ns、nb分别为塑脆性材料的安全系数， ns、nb 1.三、强度条件三

25、、强度条件 为了保证构件在工作时不致因强度不够而破坏，构为了保证构件在工作时不致因强度不够而破坏，构件内的最大工作应力不得超过材料的许用应力，即件内的最大工作应力不得超过材料的许用应力，即 max强度条件强度条件例，对于例，对于等截面拉压杆等截面拉压杆，其强度条件为：，其强度条件为： =maxmaxAFN注意：如果工作应力超出了许用应力，但只要不超出注意：如果工作应力超出了许用应力，但只要不超出 许用应力的许用应力的5%5%，在工程上仍然是允许的。，在工程上仍然是允许的。轴向拉压杆的强度计算轴向拉压杆的强度计算一、强度条件一、强度条件二、强度计算的三类问题二、强度计算的三类问题1、校核杆的强度

26、、校核杆的强度2、设计截面尺寸、设计截面尺寸3、确定许可载荷、确定许可载荷 )(maxmaxAFN max,NFA max =maxmaxAFN强度条件强度条件等截面直杆的强度条件等截面直杆的强度条件 AFNkN30kN65kN45kN50ABCD1A1A2A)(KNNFx452030解：解：（1）计算内力（轴力），）计算内力（轴力），（2）校核强度）校核强度故此杆满足强度要求，故此杆满足强度要求， 安全。安全。例：例：已知已知=160MPa，A1=300mm2 ， A2=140mm2试校核该杆的强度。试校核该杆的强度。MP150103001045631AFABABMP143101401020

27、632AFBCBC （分段校核）（分段校核）作轴力图作轴力图例：例：图示结构，图示结构，ABCD为刚体，受力及尺寸如图。为刚体，受力及尺寸如图。各杆均由四根相同的等边角钢组成：各杆均由四根相同的等边角钢组成：杆杆1的四根角钢型号：的四根角钢型号：.mm2 5253杆杆2的四根角钢型号：的四根角钢型号：.mm4 0405杆杆3的四根角钢型号：的四根角钢型号：.mm4 0405 MPa100, 试校核该结构的强度。试校核该结构的强度。解：解：（1）先求各杆的轴力（截面法）先求各杆的轴力（截面法）mm, 0ixF010045cos3NF123100kNA1m2mBCDHK400kN1m1mkN4 .

28、1413NF, 0KM03100140021NFkN501NF, 0CM01100140022NFkN2502NF123100kNA1m2mBCD400kN1NF2NF3NFxy解得：解得：（2）计算各杆的应力，并与）计算各杆的应力，并与比较比较由型钢表查得：由型钢表查得：21mm2 .1434A232mm1 .3794 AAMPa3 .87Pa103 .87102 .14341050663111AFNMPa7 .164Pa107 .164101 .379410250663222AFN MPa2 .93Pa102 .93101 .3794103 .141663333AFN综合上述情况：综合上述

29、情况：该结构强度不够。该结构强度不够。123100kNA1m2mBCDHK400kN1m1m（3）改进设计）改进设计若将杆若将杆2改用等边角钢的型号：改用等边角钢的型号：.mm6 3 63 6杆杆2截面积：截面积：22mm8 .7284AMPa8 .85Pa108 .85108 .728410250663222AFN 整个结构满足强度要求。整个结构满足强度要求。例：例：图示结构。钢杆图示结构。钢杆1为圆形截面，直径为圆形截面，直径 d=16mm， 1=150MPa ；木杆；木杆2为正方形截面，面积为为正方形截面，面积为 100100 mm2 ，2=4.5MPa ；尺寸如图。求节点；尺寸如图。求

30、节点 B 处所能起吊处所能起吊的最大载荷的最大载荷P。解：解：（1）求两杆的轴力（用）求两杆的轴力（用 P 表示）表示）用截面用截面 m-m 截结构，取一部分研究截结构，取一部分研究由平衡条件，有由平衡条件，有 , 0ixF0cos12NNFF , 0iyF0sin2PFNPFN75. 01PFN25. 12（2）求许用载荷）求许用载荷 Pmax（拉力），（拉力），（压力）（压力）对杆对杆1： 111AFN 11175. 0AP 75. 04175. 012111dAP.266116101501040 75N102 .403kN2 .40PABC2m121.5mPBmm1NF2NFxy5 .

31、2/2sin5 . 2/5 . 1cos解得：解得：对杆对杆2： 222AFN 22225. 1AP 25. 1222AP 25. 1105 . 41010010066NkN3361036比较比较P1、P2的大小，应取许可最大载荷为：的大小，应取许可最大载荷为：maxkNPP236PABC2m121.5mPB1NF2NFxy对杆对杆1：1. kNP 40 2即：即：钢绳最长不能超过钢绳最长不能超过38.46m 如图所示悬垂钢丝绳设全长为如图所示悬垂钢丝绳设全长为l, 直径为直径为d,已知许用应力已知许用应力=300MPa, 比重比重=780103Kg/m3 ,试求考虑自重时钢绳最多可悬多长试求

32、考虑自重时钢绳最多可悬多长,即即l = ?例例xOx解解:（1）求内力，确定危险截面）求内力，确定危险截面如图确定坐标系如图确定坐标系, 则任一则任一x截面上的内力截面上的内力)(4=)(4=)(22xlgdgxldxFN- x=0时时,即钢绳的最上端内力最大即钢绳的最上端内力最大.（2）求）求l 所求所求l, 即是使即是使x=0的截面在自重作用下不会发生破坏的截面在自重作用下不会发生破坏,即要使其应即要使其应力小于许用应力力小于许用应力,即即2max 300MPa300MPa38.464NFdgllmAAxOx解解:（1）求内力确定危险截面）求内力确定危险截面)(4=)(2xlgdxFN-（

33、2）由强度条件求）由强度条件求l（1）直径一定的情况下，）直径一定的情况下， l只与只与, 有关有关, 若要增加若要增加l, 只有选高强度或轻质的材料才行只有选高强度或轻质的材料才行讨论讨论:（2） 作轴力图作轴力图 （3） 求任一截面的应力求任一截面的应力xO)(=4)(4=)(=)(22xlgdgxldAxFxN-NF 如图所示悬垂钢丝绳设全长为如图所示悬垂钢丝绳设全长为l, 直径为直径为d,已知许用应力已知许用应力=300MPa, 比重比重=780103Kg/m3 ,试求考虑自重时钢绳最多可悬多长试求考虑自重时钢绳最多可悬多长,即即l = ?例例mlgldAFN46.38MPa3004M

34、Pa300=2max（1）若铁水包最多容）若铁水包最多容30KN重的铁水重的铁水, 试校核吊杆的强度试校核吊杆的强度.（2）若要铁水包容纳）若要铁水包容纳312KN重的铁水重的铁水, 试重新设计吊杆的截面尺寸（求出横截试重新设计吊杆的截面尺寸（求出横截面面积面面积).（3）图示尺寸最多可使铁水包盛装多少）图示尺寸最多可使铁水包盛装多少铁水铁水铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺寸如图所示，吊杆材料的许用应力寸如图所示，吊杆材料的许用应力 =80MPa, 铁水包自重铁水包自重8KN.例例P25mm50mm（1）若铁水包最多容）若铁水包最多容30KN重的铁水重的铁水

35、, 试校核吊杆的强度试校核吊杆的强度.满足强度条件满足强度条件解解:（1 1）校核强度）校核强度（A）求轴力）求轴力（B）求应力）求应力（C）由强度条件校核）由强度条件校核KN19=)8+30(21=2=PFN3max619 1015.2MPa25 50 10NFAMPa80MPa2 .15=max铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺寸如图所示，吊杆材料的许用应力寸如图所示，吊杆材料的许用应力 =80MPa, 铁水包自重铁水包自重8KN.例例P25mm50mm解解:（2 2）设计尺寸）设计尺寸（A）求轴力）求轴力（B）应力）应力（C）由强度条件求横截面积）由强度

36、条件求横截面积KN160=)8+312(21=2=PFNMPa80=AFN22363mm2000m102108010160 NFA（2）若要铁水包容纳）若要铁水包容纳312KN重的铁水重的铁水, 试重新设计吊杆的截面尺寸试重新设计吊杆的截面尺寸(只求出横截只求出横截面面积面面积).铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺寸如图所示，吊杆材料的许用应力寸如图所示，吊杆材料的许用应力 =80MPa, 铁水包自重铁水包自重8KN.例例P25mm50mm解解:（3 3）求许可载荷）求许可载荷AFN=（3）图示尺寸最多可使铁水包盛装多少）图示尺寸最多可使铁水包盛装多少铁水铁水

37、?KN100=N101=1050251080= =566max-AFNKN200KN10022maxmaxNFP铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺铸工车间吊运铁水包的吊杆的横截面尺寸如图所示，吊杆材料的许用应力寸如图所示，吊杆材料的许用应力 =80MPa, 铁水包自重铁水包自重8KN.例例P25mm50mm如图所示结构，如图所示结构，AC为刚性梁，为刚性梁，BD为斜撑杆，载荷为斜撑杆，载荷F可沿梁可沿梁AC水平移水平移动。已知梁长为动。已知梁长为L,节点节点A和和D间的距离为间的距离为h。试问为使斜撑杆的重量最。试问为使斜撑杆的重量最轻，斜撑杆与梁之间的夹角应取何值？轻，斜撑杆与梁之间的夹角应

38、取何值？45lADBCFhFAyFAxFx解解:0AM由由cosNF xFh得得:,maxcosNF lFh显然当显然当 时，轴力时，轴力 最大，最大，lx NFNF设斜撑杆的轴力为设斜撑杆的轴力为载荷载荷 的位置用坐标的位置用坐标 表示表示FxNF例例根据强度条件，斜撑杆所需最小横截面积为根据强度条件，斜撑杆所需最小横截面积为 ,maxcosNFF lAh斜撑杆的体积斜撑杆的体积 2cossinsin2BDF lhF lVAlh可见，要使体积最小，可见，要使体积最小，即即12sin 45得得:2.5 轴向拉伸或压缩的变形轴向拉伸或压缩的变形研究轴向拉压变形的目的研究轴向拉压变形的目的1 1、

39、分析轴向拉压刚度问题、分析轴向拉压刚度问题2 2、求解轴向拉压静不定问题、求解轴向拉压静不定问题胡克定律胡克定律叠加法、叠加法、 能量法能量法研究轴向拉压变形的基础研究轴向拉压变形的基础研究轴向拉压变形的方法研究轴向拉压变形的方法几何法、几何法、FFbll1b1拉、压杆件的变形拉、压杆件的变形纵向变形纵向变形横向变形横向变形一、纵向变形、胡克定律一、纵向变形、胡克定律纵向变形纵向变形lll1轴向应变轴向应变横截面应力横截面应力llAFAFN由材料的拉伸试验，在弹性阶段有由材料的拉伸试验，在弹性阶段有E胡克定律胡克定律 变形和载荷表示的胡克定律变形和载荷表示的胡克定律说明：说明：当应力低于比例极

40、限时，杆件的伸长当应力低于比例极限时，杆件的伸长 l 与拉力与拉力 F 和杆原长和杆原长 l 成正比，成正比，与横截面积与横截面积 A 和弹性模量和弹性模量 E 成反比成反比。EA 抗拉刚度抗拉刚度llElEEAlFNEAFlNF lFllEAEA 横向变形：横向变形：bbb1横向应变：横向应变：bbbbb1横向应变与纵向应变的关系：横向应变与纵向应变的关系： 称为泊松比（横向变形因数）称为泊松比（横向变形因数） 和和 E ，是材料的两个弹性常数，由实验测定。，是材料的两个弹性常数，由实验测定。是一个无量纲量。是一个无量纲量。实验结果表明，在弹性范围内有实验结果表明，在弹性范围内有 (和和 的

41、的符符号号总总是是相相反反) )二、横向变形与泊松比二、横向变形与泊松比碳钢：碳钢： 0.24-0.28 ， 铸铁：铸铁： 0.23-0.27 =常数常数注：注：FFbll1b1三、多力杆的变形与叠加原理三、多力杆的变形与叠加原理方法一方法一1、先求内力、先求内力（截面法）（截面法）AB段：段：BC段：段：121FFFN22FFNAB段：段：EAlFFEAlFlN112111)(BC段：段：EAlFEAlFlN222222、求变形、求变形（胡克定律）（胡克定律）总变形：总变形：()()ACFF lF lF llF llllEAEAEAEA 2112 22121 112变形叠加法变形叠加法1l2

42、lABCF1F2载荷叠加法载荷叠加法分别考虑每一个载荷单独作用时杆的轴向变形分别考虑每一个载荷单独作用时杆的轴向变形（1 1）载荷）载荷F F1 1单独作用时杆的轴向变形单独作用时杆的轴向变形（2 2）载荷）载荷F F2 2单独作用时杆的轴向变形单独作用时杆的轴向变形EAlFlAC11EAllFlAC)(212 （3 3）总变形）总变形EAlFEAllFlllACACAC11212 )(方法二方法二 1l2lABCF11l2lABCF2图示杆，图示杆，1段为直径段为直径 d1=20mm的圆杆，的圆杆，2段为边长段为边长a=25mm的方杆，的方杆，3段为直径段为直径d3=12mm的圆杆。已知的圆

43、杆。已知2段杆内的应力段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长，求整个杆的伸长l解解:.kNA222302518 75NNNF lF lF lEAEAEA1 12 23 3123187502101002002404002502001249222. 0272.mm (缩短）例：例：321llllP图示圆截面杆，已知图示圆截面杆，已知F = 4KN，l1=l2= 100 mm,弹性模量弹性模量E= 200GPa。为保。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.01mm，即，即许用变形许用变形 =0.01mm.试确定直径试确定直径d。l1l2l

44、ABCFFF2杆段杆段AB与与BC的轴力分别为的轴力分别为:FFN2=1FFN=2杆段杆段AB与与BC的轴向变形分别为的轴向变形分别为:211118=dEFlEAlFlN222224=dEFlEAlFlN杆杆AC的总变形的总变形:21222122111212=4+8=+=+=dEFldEFldEFlEAlFEAlFlllNNAC解解:例：例：由刚度条件，由刚度条件，ll ldEFl1221339331107 . 8=1010. 0()10200()10100)(104(12=12-m)PamN lEFld取，取，mm0 . 9=d得，得，即，即，例：例：图示杆件，受四个相等的力图示杆件，受四个

45、相等的力F作用，作用，BC段的变形应等于段的变形应等于A. CD或或AB段的缩短段的缩短B. 杆件的总变形杆件的总变形C. CD、AB段缩短之和段缩短之和D. 不产生变形不产生变形ABCDlllFFFF题3四、桁架节点的位移求法四、桁架节点的位移求法“以切代弧以切代弧”1111NLLAA=1 m mEA 1A41111NLLAA=1 m mEA 1例例解：解： 图示托架，由横梁图示托架，由横梁AB与斜撑杆与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷所组成，并承受集中载荷F1和和F2作用。作用。试求梁端试求梁端A点的铅垂位移。点的铅垂位移。已知：已知： F1=5KN,F2=10KN,L=1m;斜撑杆斜撑杆

46、CD为铝管，弹性模量为铝管，弹性模量E=70GPa，横截面面积横截面面积A=440mm2.横梁视为刚体。横梁视为刚体。lABCF160F2lCF2F1BxFByFNF30ll1、计算杆的轴向变形、计算杆的轴向变形设斜撑杆所受压力为设斜撑杆所受压力为NF0BM030sin221lFlFlFN得：得：)(N100 . 45 . 0N1010N)105(230sin243321压缩FFFN由胡克定律由胡克定律,得斜撑杆的轴向变形得斜撑杆的轴向变形)0.0015m(30cos)m10440)(Pa10(70N)(1.0m)100 . 4(30cos2694缩短EAlFlN2、计算、计算A点的铅垂位移点

47、的铅垂位移6.0mmm006. 00.5m)0015. 0(260cos22_lCCAAAlABCF160F2lC60CC Cl图示结构，抗拉刚度均为图示结构，抗拉刚度均为EA，1杆长为杆长为l, 当节点当节点B处处受外力受外力F 作用时，节点作用时，节点B的垂直位移和水平位移分别的垂直位移和水平位移分别为为:. , sinFlAEA0. , FlBEA0. , sinFlFlCEAEA. , cotFlFlDEAEAACB12B1l B例例2.6 轴向拉伸或压缩的应变能轴向拉伸或压缩的应变能弹性体在外力作用下，因变形而储存弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。的能量称

48、为变形能（或应变能）。1 变形能变形能 力的功力的功当应力小于当应力小于比例极限时比例极限时 力的元功力的元功Flldd()WFl10d( () )lWFl 力的总功力的总功12WF lFdF拉伸曲线Fld(l)l1F1l当应力小于比例极限时当应力小于比例极限时Fll10d( () )lWFl 力的总功力的总功12WF lFdF拉伸曲线Fld(l)l1F1l 变形能变形能VW12F l由能量守恒原理由能量守恒原理根据胡克定律，根据胡克定律，FllEA 22F lVWEA故：故：单位体积内的变形能。单位体积内的变形能。2 比能比能(应变能密度应变能密度)zyddd拉伸曲线d11单元体上下单元体上

49、下两面的力为两面的力为:当应力有一个增量当应力有一个增量d 时时,x方向伸长的方向伸长的增量为增量为:取一单元体：取一单元体： dxdydz x方向的伸长方向的伸长为为:xdxdd则则元功元功为为:zydd力所作的功为力所作的功为:xzyWddddd10 xddd拉伸曲线d11 dxdydz 力所作的功为力所作的功为:xzyWddddd10Vdd10Vd)d(10所以所以:ddVWVd)d(10比能比能:ddVvVd10当应力小于比例极限时当应力小于比例极限时12v 比能比能:ddVvVd10当应力小于比例极限时当应力小于比例极限时12v 由胡克定律由胡克定律E212vE或或:22vE 由比能

50、求应变能由比能求应变能 应力分布应力分布均匀均匀时时VvV 应力分布应力分布不均匀不均匀时时dVVvV推广到多杆系统推广到多杆系统212nNi iiiiF lVE A2222222NNF AlF lVvVVEEAEA由能量守恒原理由能量守恒原理有有21122nNi iiiiF lF lE A 应力分布应力分布均匀均匀时时VW12F l例例 (书例书例2. 9)解：解：已知已知: BD杆外径杆外径90mm，壁厚，壁厚2.5mm，杆长，杆长l=3m。E = 210 GPa。BC是两条钢索，每根截是两条钢索，每根截面积面积172 mm2，E1= 177GPa。P = 30kN , 不考虑立柱变形。不

51、考虑立柱变形。求求: B点垂直位移。点垂直位移。解三角形得解三角形得 BC=l1=2.20 m, CD=1.55 mBC、BD的的截面积分别为截面积分别为A1344mm2, A=687mm2取取B点，受力如图：点，受力如图：PP1F NFN取取B点，受力如图：点，受力如图：1.411.41P,1.931.93P外力外力P所作的功等于所作的功等于BC及及BD杆的变形能，所以杆的变形能，所以P PW2121 1112NF lE A222NF lEAP31093.14m1048. 43P1F NFN2.7 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题一、两类问题一、两类问题 静定问题：静定问题：对于杆或杆系

52、结构，其约束反力或杆的对于杆或杆系结构，其约束反力或杆的内力（轴力）均可由静力学的平衡方程求出，这类内力（轴力）均可由静力学的平衡方程求出，这类问题称为静定问题。问题称为静定问题。 一、两类问题一、两类问题 静定问题：静定问题：对于杆或杆系结构，其约束反力或杆对于杆或杆系结构，其约束反力或杆的内力均可由静力学的平衡方程求出，这类问题的内力均可由静力学的平衡方程求出，这类问题称为静定问题。称为静定问题。 静不定问题：静不定问题：对于杆或杆系结构，其约束反力或对于杆或杆系结构，其约束反力或杆的内力仅用静力学的平衡方程不能够求出，这杆的内力仅用静力学的平衡方程不能够求出，这类问题称为静不定问题。类问

53、题称为静不定问题。 静不定问题静不定问题l 静不定次数静不定次数：在静不定结构中，未知力（杆的：在静不定结构中，未知力（杆的内力或约束反力）的个数多于平衡方程的数目，内力或约束反力）的个数多于平衡方程的数目，两者的差值称为静不定次数。两者的差值称为静不定次数。l 多余约束多余约束：对于结构的平衡来说，某些杆件或：对于结构的平衡来说，某些杆件或约束是多余的，称之为多余约束；相应于多余约束是多余的，称之为多余约束；相应于多余约束的未知力称为约束的未知力称为多余约束反力多余约束反力。注：多余约束的个数等于静不定次数注：多余约束的个数等于静不定次数二、静不定问题的解法二、静不定问题的解法 静不定系统的

54、变形是系统的，而不是单个的某一静不定系统的变形是系统的，而不是单个的某一个杆件的变形，故为了维护其系统性，组成系统个杆件的变形，故为了维护其系统性，组成系统的各个构件的变形应该是统一的，协调的。的各个构件的变形应该是统一的，协调的。 由协调的变形条件可列出补充方程，谓之由协调的变形条件可列出补充方程，谓之变形协变形协 调条件。调条件。（建立补充方程）（建立补充方程）找出变形协调条件、建立补充方程是解决静不定找出变形协调条件、建立补充方程是解决静不定问题的关键。问题的关键。求解步骤：求解步骤：1.判定静不定次数判定静不定次数2.列静力学平衡方程（画出列静力学平衡方程（画出受力图受力图）3.列变形

55、协调条件（画出列变形协调条件（画出位移变形图位移变形图）4.列物理条件（力与变形的关系，即胡克定律）列物理条件（力与变形的关系，即胡克定律）5.建立补充方程建立补充方程6.将平衡方程与补充方程联立，求解未知量（未将平衡方程与补充方程联立，求解未知量（未知反力或内力）知反力或内力）例例FAFN1FN3FN2图示结构中三杆抗拉刚度均为图示结构中三杆抗拉刚度均为 EA，在外载荷，在外载荷 F 作用下作用下求三杆轴力？求三杆轴力？lFABCD123解：解：1、列静力平衡方程、列静力平衡方程 取节点取节点A为研究对象，各杆对为研究对象，各杆对A的作用力的作用力用各自的内力代替。用各自的内力代替。N2si

56、n-sin0FF=N10 xFN2N3cos+cos0FFFF =N10yF 可得：可得：N2cosFFFFF2N1N1N3（1）（2）lABCD1232、建立变形协调条件、建立变形协调条件A1l2l3l13cosll 由变形几何关系可得：由变形几何关系可得：3、列物理关系、列物理关系13cosF lF lllEAEA N3N14、建立补充方程、建立补充方程（3）（4）（5）将（将（4 4）式代入（）式代入（3 3）式，可得：）式，可得：2cosFFN1N35、求解、求解联立平衡方程（联立平衡方程（1 1）、（）、（2 2）和补充方程（）和补充方程（5 5），解得：），解得：233coscos

57、cosFFFFFN1N2N31+21+2例例图示桁架为几次静不定结构？静力平衡方程和变形协调图示桁架为几次静不定结构？静力平衡方程和变形协调方程是什么？方程是什么？FAFBCD12330AFN1FN3FN230BD12330A1l2l3l123tan30sin30lll N2-cos300FF=N10 xFN2N3sin300FFF =0yF A图示的杆件由两部分组成，在分界处受图示的杆件由两部分组成，在分界处受到到 P 的作用。求的作用。求A、B处的约束反力。处的约束反力。l1l2E1A1E2A2PABCFAFB解：解： 这个问题属一次静不定。这个问题属一次静不定。静力平衡方程静力平衡方程:

58、PFFBA（1）变形协调条件变形协调条件:0总总l即021ll由胡克定律由胡克定律:2222211111l AElFAElFlNN其中1N2 NABFFFF 建立补充方程建立补充方程:1211220ABF lF lE AE A（2）例例将方程将方程（1 1）、（）、（2 2）联立求解，得：）联立求解，得：122211122122211211lAElAElAPEFlAElAElAPEFBA应如何求解？应如何求解？若：若：E1A1E2A2l1l2PABC小结：静不定结构是综合运用了几何、物理、小结：静不定结构是综合运用了几何、物理、静力学三方面的条件来求解的。静力学三方面的条件来求解的。 首先首先

59、，列出静力平衡方程，判断静不定次数，列出静力平衡方程，判断静不定次数， 以确定需要建立的补充方程的个数；以确定需要建立的补充方程的个数； 其次其次，根据变形协调条件建立变形几何方程；，根据变形协调条件建立变形几何方程； 再次再次，利用内力和变形之间的物理关系，即胡，利用内力和变形之间的物理关系，即胡 克定律，代入几何方程得到包含各杆内克定律，代入几何方程得到包含各杆内 力的补充方程。力的补充方程。 最后最后，联立求解静力平衡方程和补充方程，即，联立求解静力平衡方程和补充方程，即 可求出未知量。可求出未知量。3l2l1l图示结构中，杆图示结构中，杆ABAB为刚性杆，设为刚性杆，设 分别表示杆分别

60、表示杆1 1和杆和杆2 2的伸长，的伸长， 表示杆表示杆3 3的缩短，则变形协调条件为：的缩短，则变形协调条件为：3l21, ll 312ABFaa321=.lllA )+(2=.312lllB 312+=.lllC2 213. Dlll 练习练习F1NF2NFNF3图示结构在节点图示结构在节点C C受集中载荷受集中载荷F作用，已知各杆各截面的作用，已知各杆各截面的拉压刚度均为拉压刚度均为EA，杆，杆1 1与杆与杆2 2的长度均为的长度均为 L。试求各杆的轴。试求各杆的轴力。力。练习练习123FFAFN1FN3FN21231l2l3l2312(tan)sincosllll 一、温度应力一、温度