高三导数压轴题题型归纳

1、导数压轴题题型1.高考命题回顾例1已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (2013全国新课标H卷)(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性： (2)当说2时，证明f(x)>0.(1)解 /(x) = cv - ln(x += er - ！f(0) = e° - ! = 0m = 1 fx + m0 + mi cKx+ 1 - 1定义域为M> - 1 , ,f(x) = er-二，a + m x + 1显然於)在(-1。上单调递减,在0 , +8)上单调递增.(2)证明 g(x) = - ln(x + 2),贝！ g'(x)= er -二一

2、(x> - 2).x + 2h(x) = g'(x) = er (a> _ 2)/ix) = ev + -;>0 , x + 2a + 2-所以/心)是增函数"心)=0至多只有一个实数根，又 -；)=南-；<°，(0)二 1 - %。，2所以h(x) = (X)= 0的唯一实根在区间(-0)内， 设/(x) = 0的根为t ,则有冢=e;-= 0( - 1<<0),所以，ez = -！-f + 2 = e-z, t + 2当 x£( - 2 , f)时,g'(x)<gXt) = 0 , g(x)单调递减；当

3、%, + 8)时,g3>g© = 0 , g(x)单调递增；1 1十户所以 g(x)min = g(t) = ez - ln(z + 2) = ; +1 = ->0 f f+2t+2当 m<2 时,有 ln(x + /H)<ln(x + 2),所以./(x)= er - ln(x + m)>cx - ln(.r + 2) = g(x)遂(x)疝n>0.例2已知函数/(x)满足f(x) = f'()ex-f(O)x + -x2 (2012全国新课标) 2(1)求f(x)的解析式及单调区间：若 f(x)>-x2 +ax + b,求(“ +

4、 1)Z?的最大值。2(1) fW = fX-fWx + -x2 = fx) = /Wv-，-/(0) + x令 x = l 得：/(0) = 1得：f(x) = ex-x+-x2 g(x) = fr(x) = ex-+x乙g'(x) = / +1 > 0 = y = g(x)在X e R上单调递增得：f(x)的解析式为f(x) = ex-x + -x22且单调递增区间为(0,+s)，单调递减区间为(-s,0)(2) f(x) >x2 + ax + /? <> h(x) = ex -(«4-l)x-Z? > 0 W (x) = e" -

5、 (a +1) 2当a +1 < 0时，hx) > 0 = y = h(x)在a e R上单调递增 x > -oo 时，hx f yo 与 /?(x) > 0 矛盾当4 +1 >0时，hx) >0<=>x>ln(a +1)v0 ox vln(a +1) 得：当 x = ln(a + l)时，-(x)min =3 + 1)-(a + l)ln(a + l)-bNO 令 F(x) = x2-x2 In xx > 0)；则 F(x) = x(l-21n x)当x = J7 时，F（x）max = j当。=时，（a + l）b的最大值为2例3

6、已知函数/0）=也）+ ,曲线），= /1）在点（1J）处的切线方程为 x+l xx + 2y 3 = 0, （2011全国新课标）求4、。的值:(II)如果当x>°,且时，/«>- + -,求后的取值范围。 x-1 X(X+l)2"1)=1,1即， 广=-5， 乙Xb = l.a fb12由于直线x+2y-3 = 0的斜率为一；,1 解得 a = l, Z? = 1 o 5'(H )由(I )知 f(x) = W" + , x + x所以I,、z Inx k、 "幻一噌1+?=1一r.x +出止当。七十即 ci(女1)(r

7、1) z 八、ni. IZ x (k 1)(r +1) + 2x考虑函数 A(x) = 21nx+ (x > 0),则(幻=-一；设由 (x)=知,当 XN1 时，(x)<0, h(x)递减。而x力=0 故当 X£(0,l)时，h(x) > 0 ,可得丁/?(x)>0：当 xe (1, +s)时，h (x) <0,可得"j!v h (x) >0,/in x kIn x kI 从而当 x>0.且 xw 1 时，f (x) - ( + ) >0,即 f (x) >+ .x-1 xx-I X(ii)设0<k<l.由

8、于(左一 1)(小+1) + 2%=(攵- 1)9+2%+火-1的图像开口向下,且 = 4 - 4(攵- 1了>0,对称轴 x=!>1 当 xe (1, L)时，(k-1) (x2 + l) -kl-k.11+2x>0,故 (x) >0,而 h (1) =0,故当 xe (1, )时，h (x) >0,可得-hl k1-x2(x) vO,与题设矛盾。(iii)设 kNL此时V+122x,(-l)(x2+ l) + 2x>0=>(x) >0,而 h (1) =0,故当xe (1, +s)时，h (x) >0>可得一二 h (x) <

9、;0,与题设矛盾。1-x2综合得，k的取值范围为(-8, 0例 4 已知函数 f(x)=(x3+3x2+ax+b)e (2009 宁夏、海南)(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间；若f(x)在(一8内),(2晶)单调增加，在(a,2)邓.+8)单调减少，证明p-a>6.解：当 a=b=-3 时,f(x)=(x3+3x23x 3)e-故f(x) = (x3+3x23x 3)e"x +(3x2+6x 3)e"x=e"x (x39x)= x(x 3)(x+3)e"当 XV 3 或 0VXV3 时f(x)>0;当一3 vxVO 或 x>3

10、 时f(x)vO.从而 以)在(-oo,-3),(0,3弹调增加，在(-3.0),(3,+oo)单调减少.(2)f(x)= (x3+3x2+ax+b)e"x +(3x2+6x+a)e"x= e"x x3+(a6)x+baZ .由条件得 f(2)=0,即 23+2(a-6)+b - a=0,故 b=4-a.从而 f(x)=-e-x >3+(a-6)x+4-2a1 .因为 f(a)=f(p) = O,所以 x'+(a6)x+4 2a=(x 2)(x a)(xB) = (x 2) x2 (ap)x*ap.将右边展开，与左边比较系数，得a+P= -2,ap=

11、a-2.故一一a = /(77 + a)24a/7=J12 - 4aU-2)(a2)v0,即 aB-2(a+0)+4O.由此可得 a<-6.于是 p-a>6.2 .在解题中常用的有关结论(1)曲线)，= /*)在+ = (处的切线的斜率等于/'(%),且切线方程为丁 =尸(入0)。-/)+ /(%)。(2)若可导函数y = /(x)在X = %处取得极值，则/'(4) = 0。反之，不成立。对于可导函数/.不等式:"） > 0 （v 0）的解集决定函数/3）的递增（减）区间。（4）函数/*）在区间I上递埴 减 的充要条件是：Vx e I /'

12、（工）20 （K 0）恒成立f'（x） 不恒为0 ） .函数/« （非常量函数）在区间I上不单调等价于/（x）在区间I上有极值，则可等 价转化为方程f（x） = 0在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R ,则有>（）。（6） /*）在区间I上无极值等价于/（X）在区间在上是单调函数 进而得到（x） N 0或 广"）<0在I上恒成立（7）若Vxe/ , /（x） >0恒成立，则/"Ln >0;若m , /*） V。恒成立，则 "X）皿 <。（8）若三 xoel ,使得/（小）>0 ,则/（x）ma*

13、 >0 ;S3 xoel ,使得/（%） <0 ,则设/（X）与g（x）的定义域的交集为D ,若V X £ D /（X）> g（x）恒成立，则有 f（X）-g（X）hn >0（10）若对 X £/、X2el2 , /a）>g（%2）恒成立，则/（X）min>g（X）max- 若对 T 芭 el1 , 3 x2el2 ,使得/（$） > 8（匕），则/（项后 > gWmm - 若对V2£乙，三/ £乙，使得/（司）< 8（），则/（X）max < g（X）max （11 ）已知/（X）在区间上的值

14、域为A, , g（X）在区间上值域为B , 若对V x, e /）,3 x2el2 ,使得/（演）=g（x?）成立，则A三8。（12）若三次函数f（x）有三个零点，则方程/'（幻=。有两个不等实根内、，且极大值 大于o,极小值小于0.（13）证题中常用的不等式: lnx<x -1 (x>0) In* <xTx+12(x>l) x 1 <ln(x+l)<x (x>-l) ex >l-xi (x>0)2 2x3 .题型归纳（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换） 例1 （切线）设函数/

15、=3一".（1）当“=1时，求函数ga）=xfa）在区间上的最小值:当时，曲线）'=/"）在点尸（阳J（阳）（匹>疝处的切线为/, /与x轴交于 点 A（X2,0）求证：Xi>x2> 几例2 （最值问题，两边分求）已知函数/W = lnx - or +上1 （«eR）. X当时，讨论/（X）的单调性；2设g（x） = Y-2bx + 4.当。=；时，若对任意玉e（0,2）,存在1,2,使/（内）2g（x,）,求实数取值范围.例3 （切线交点）已知函数/6） = ©3+桁23x（力£R）在点（1，/）处的切线方程 为，+

16、 2 = 0.求函数/（1）的解析式；若对于区间一2,2上任意两个自变量的值国,占都有/（西）/（七）归c ,求实数 c的最小值：若过点M（2,?）（mw2）可作曲线y = x）的三条切线，求实数机的取值范围.f（x） = ln（2 + 3x）-x2.例4 （综合应用）己知函数2求於）在0,1上的极值：x e !,不等式 I 一 Inx I +ln/"（x） + 3x > 0若对任意 6 3成立，求实数。的取值范围：若关于X的方程/“）= -2工+匕在 1上恰有两个不同的实根，求实数人的取值 范府/X）= -例5（变形构造法）已知函数1+ 1 , 4为正常数.=2若/（x） =

17、 ln” + 9（x）,且”一2,求函数/O）的单调增区间；在中当"二°时，函数尸/的图象上任意不同的两点AG"） 风,力），线段A8的中点为C（x。，>'。），记直线A8的斜率为2,试证明：k > ./ o）.若+ 且对任意的不，小«0吐内。，都有 叼一匹 ， 求的取值范围.例6 （高次处理证明不等式、取对数技巧）已知函数/（"）=m（aD（>o） *（1）若对任意的x>°恒成立，求实数。的取值范围；,g(x) = x9Xy e(-J),X| +为 <1< 2 )当” =1时，设函数 x

18、,若 -e .，求证 Xx2 <(Xj +x2)4例7(绝对值处理)已知函数/(x) = Y+稣2+/m + c的图象经过坐标原点，且在x = l处取 得极大值.(I)求实数。的取值范围：(II)若方程/") = -三字二恰好有两个不同的根，求/(X)的解析式；(III)对于(II)中的函数/*),对任意c、/7eR,求证：l/(2sina)-/(2sin/?)l<81.例8 (等价变形)已知函数/(x) = ax-l-ln x (a e R).(I)讨论函数/(八)在定义域内的极值点的个数：< II)若函数/(x)在x=l处取得极值，对Vxe (0,+oo) J(

19、x)之法-2恒成立， 求实数b的取值范围：(III)当Ovx v y </且xwe时，试比较上与!”的大小.x 1 - In x1 、7/(x) = In x, g(x) = x2 + tnx + (m < 0)例9 (前后问联系法证明不等式)已知22 ，直线/与函数/(x)，g(x)的图像都相切，且与函数/(幻的图像的切点的横坐标为10(I)求直线的方程及m的值：(H)若(x) = /(x + l)-g'(x)(其中g' (x)是g(x)的导函数)，求函数*)的 最大值。f(a + b)-f(2a)<.(Ill)当。时，求证：2a例10(整体把握，贯穿全题)

20、巳知函数x(1)试判断函数/(处的单调性：(2)设?>0,求f(x)在上的最大值;(3)试证明：对任意wN,不等式ln(f <4都成立(其中e是自然对数的底数). n n12(IH)证明： + + + > .q %4 +1例11(数学归纳法)已知函数/(x) = ln(x + l) + 7x,当x = 0时，函数/(刈取得极大值.(1)求实数观的值；(2 )已知结论：若函数/(x) = ln(x + l) + ?x在区间(/)内导数都存在，且a>1 , 则存在与£(力)，使得广(%)= ,"") "),试用这个结论证明:若 b-a

21、-l<x, <x,函数 g(x) = /(、)/(士)(x-X) + / ($),则对任意 xe(xrx2),都有/(x)>g(x)：(3)已知正数4，4，4，满足4+4+4 = 1，求证：当之2, eN时， 对任意大于-1,且互不相等的实数内,，天，都有 /(4玉 +49 +4占)> 4/(x】)+4/(x2)+3+4J(x)例12 (分离变量)已知函数/W = / + "ln*3为实常数)(1)若 =-2,求证：函数/(X)在(1,+8)上是增函数;(2)求函数/(幻在10上的最小值及相应的值；(3)若存在使得/(x)"(" + 2)x

22、成立，求实数”的取值范围.例13 (先猜后证技巧)已知函数/ J+“心+ Dx(I)求函数f(x)的定义域(II)(HI)确定函数f(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.若Q0时/")>恒成立，求正整数A的最大值.x+l例 14 (创新题型)设函数 f(x)=ex+sinx.g(x)=ax.F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点，求a的值：(II)当 a=l 时，设 P(X】,f(Xi),Q(X2, g(x 2)(X1>O,X2>O), 且g(x)pQ g(x) = ax2 - lax + + b(aO,b< 1) 2, 3= a

23、,b f(2x)-k-2x>0/(l2r-ll) + (3) = 0.,xe -1k 2l -11 k /(x) = (x-")(x + b)e' 0、be Rx = a fM = 0 h a xe x2f x3 f W b % w R %，% x3, x4九，%，勺 123,4 % %4x)= nx g(x)= _l以2+加 3工0)若 = _2,函数 2/7(X)= /(X)-g(X)在其定义域是增函数，求的取值范围；(2)在(1)的结论下,设函数0(x)=eN+be”，xG 0, ln2,求函数°(x)的最小值；(3)设函数/(x)的图象G与函数g(x)

24、的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作工 轴的垂线分别交CI、C2于点M、N,问是否存在点R,使G在M处的切线与C2在 N处的切线平行若存在，求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.X例18 (全综合应用)已知函数/(x) = l + ln(0VXV2).2-x(1)是否存在点M(a,b)，使得函数)，=f(x)的图像上任意一点P关于点M对称的点Q 也在函数y = /(a)的图像上若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由；定义S“ = X /'(-)= /(-) + /(-)+ + /(3二)，其中W z ,求S2OI3;(3)在的条件下，令5“ +1 = 2/ ,若不等式2册

25、(4)”' > 1对e N且22恒成立, 求实数?的取值范围.导数与三角函数综合例19 （换元替代，消除三角）设函数/（x）= x（x "）2 （xeR）,其中“eR.（I）当。=1时，求曲线）' = /（x）在点（2, /（2）处的切线方程：（H）当时，求函数“外的极大值和极小值；（III）当0>3,时，若不等式/（女一8$工）三/（/_85、）对任意的 xeR恒成立，求攵的值。创新问题积累x - 2 x例20已知函数/（x） = Inx-4 4I、求/1）的极值.II、求证/（刈的图象是中心对称图形.IIL设/（X）的定义域为，是否存在，力仁。.当句时

26、，/（X）的取值范围是若存在，求实数。、b的值：若不存在，说明理由L4 4导数压轴题题型归纳参考答案例解："=1时，放幻=-7,由g'（x） = 3/_l = 0,解得_ 3 ./（X）的变化情况如下表：01-0+0、极小值/0（=走（.2.所以当 3时，有最小值耳3 - 9(2)证明：曲线'="X)在点尸2年-a)处的切线斜率k = fx) = 2x1 曲线y = /U)在点P处的切线方程为y-(2x-0)= 2阳(A-A-1)x." + ax+a 4 一 Xa = x, _ jq =_ xA =a - X X > ci 2A')X

27、 aH V2 又 2 2M，令 y = 0,得-2M ,，-2a-i2 阳<0,即、2<包2玉 2 2x, V 2 2»一“厂 +x + d , c、;(x>0)所以X >七例2/(X)= In x - ax + -l(x > 0), x令 /i(x) = ax2 - x +1 - a(x > 0)当 a = 0 时，/?(、) = 一x + l(x > 0),当 x e (0J),/?(x)> 0,/'(x) v 0 ,函数/(x)单调递 减：当xe(l,+oo),(x)<0/(x)>0,函数/(x)单调递增.当时

28、，由/"。)= 0,即ca2x + l-。= 0,解得内=1,占=1一 1. a当。=_L时玉=，(x)NO恒成立，此时/"(aOWO,函数/(x)单调递减：2当 0<。<，时，一 1>1>O,X£(OJ)时 (x)>0,/'(x)<。，函数/(X)单调递减：2 a工£(1一1)时，力(x)<0J'(x)>0,函数/(X)单调递增； axe(L 1,+s)时，/?(x)>0，r(x)v0,函数/(x)单调递减.a当 < 0时,- 1 v 0 ,当x e (0,1),力(幻>

29、 0 J'(x) < 0 ,函数/(外单调递减； a当 X e (l,y),力(x) < 0 J'(x) > 0 ,函数 /(x)单调递增.综上所述：当aKO时，函数/(x)在(0,1)单调递减，(1,+s)单调递增；当。=；时内=，力(工)之。恒成立，此时/'(X)<。，函数/(a)在(。,+s)单调递减：乙当0 < a < 1时，函数/(%)在(0,1)递减,(1,1 -1)递增,(L 一 1,*0)递减.2aa当。=1时，/(幻在(0.1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意为£(0,2), 4有/(再)2/

30、(1) = 一；，又已知存在公£1，2,使/(斗)之且(公)，所以：Ng(4)，&el，2，()又 g(x) = (x-b)2+4-,xel,2当心 1 时，g(X)min=g(D = 5-2>0与()矛盾；当bel,2时,g(x)min=g(D = 4_b2N0也与(JK)矛盾:117当人>2 时，g(x)min = g(2) = 8-4/? < -J? > .1o17 综上，实数8的取值范围是不,+s).8例 3 解：(1)/(.¥)= 3ar2 +2bx-3 .根据题意，得fj-2'即卜+ "-3 = -2,解得小，=

31、1所以“刈=9_3儿 :(1) = 0,3a + 2-3 = 0,b = 0- 7(2)令/'(x) = 0,即3/-3 = 0.得工=±1.+增极大值减极小值增2因为1) = 2, 1) = 一2,所以当xw2,2时,/皿2,2.则对于区间-2,2上任意两个自变量的值的,占，都有|/(x1)-/(x2)|<|/(x)_-/(x)mjn| = 4,所以c" .所以c 的最小值为4.因为点用(2,?)(用工2)不在曲线)，=/(工)上，所以可设切点为(,%,.%).则3Ao.因为/'(%) = 3宕一3,所以切线的斜率为3*-3.则 3x：,即 2,$

32、-6玉；+ 6 + / = 0.-v0-2因为过点M(2, ?)(/工2)可作曲线> =/(x)的三条切线, 所以方程2"-6%；+6 + ? = 0有三个不同的实数解.所以函数8() = 2136+6+加有三个不同的零点.则 g'(x) = 6/T2x .令g'(x) =。, 则 x =。或x = 2.02+极大值:成极小值增则|g(0)>0，即J6+ >0，解得_6<z<2 h(2)<2-2 + m<0例4解：(1)/r(x)=3 _ 3( = _3(x+1)(3x-1)2 + 3x3x + 2令/'(x) = 0

33、得X = L或x = l (舍去)当o < X v 1 时，/") > 0,/(a)单调递增：当 1 < x K 1 时,/'") < 0,/(x)递减./(!)= In 3 1为函数/(x)在0,1上的极大值. 36由 I a-lnx I +ln"'(x) + 3x > 0得 > Inx- In-或a < lnx + ln- 2 + 3x2 + 3x、八，/、 i 13. 2x + 3x2/、1133x设 力。)=In x - In= In， g(x) = In x + In= In.2 + 3x 32

34、+ 3x2 + 3x依题意知a > /心)或“< g(x)在x e上恒成立，6 3，,、2 + 3x 3(2 + 3x)-3x32 八.通=丁.(2+3j=而后>°,“、31 0,、2 + 6% dh (x)=,一(2 + 6x) = > 0，2x + 3x2 32x + 3x2：.g(x)与力。)都在!'上单增，要使不等式成立， 6 3当且仅当a > (')或a < g('),即a > Ini或a < In-.36353由/(4) = -2x + b = ln(2 + 3x)-x2 +2x-b = 0.23令(

35、p(x) = ln(2 + 3x)- -x2 + 2x - 则(px)=2一一2 二 土2 + 3x2 + 3x行Fj当 x e 0,_时«(X) 0,于是p(x)在0,上递增：后万x e 一刀时，9(x) 0,于是9(x)在工-,1上递减，/7行而。(彳)。(。)，9(、) 。，/(x) = -2x +“即叭x)=。在0恰有两个不同实根等价于例5解：r-品x2+(2-a)x+lx(x + l)29= 令八幻0得人2或0x5，函数/(x)的单调增区间为(0弓),(2,+00). 乙乙乙证明：当 =0时/(x) = lnxI12ini，又一/(司)_11】- 1呻_ X不妨设演，要比较

36、k与广(曲)的大小，即比较与 _的大小, X + X22卢-1)又;巧 >王，即比较In也与2(工，牛)=_的大小.玉 Aj +X2 包+ 令/(a) = lnx-"< A -1 (a >1)，则人'(x) = -4 7 = (: ? , >0,X + 1X (x + 1)" x(x+y./?(X)在6+8)上位增函数.2(-1)又上>1,.力(上)>/7(1) = 0, lni>,即2>r(x°) xX1再 入2十贝上)一()7.8()+小一卜(药)+ 土()X2 -xx2 - x由题意得F*) = 8(x

37、) + x在区间(0,2上是减函数.10 当lWxK2,F(x) = lnx + - + x,，Ef(x) = - + 1x + 1k (A + lf由 P'(x) W 0 = 4 之(v - D +。+1)2 =/+3x + , + 3 在 xel,2 卜恒成立.XX设m(x)=r+3x + J_ + 3, xeh2,则M(x) = 2x-+ 3>0 XX"，心)在1,2上为增函数，：.a> M2)=,.2° 当0<x<l.E") = - lnx + - + x,，F'(x) = - + 1 x + X (x+l).由 F

38、'(x)s0 = N-ililL +(x+i)2 =/+4一1一1 在xe(OJ)恒成立XX设“X)二+ X- J_一 1 , A.(0,1)为增函数, >/(1)= 0 X77综上：。的取值范围为3.2例6解：(1) /*(x) = 2a1ii(6/a) + x, f"(x) = 2aln(ar) + x<x2,即2 In ax + 1 S x在k > 0上恒成立2设 (x) = 21nax + l - K /(x) =二一 l=0,x = 2, k>2 时，单调减，x<2 单调增, ， x所以x = 2时，心)有最大值WO,21n2a + l

39、W2,所以。<三五.2f ( V)(2)当 a = l 时，g(x)= =xh】x, xg") = 1 + Inx = 0,x = L所以在(L+8)上8(x)是增函数，(0,)上是减函数. eee因为 1<用< 1，所以g(M +刀2)= (» + as)n(x + x)> g(x) = x In%,e即 In 内 < 二 ln(x)+ 占)同理 In x-> < 二.n(x1 +x7).内x2所以Ex】 +lnx7 <( " + " + " " )E(. + xI) = (2+ +

40、-)ln(x)+&) X2»_X2 X又因为2 +上+ *2 4,当且仅当"勺=叼”时，取等号.又看,工2 e(-J),X1 +/ <1, In(x)+x2)<0,JV X所以(2 +2+二)ln(X +)&4111(玉 +x2)所以ln» +lnx2 <4皿1+x2) X2 X所以:xx2 <(xt +x2)4.例 7 (I) /(0) = 0 = c = 0J'(x) = 3/ + 2av + A/'=0 =匕=-24-3 由/0) = 0 =入=1曲=”1,因为当x = l时取得极大值, 所以2士2 &

41、gt; 1 = < 一3 ,所以4的取值范围是：(-8.-3)：3(II)由下表：+0一0-递增极大值 一0-2递减极小值递增依题意得：上(2 + 3)2 =-白上上，解得：。=一9 279所以函数/(X)的解析式是：/(x) = x3-9x2 + 15x(III)对任意的实数a,夕都有一2 V 2sina « 2,-2 <2sin/7<2,在区间-2, 2有:/(-2) = -8-36-30 = -74,/(1) = 7,/(2) = 8-36 + 30 = 2函数/。)在区间-2,2上的最大值与最小值的差等于81.所以 l/(2sinc) /(2sin /?)1

42、<81.例8解：(I )/(幻=。一，=竺二1,当“W0时，广(x) V0在(0,+oc)上恒成立，函数f(x) X X在(0,+oc)单调递减，/(X)在(0,+8)上没有极值点：当4>0时,/")vO 得 OvxJ,/'3)>0得工1, a “X)在(0,L)上递减，在(L,+s)上递增，即/(幻在x = i处有极小值.aaa，当a W 0时/(x)在(0,+8)上没有极值点，当“>0时，力在(0,+8)上有一个极值点.(1【):函数/(X)在 x = l 处取得极值，4 = 1, A f(x)>bx-2 + - - >b, X X令g

43、(x) = l + L-”二可得g(x)在(o,e上递减，在卜,+8)上递增， X，g(X)mm =放/)= 1一4，即人工 I-! 6一夕令 g(x)= i(川)证明："”>器子=3>舟而 ,则只要证明g(x)在(e-l,+oo)上单调递增,ex ln(x + l) -.x + ln2(x + l)-显然函数b(x) = ln(x +1) 在(e 1,+s)上单调递增. x+h(x) > 1 - - > 0 HP g'(x) > 0，ee/ g(x)在(e - 1,+s)上单调递增,即>ln(x+ 1) ln(y+ 1)，当 x>y

44、>e l 时，有"7In(x + 1) > ln(y + l)例9解：(I) 0飞X)=1,./<1) = 1；.直线/的斜率为1, x且与函数/(X)的图像的切点坐标为(1, 0),直线/的方程为丁 =%一1.y = x - 1又直线/与函数丁 = g(x)的图象相切，方程组41 ,7有一解.y =一厂+ mx + C 22由上述方程消去y,并整理得x2 + 2(? l)x + 9 = 0依题意，方程有两个相等的实数根，. = 2(l1)24x9 = 0解之，得m=4或m=-2, Qm < 0,二 m = -2. ,7(II)由(I)可知g(x) = 5，d

45、2x + s，Yg x) = x _ 2,h(x) = ln(x +1) _ x + 2(x > _ 1) /. h x) =1 =.'x+x+：.当x e (T, 0)时，h' (x) >0, h(x)单调,当 x w (。,+°°)时,hx) < OJi(x)单减。.当x=0时， (x)取最大值,其最大值为2。(111) f (a + 力)- f Qa) = n(a + Z?)-In2a = In " " = ln(l + -).2a2ah ci a证明，当X£(T,O)时，ln(l + x)<x,/

46、. ln(l +)<.2ala例10解：(1)函数的定义域是(0,衿).由己知/")=匕”.令人幻=0,得1=八T因为当 Ovxve 时，fx) > 0 ；当 时，/(a) < 0 .所以函数/(X)在(0,可上单调递增，在但母)上单调递减.(2)由(1)可知当2"Qe,即“时，在九2网上单调递增，所以当?“时，f(x)在也2/川上单调递减,所以/")3=皿7.当?vev加，即 me 2In/r?.、1, m>e m:机 <e时，/(x)g =/(e) = Ll 综上所述，di=, 2e(3 )由(1 )知当xg(0.+oo)时f(x

47、)g=/() = 1-1.所以在xe(O,-wo)时恒有 ex) = -1ST,即把当且仅当x = ?时等号成立.因此对任意xe(O,y) x e x e恒有IXL因为1>。，*，所以n巴.巴，即®匕与巴.因 ennn e nn n此对任意 eNZ不等式皿*),<以. n n例11解：(1 )当xe(1,0)时，f(x) > 0 ,函数/(x)在区间(1,0)上单调递增：当xe(0,y)时，fx) <0,函数/(x)在区间(。，)上单调递减.，函数/3)在x = 0处取得极大值，故? = 7.(2 )令 h(x) = fM-g (x) = f(x)-二3 (x

48、 再)一 /(再)， 石一当则 1(x) = r(x)_/(5/(£).函数 / 在 xe(x，x)上可导，存在MF-王)e (司,占)，使得 ffM ="、)二"七)不一当./'*)=/幻=/'(X)-/'(X。)=U一: = ： ,充' " X+1X +1 x0 +1 (x + l)(x0 + 1)二,当xeac)时，hx) > 0 ,力(x)单调递增，,*)>/?(占)=0：.,当:(/，天)时,hr(x) <0, Zi(x)单调递减，.,.力(%)>力(巧)=0：故对任意xe(x1,X2)，

49、都有/(x)>g(x).(3 )用数学归纳法证明.当” =2时，-4+4 = 1,且4>o, 4>o,4$ w 区,占)，二由(H)得 /*) > g(x),即/(4% + 4x,)> "')"士)(4% + 4占一玉)+/(内)=4/(%)+4/(占)，-王一 W-一-，当 =2时，结论成立.假设当n = k(k>2)时结论成立，即当4+4+4=1时， /(4内+ 4占+"/)> Af(X) + 4/(七)+ %f(*k ) ,当九=女+ 1时，设正 数 4,4,，4+i 满 足 4+小 +4+1 = 1 ， 令

50、 ？ = 4+4+4 ，M =，2 = &，£ =,，则' + 4+l = 1 'L“ + 2 + + /4 = L.当 =1 + 1时,结论也成立.综上由(§),对任意“22, ”eN,结论恒成立.例 12 解：当。=一2 时，/(x) = x /'(x)=二匚 + ln(x + l)当x > 0时，/(x) < 0 单调递减。厂x + 1当 xt(1,0),令111XSW = - + ln(x +1)g'(x) = " -_+ - =. 、< ox + 1(x + 1” x + 1 (x + 1)-21

51、nx,当 xw(l,+oc), /y)=2(r 1) >0 ,故函数/(X)在(L+8)上是增函数.(x)=2i +“(x>0),当xeHM, 2x2 +aea + 2,a + 2e2. x若之2 /(x)在口上非负(仅当” =-2, x=l时,/V) = 0),故函数/(x)在U，e上是增函数，此时/(Mmin =/«)= L若一2><“<一2,当尤=，/时,/'(%) = 0：当时，/“(幻<0,此时/(幻是减函数：当J于时，/'(%)> 0,此时/是增函数.若“W-2J,八外在U，e上非正(仅当 = _2e2, x=e时

52、,<(x) = 0),故函数/3) 在乩可上是减函数，此时/*)而n =/(e)=" +J.不等式/W (" + 2)x,可化为a(x - In x) >x2 - lx.丁 xehe, A Inx < 1 < x且等号不能同时取，所以Inx< x ,即x - Inx> 0 ,因而心f (xe10)x-nx人 r2 -2x】，/、 (x-l)(x + 2-21nx)令K(x)= r1一±1 (xel,ej),又一(外二一,，x-lnxdnx)-当xel,e时，x-l>0Jnx<l t x + 2-21nx>0,从

53、而8(x)N0 (仅当x=l时取等号)，所以g(x)在1,(上为增函数,故g&)的最小值为8=-1,所以“的取值范围是-1,+8).g(x) =+ ln(x + Dx+1g'(x) =I 1 X-T + = T(x+ir x+i (x+i)2<0例 13 解：(1)定义域(一1,0) = (0,+8)故g(x)在(T, 0)上是减函数，即g(x)>g(O) = l>。，故此时/'(x) =-一+也(工+ 1)在(- 1, 0)和(0, +OO)上都是减函数 厂X+1(3)当x>0时，f(x)> 恒成立，令x = l有k<2l + ln

54、2x + 1又k为正整数，k的最大值不大于3下而证明当k=3时，*>0)恒成立x + 1当x>0时(x + 1)In(x + l) + l-2x > 0恒成立令 g*) = (x + l)ln(x + l) + l-2x 则 g，(x) = ln(x + 1)-1,当xe-1 时g，(x) = n(x + l) - 1,当e-l时,gr(x) > 0 当0cxe e-l时，g'(x) < 0*当 x = e -附，g(x)取得最小值 g(e -1) = 3 - e >。当工>0时，(x + 1) ln(x +1) +1 - 2x > 0恒

55、成立，因此正整数k的最大值为3 例 14 解：(I )F(x)= eK+sinx ax. F x) = ex + cos x-a.因为户0是F(x)的极值点，所以尸(0) = 1 +1 -。= 0,a = 2.又当 a=2 时，若 x<0, Fx) = ex + cos x - a < 0 ；若 x>0, F x) = ex + cos x - a >0.：.x=0是F(x)的极小值点，.a=2符合题意.(II)且 PQ X2 = eXx + sinx1 x2 -= eX + sinxA -x1 令(x) = ex + sin x - x,h '(x) = ex

56、 + cos x -1 > 0 当 a>0 时恒成立.Axe0,+oo)时,(x)的最小值为 A(0)=L，IPQ加产L (HI)令夕(x) = F(x)- F(-x) = ex -eTx + 2sin x - 20r.则(px) = ex +6一, + 2cosx-2a S(x) =(px) = ex -e"x -2sinx.因为S '(X)= ex +_ 2 cos x之0当a>0时恒成立，所以函数S(x)在0,+s)上单调递增，.S(x)NS(O)=O 当 x£0,+oo)时恒成立；因此函数?'()在也+s)上单调递增，0'(

57、x) >。(0) = 4-2当a 0,+oo)时恒成立.当壮2时,夕(幻> 0.(p(x)在0,+8)单调递增，即(px >奴0) = 0.故a<2时Rx)汁(一；v)恒成立.例15 解：(I ) (l)g(x) = a(x-lf+1+Z?-。当。>0时,g(x)在2, 3上为增函数g=219 一 6a + 2 + = 5a = 1g(2) = 514"-4 + 2 + /? = 2b = 0当"耐,g(x)在2, 3上为减函数m g(3) = 29a 6a + 2 + b = 2a = -1桢g =2 = 4a4a + 2 + b = 5=

58、b = 3 b v 1 ：. a = 1 b = 0 即 g(x) = x2 2x + l. f(x) = x + -2. X(H)方程/(2*)粗2*20化为21 +二一22211 +(/)2-2衣之左，令呆f，k<r-2t + lx e -1,1 .，e g,2i己例。=r _2/ +1，(Omin =0：.k<0(HD 方程/(I2*ll) +攵(百二一3) = °化为 12-11+谷j-(2 + 3幻=° 12 1 I12 1112-H2 -(2 + 31)12*-11+(1 +24) = 0, 12、一1X0令12* -11= f,则方程化为产 ,(2 + 令)f + (1 + 22) = 0 (t