工程力学第二章平面汇交力系

1、第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院21平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法22平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院2-1平面汇交力系平面汇交力系合成与平衡的几何法合成与平衡的几何法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院2-1 2-1

2、 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 一、合成的几何法一、合成的几何法cos2212221FFFFR)180sin(sin1RF1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法cos)180c

3、os(第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院A AF F2 2F F1 1F F4 4F F3 3表达式：表达式：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA AF F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4 为平面共点力系：为平面共点力系：4321FFFFR2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法2. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（

4、称为力链）。把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。力的多边形规则：力的多边形规则：F Fn nE ER RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DA A2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法R R注意：注意：1 1、由于矢量相加满足交换律，故画力多边形时，各力的次序是、由于矢量相加满足交换律，故画力多边形时，各力的次序是 可以任意的。改变力的次序，只影响力的多边形的形状，不可以任意的。改变力的次序，只影响力的多边形的形状，不 影响最后合力的

5、大小和方向；影响最后合力的大小和方向；2 2、各分力矢量必须、各分力矢量必须首尾相连首尾相连3 3、合力矢量的方向合力矢量的方向则是，从第一个力则是，从第一个力 起点指向最后一个力的终点起点指向最后一个力的终点第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院共点力系的合成结果共点力系的合成结果 0F 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。 共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力

6、多边形的封闭等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。边表示。nii1F矢量的表达式矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn2 2、共点力系平衡的充要几何条件：、共点力系平衡的充要几何条件：2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法0R指导学生学习指导学生学习1919页的思考题页的思考题2.12.1第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院【例题例题 1】刚架如图所示。已知水平力P， 不计刚架自重，求支座A、B的反力。PP C D 2a a A B RA A C D RB 解：刚架受三力

7、作用平衡。根据三力平衡汇交定理，A点约束反力的作用线必交于P与RB的交点C，作出自行封闭的力矢三角形。2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 RARBP故21ACADPRB2PRB25DCACPRAP RA A C D RB PRA25故方向如图所示，这种方法称为几何法。 RARBP为了自行封闭的力矢三角形，RA的方向？第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学

8、土木工程学院【例题例题 2】已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。 求：在P的作用下杆件AC、BC所受力的大小。选铰链C为研究对象取分离体画受力图解：解：BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与FAC和外力 P构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故)(252210skNinPFFBCACACPBPFBCFACPFBCFAC由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于杆受力等于 。kN252-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院此题也可用力

9、多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数求出未知数几何法解题不足：几何法解题不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法解析法。 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工

10、业大学土木工程学院2-2平面汇交力系平面汇交力系合成与平衡的解析法合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（一）力在坐标轴上投影（一）力在坐标轴上投影图 a平行光线照射下物体的影子xyoABab2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法y图b 力在坐标轴上的投影xab1b1aoYXFABFyFx第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院故力在坐标轴上的投影是个代数量。力的分量是矢量故力在坐标轴上的投影是个代数量。力的分量是矢量cosFX sincos

11、FFY即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。这样当 、 为锐角时, X、Y 均为正值；当 、 为钝角时， X、Y可能为负值。2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法y图b 力在坐标轴上的投影xab1b1aoYXFABFyFx由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 、 ，则力在x、y轴上的投影为：第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院应注意应注意（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量； （2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。式中 和 称为力 F F

12、的方向余弦。coscos2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法22YXFFFFXxcosFFFYycos第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法【例题例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院定义：定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。即（二）（二） 合力

13、投影定理合力投影定理 xixnxxxFFFFF21yiynyyyFFFFF212-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院这个定理也可很直观地理解，如下图表示adRcdXbcXabXX,321因 ,故 cdbcabad321XXXRX同理可得31YYYRYyoxbdCABDcaFF3F1F2oF2F3F12-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（三）合成

14、（三）合成 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Rx、Ry后，可用下式求出合力的大小和方向2222)()(YXRRRyxXYRRxytan用图可表示为：式中 表示合力 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向由 的正负号用图判定。这种运用投影求合力的方法，称为解析法。yxRR 、F2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法oxy3F1F2FyFxFnFRRRXRY第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院【例题例题 4】用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方 向已知 kNFkNFkNFkNF1,25. 0,5 . 0

15、,5 . 14321kNFFxix332. 045cos160cos25. 05 . 0000kNFFyiy99. 145sin160sin25. 005 . 100 xy1FF2F3F4F060045先计算合力 F 在x、y轴上的投影，有【解【解】即 故合力 的大小为FkNFFFyx02. 222其方向余弦则为986. 0cos,164. 0cosFFFFyx在第四象限034.802-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个即

16、平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴中上的投影之代数和均等于零。坐标轴中上的投影之代数和均等于零。由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。（四）平（四）平 衡衡由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即0R而 0)()(22YXR则 ， 0X0Y2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院【例题例题 5】重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处，A、 C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时

17、，AB 、BC 杆的内力。2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法（a）ABC045060（b）yx045030BCFBAFBmg第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院由于求出的 和 都是正值，所以原先假设的方向是正确的，即 AB 杆承受拉力，BC 杆承受压力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方向相反。BCFBAF030cos45cos,000BCBAFFX030sin45sin,000BCBAFFGY联立上述两方程，解得： =88 ， =71.8 。BAFBCFNN 取铰B为研究对象，其上作

18、用有三个力：重力G= mg；AB杆的约束反力FBA (设为拉力)及 BC 杆的约束反力F FBCBC （设为压力），坐标轴如图b所示，例出平衡方程【解【解】2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法（b）yx045030BCFBAFBmg第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院应注意：应注意： 为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中这样建立坐标系T 和N N相互藕合如 060cos30cos000NTX060

19、cos00PTX可求得 =？To(a)P030(b)TyxNP(c)oxyNTP2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院【例题例题6】起重机支架的AB、AC杆用铰链支承在立柱上,重物P=20KN,滑轮尺寸和杆自重不计,求平衡时AB和AC所受的力。 P A B C D 300 600 APFACFABTADYX2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院解

20、：解：以以A为坐标原点，建立为坐标原点，建立x,y坐标轴，列坐标轴，列 平衡方程：平衡方程： X = 0 ， - FAC - Pcos300 TAD cos600 = 0 Y = 0 , FAB - Psin300 + TAD sin600 = 0 FAC = -27.32 kN FAB = -7.32 kN讲解过程中，应该重点强调：讲解过程中，应该重点强调：1. TAD的大小为多少。的大小为多少。2对象选取（为什么是对象选取（为什么是A点）。点）。3图示坐标轴的建立（原因是什么）图示坐标轴的建立（原因是什么）. 2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法AP

21、FACFABTADYX第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院又：cosFN)2(1)(cos22hRhRRhRR)2(hRhRFN【例题【例题 7】求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解解：研究块,受力如图，解力三角形：2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院再研究球，受力如图：作力三角形解力三角形：sin NPRhR sin又NN RhRhRhRFNP)2(sin)2()(hRhhRFPhRhRhPF)2(时球

22、方能离开地面当hRhRhPF)2(NB=0时为球离开地面2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院（1）弄清题意，明确已知量和待求量；）弄清题意，明确已知量和待求量；（2）恰当选取研究对象，明确所研究的物体；）恰当选取研究对象，明确所研究的物体；（3）正确画出研究对象的受力图（主动力，约束反力，）正确画出研究对象的受力图（主动力，约束反力， 二力构件，三力汇交平衡，作用力与反作用力）；二力构件，三力汇交平衡，作用力与反作用力）；求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院湖南工业大学土木工程学院 4、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几几 何法