微专题导数与极值最值

1、微专题导数与函数的极值最值内容回顾1.函数的极小值：函数y f(x)在点x a的函数值f (a)比它在点x a附近其他点的函数值都小，f (a)=0；而且在点x a附近的左侧f (x) 0 ,右侧f (x) 0,则点a叫做函数y f(x)的极小值点， f (a)叫做函数 y f(x)的极小值.2函数的极大值：函数y f (x)在点x b的函数值f(b)比它在点x b附近的其他点的函数值都大，f (b) 0;而且在点x b附近的左侧f (x) 0 ,右侧f (x) 0 ,则点b叫做函数y f(x)的极大值点，f (b)叫做函数 y f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值

2、统称为极值.3 .若可导函数y f (x)在x x0处取得极值是f (x0) 0的必要条件。4 . f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数， 进而彳#到f (x) 0或f (x) 0在I上恒 成立5 .函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数y f (x)在a,b上单调递增，则 f (a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数y f (x)在a,b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.典型例题题型一：已知图形判断函数极值1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为 f' (x),且函数y

3、=(1 x)f' (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(2)16解析：选D由图可知，当 xv 2 时，f (x)>0;当一2vxv1 时，f' (x)<0;当 1vxv2 时，f' (x)<0;当x>2时，f' (x)>0.由此可以得到函数f(x)在x= 2处取得极大值，在 x=2处取得极小值.题型二：求函数的极值2.已知函数 f

4、(x) = xaln x(aR).当a = 2时，求曲线y=f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解：由题意知函数f(x)的定义域为(0, + 8),，仅)=132当 a = 2 时,f(x) = x2ln x, f (x)=1(x>0),因为 f(1) = 1, f (1) = 1, x、所以曲线y= f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程为y-1 = - (x-1),即x+y 2=0.(2)由，(x)=i_ya， x>。知： x x当aW0时，f (x)>0,函数f(x)为(0, + 8)上的增函数，函数f(x)无极值；当a>0

5、时，由f' (x)=0,解得x= a.又当 xC(0, a)时，f' (x)<0;当 xC(a, + 8)时，/ (x)>0,从而函数f(x)在x= a处取得极小值，且极小值为f(a) = aaln a,无极大值.综上，当a< 0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x= a处取得极小值a- aln a,无极大值.题型三：已知函数的极值求参数的范围3. (2016江西八校联考)已知函数f(x) = x(ln xax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是()，c 1、八一A.(巴 0) B.(Q)C. (0,1)D. (0, +8)2解1由题知

6、，x>0, f'x)=ln x+12ax,由于函数f(x)有两个极值点，则f'x)=0有两个不等 的正根，即函数y=ln 乂+1与丫= 2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0;设函数y= ln x+ 1上任一点(x0,1+ lnx。)处的切线为l,则kt=y'= x0,当l过坐标原点时，x0= 1+：x0? x0“11=1,令2a=1?a=2,结合图象知0<a<2,故选B.优解：= f(x) = x(ln xax),. f' (x) = ln x 2ax+1,故 f' (x)在(0, + 00)上有两个不同的零点，

7、令 f (x) In v-k 1In v-k 1 ln x=0,则2a=,设g(x)=,则g (x)= . ,，g(x)在(0,1)上单倜递增，在(1, + 8)上单倜xxx递减，又丁当 x0 时，g(x)一一 8,当 x + oo时，g(x)一0,而 g(x)max=g(1) = 1, ,只需 0v2av1? 0<a<2. 故选B.题型四求函数的最值4.(2018大连高三试题)已知函数f(x)=x-eax(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间；1 2(2)求函数f(x)在一,一上的取大值.a a解：(1)f(x) = x-eax(a>0),则 fz (x)=1-a

8、eax,令 f' (x)=1aeax=0,则 x=ln1.a a当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：x(1.1., ln -) a a1. 1ln a a(1ln-, a a)f' (x)十0一f(x)极大值11、11112(2)当一ln一,即 0 v aw a a af(x)max= f (?) = " e2；当a< %"1<多即a<e时，f (x)max = f ( ln ) a aJln1-a aa；故函数f(x)的增区间为(，一ln)；减区间为(一ln,).,111 一 1 一当a1nLa，即于/时，馋题型

9、五已知最值求参数的范围5. (2011湖南)设直线xf(x)g(x)ln x的图像分别交于点 M,N ,则当MN达到最小时t的值为A. 1B.C.D.-22解由题|MN(x 0)不妨令h(x)贝U h'(x) 2x1人令 h'(x) x0解得x小、万(0,-2-)时，h'(x)0,)时,h'(x)0,所以当x二时,2| MN |达到最小.即方法归纳函数的最值(2)若函数f(x)在a, b上单调递增，则f(a)为函数的最小值， 的为函数的最大值；若函数f(x)在a, b上单调递减，则 为函数的最大值，血为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在a, b上的最大值与

10、最小值的步骤为求函数y= f(x)在(a, b)内的极值;将函数y= f(x)的各极值与端点处的f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得 出函数f(x)在a, b上的最值.1 .求函数f(x)在a, b上的最大值和最小值3步骤 (1)求函数在(a, b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b);(3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2 .求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极 值情况，画出

11、函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.高考链接:1. (2017新课标n)若x2是函数f(x) (x2 ax l)ex1的极值点，则一2x 1 .f (x) (x ax 1)e 的极小值为33A.1 B. 2eC. 5eD. 12x 1.解 f (x) x(a2)x a 1e , f ( 2) 0 ,. a1 ,所以 f (x)(x2x 1)ex 1, f (x) (x2 x 2)ex1,令f(x) 0,解得x 2或x 1,所以当x (2), f (x) 0, f(x)单调递增；当 x ( 2,1)时，f (x) 0 , f (x)单调递减；当x (1,),f (x) 0, f(x)

12、单调递增，所以f(x)的极小值为 f(1) (1 1 1)e111,选 A.2. (2014新课标n)设函数 f xJ3sin.若存在f x的极值点x0满足m_2_ 一_ 一 一一x02f x0m2,则m的取值氾围是A.,66,B.,44,C., 22,D., 11,【解析】由正弦型函数的图象可知：f x的极值点x0满足f(x0)J3 ,x1则一0 一 2k (k Z),从而得Xo (k -)m(k Z).所以不等式 m222221 222.21Xo f Xo m ,即为(k ) m 3m,变形得 m 1 (k -) 3, 22其中k Z .由题意，存在整数 k使得不等式m21 (k 1) 3

13、成立.21 o当k 1且k 0时，必有(k )2 1 ,此时不等式显然不能成立，23 2故k 1或k 0,此时，不等式即为 3m2 3,解得m 2或m 2 43. (2013福建)设函数f(x)的定义域为R, Xo(Xo 0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是A.x R, f (x) f (Xo)B.*0是£( x)的极小值点C.Xo是f(x)的极小值点D.Xo是f(x)的极小值点解x R, f(x) f(Xo),错误.Xo(Xo 0)是f (x)的极大值点，并不是最大值点；B.X0是f(x)的极小值点.错误.f( x)相当于f(x)关于y轴的对称图像，故xo应是f( x)的

14、极大值点；C. xo是f (x)的极小值点.错误.f(x)相当于f (x)关于x轴的对称图像，故 x0应是 f(x)的极小值点.跟 xo没有关系；D.xo是 f( x)的极小值点.正确. f( x)相当于f(x)先关于y轴的对称，再关于x轴的对称图像.故 D正确.4.(2015陕西)对二次函数f(x) = ax2 + bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论，其中有且只有 个结论是错误的，则错误的结论是()A. -1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值答案：A A正确等价于D.点(2, 8)在曲线y=f(x)上ab+ c= 0, B正确等价于 b= 2a,4

15、acb2_C正确等价于F=3,D正确等价于 4a + 2b+ c= 8.卜面分情况验证,a= 5,若A错，由、组成的方程组的解为 b=10,符合题意;c= 8.若B错，由、组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；若C错，由、组成方程组，经验证 a无整数解；若D错，由、组成的方程组a的解为3也不是整数.综上，故选A.45.(2014新课标全国n )函数f(x)在x=xo处导数存在.若p： f'(xo)= 0; q： x = xo是f(x)的极值点，则()A. p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是 q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是 q的充分条件D.p既不是q的充分

16、条件，也不是 q的必要条件答案：C 设f(x) =x3,f'(0)= 0,但是f(x)是单调增函数，在x=0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题.故选C6.(2015新课标全国n)已知函数f(x)=ln x+ a(1x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a- 2时，求a的取值范围.1解 (1)f(x)的te义域为(0, + 丐，f(x)=-a.x若a磷，则f'(x)>0,所以f(x)在(0, + 8)上单调递增.4-1.,111若 a>0,则当 xC (0,)时，f'(x)>0;

17、当 xC(一,)时，f'(x)v0.所以 f(x)在(0,-)上单倜递增，在(-,)aaaa上单调递减.(2)由(1)知，当a磷时，f(x)在(0, +丐无最大值;1111当 a>0 时，f(x)在 x= -取得取大值，取大值为f() = ln () + a(1 ) = ln a+ a 1.aaaa1、因此 f () >2a2 等价于 In a + a- 1 < 0. a令 g(a) = ln a+a1,则 g(a)在(0, 十 0上单调递增,g(1)= 0.于是，当 0V a< 1 时，g(a)v0;当 a> 1 时，g(a)>0.因此，a的取值范

18、围是(0, 1).7. (2013新课标n)已知函数 f(x) x2e x(I )求f(x)的极小值和极大值；(n)当曲线yf (x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.【解析】(I ) f x的定义域为f x e xx x 2,0 或 x 2,时，f x 0;当 x 0,2 时，f x 0所以f x在 ，0 , 2, 单调递减，在 0,2单调递增.故当x 0时，f x取得极小值，极小值为f 00;当x 2时，f x取得极大值，极大值为4e 2.(n)设切点为t, f t ，则l的方程为y f t x t所以l在x轴上的截距为 mt由已知和得t ,0 U 2,2令hx x -

19、x0 ,则当x 0,时，h x的取值范围为2 V2,)；x当x , 2时，h x的取值范围是 ，3 .所以当t ,0 U 2, 时，m t的取值范围是,0 U2j2 3,).综上，l在x轴上截距的取值范围 ，0 U2j2 3,).8. (2012全国新课标)已知函数x 1_12f(x)满足 f(x) f'(1)e f (0)x -x2求f(x)的解析式及单调区间;(2)若 f(x)1 2-x ax2b ,求(a 1)b的最大值。(1)_ x1_12_ x1_f (x) f (1)e f (0)x -x f (x) f (1)e f (0) x 2令 x 1 得：f (0) 1x 112

20、1-f (x) f (1)e x x f(0) f (1)e1 f (1)2V12V得：f (x) e x - x g(x) f (x) e 1 xg (x)ex1 0yg(x)在x R上单调递增f (x)0f (0)x0, f (x) 0 f (0) x0x 12得：f(x)的解析式为f (x) e x -x2且单调递增区间为(0,),单调递减区间为(，0).19VV(2) f (x) x ax b h(x) e (a 1)x b 0得 h(x) e (a 1) 2当a10时，h (x)0yh(x)在x R上单调递增x 时，h(x) 与h(x) 0矛盾当 a10时，h (x)0xln(a 1

21、), h(x) 0 xln(a 1)得：当 x ln(a 1)时，h(x)min (a 1) (a 1)ln( a 1) b22(a 1)b (a 1) (a 1) ln(a 1)(a 1 0)22一.令 F(x) x2 x2 lnx(x 0);则 F (x) x(1 2ln x)F (x) 00 x . e,F (x) 0 x ；e当 x 时，F(x)max £当a Je 1,bJe时，(a 1)b的最大值为e2x3 3x, x泡9.(2016北京)设函数f(x) =2x, x> a.(1)若a = 0,则f(x)的最大值为 (2)若f(x)无最大值，则实数 a的取值范围是

22、x3 3x, x0, 解:(1)当 a=0 时，f(x) =2x, x>0.若 x磅，f'(x)=3x23= 3(x21).由 f'(x)>0 得 xv1,由 f'(x)v0 得一1 vx4.f(x)在(8, 1)上单调递增；在(一1, 0上单调递减，f(x)最大值为f(-1) = 2.若 x>0, f(x) = 2x 单调递减，所以 f(x)vf(0)=0.所以f(x)最大值为2.(2)f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图.由(1)知，当aA 1时，f(x)取得最大值2.当av1时，y= 2x在x>a时无最大值.且2a>2.所以a&l

23、t;- 1.x 2、，一、，一 10.(2016全国n )讨论函数f(x) = rex的单倜性, X I 2并证明当 x>0 时，(x2)eX+x+ 2>0;一一一 一、“，ex- ax a ,一，_、_ ，、一，一(2)证明：当ae 0, 1)时，函数g(x)=2(x>0)有取小值.设g(x)的取小值为h(a),求函数h(a)的值域.x解f(x)的定义域为(8, - 2)U(-2, 十对f'(x) =(x 1) (x+2) ex- ( x2) exx2ex(x+2) 2(x + 2)P0,且仅当 x=0 时，f'(x)=0,所以f(x)在(一8, 2), (

24、2, 十丐单调递增.因此当xC (0, +丐时，f(x)>f(0) = 1.所以(x 2)ex> (x+ 2),即(x 2)ex + x+ 2>0.(2)证明g'(x) =(x 2) ex+ a (x+ 2)x3x+ 23-(f(x) + a). x由(1)知，f(x)+a单调递增，对任意ae 0, 1), f(0) + a = a-1<0,f(2) + a = a /因此，存在唯一 xa ( 0, 2,使得f(xa)+a=0,即 g (xa)= 0.g(x)单调递减;当 0<x<xa 时，f(x)+a<0, g'(x)<0,当

25、x>xa 时，f(x)+a>0, g'(x)>0, g(x)单调递增.因此g(x)在x=xa处取得最小值，最小值为g (xa)=exa a (xa+ 1 )exa+ f (xa)( x+ 1)exax2xa + 2是 h(a)exa, ex .(x+1) ex 八ex 斗、c，由() = /.2 >0, c单调递培.xa+2x 2(x+ 2) 2x+ 2,1 e0exa e2 e2ex 、，、一 一、， ，,一所以,由米(。，2,得2=07rh但)=口了因为U单调递增，对任意1 e2, 存在唯一的 xaC(0, 2, a= f(xa)C0, 1),使得 h(a)

26、=入所以 h(a)的值域是(一,一.2 41 e2,综上，当ae 0, 1)时，g(x)有最小值h(a), h(a)的值域是(一，一.2 4巩固提高1. (2018岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. y= x3B. y = ln ( x)C. y= xe-2d. y=x+x x解析：选D 由题可知，B, C选项中的函数不是奇函数,A选项中，函数y=x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.函数f(x)=ln x- x在区间(0, e上的最大值为()B. - 1D. 0解析：选 B 因为 f' (x) = 11 = J,当 xC(0,1)时，f&#

27、39;x x(x)>0;当 x)(1, e时,f' (x)<0,所以 f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1, e,所以当x=1时，f(x)取得最大值In 1 -1 = - 1.3 .若函数f(x) = x32cx2+x有极值点，则实数 c的取值范围为()B.A.3.3C. (, U ,)D.(-3、:3)u (,22).解：若函数f(x)= x32cx2+x有极值点,则 f' (x)=3x24cx+1=0 有根，故 A= (4c)212>0,从而或c< 乎.故实数c的取值范围为().选D4 .已知函数f(x)的定义域为(a, b),导函

28、数f' (x)在(a, b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a, b)上的极大值点的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选B 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f' (x)在(a, b)上与x轴的交点个数为 4,但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x= 0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有 2个点满 足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.5 .设函数f(x) = ax2+ bx+c(a, b, cC R).若x= - 1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为 y = f(x)图象的是()解析：选 D 因为exf (x)

29、 =f' (x)ex+f(x)(exy = ex f (x) f (x),且 x= 1 为函数 f(x)ex的一个极值 点，所以 f(1) + f' (1)=0；选项 D 中，f(-1)>0, f' (-1)>0,不满足 f' (-1)+f(-1)=0.a 一6 .已知函数f(x) = x3+ax2+bxa27a在x= 1处取得极大值 10,则%的值为()一一八2_.2B.2 C.2 或3D. 2 或3解析：选A由题意知,f'(x)= 3x2+ 2ax+ b, f' (1)=0, f(1)= 10,即3+2a+b=0,1 + a +

30、b a2- 7a= 10,解得a= 2,b=1,a = 6,a=-6, 4, a 2或经检验满足题意，故M=2b=9,b=9b 37. (2016浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)=x3 + bx2+cx的图象如图所x2等于()A.B. 3C. 8D.16了解析：选C 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0), Xi, X2是函数f(x)的极值点，因此1 + b+c= 0,8 + 4b + 2c=0,解得 b=3, c= 2,所以 f(x) = x3-3x2+ 2x,所以 f' (x)= 3x26x+2.Xi, X2是方程 f' (x) = 3x26x+2=0 的两根

31、，因此 x + x2=2, xix2=2,所以 x2+x2= (xi +x2)2 2x1x2= 4 4 = "8. 33 312 .8,若函数f(x) = 3x3+x23在区间(a, a+5)上存在取小值，则头数a的取值氾围是()A. 5,0) B. ( 5,0)C. -3,0) D. (-3,0)解析：选 C 由题意，f' (x) = x2+2x=x(x+ 2),故 f(x)在(00, -2), (0,十8上是增函数，在( 2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令1x3 + x22= 2得, 3333 w a v 0,x= 0或乂= 3,则结合图象可知，解得aC 3,0)

32、,故选C.a+5>0,9 . (2016黑龙江哈三中期末)已知x=2是函数f(x) = x33ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为解析： x= 2是函数f(x)= x33ax+2的极小值点，即x=2是f' (x) = 3x23a = 0的根，将x=2代入得a =4,所以函数解析式为 f(x) = x3- 12x+ 2,则由3x2- 12 = 0,得x= i2,故函数在(一2,2)上是减函数，在(- 8, 2), (2, +8)上是增函数，由此可知当 x=2时函数f(x)取得极大值f( 2)=18. 答案是18110 .设函数f(x)= aln x bx2(x> 0),右函数f(x)在x=1处与直线y= 相切，1(1)求实数a, b的值；(2)求函数f(x)在一,e上的最大值.ef' 1 =a-2b=0,a=1,解：(1)f' (x) = a2bx, =函数f(x)在x=1处与直线y= 1相切，1 解得 1x2f 1 =- b=-,b=2.(2)由(1)得 f(x) = In x-1x2,则 f' (x) = 1-x = 1 , 2x x.11当 e< x< e 时，令 f (x) > 0 得ew x< 1 ；令 f (x)v 0,得 1 v x< e,一 ，11，f(x)在,1上单倜递增