(2015-2017)三年高考真题专家解读精编解析一专题19-抛物线

1、1.【 2017 课标 1，理10】 已知 F为抛物线C： y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1， l2，直线l1 与C交于A、 B 两点，直线l2与C交于D、 E两点，则| AB|+| DE| 的最小值为A 16B 14C 12D 10A(x1, y1 ), B (x2, y2), D (x3 , y3), E (x4, y4)l1方程为 y k1(x 1)联立方程y2 4x22得k1 x22 2k12x 4x k1222y k1 (x 1)0 x1 x22k1 4 2k14k12l2 与抛物线的交点满足x3x422k22 4| AB | DE| x1x2x3x42p222k124

2、 2k224k12k22444k1 k21 (或k12k228216k12k228 161 )时，取得等号22 .【 2016 年高考四川理数】设O 为坐标原点，P是以F 为焦点的抛物线y 2px(p 0)上任意一点， M 是线段PF上的点，且PM =2 MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )322A)( B)( C)( D) 1332C试题分析：设P22pt2,2pt,M x,yuuur0 ) ，则 FP2pt2 p ,2pt . 由已知uuuur 得 FM1 uuurFP ， 3p22pt32p 2 pt2p 2 p3t 3,，2pt3,kOM2t2t2 11t12tkOMmax2，故

3、选2C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用22px(p 0)上任意一点， M 是线段PF上的点，且PM=2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为试题分析：设A)2B) 23C)D) 12pt2,2pt,Mx,yuuur0 ) ，则 FP22pt2p, 2pt . 由已知2uuuur得 FM1 uuur FP ，3p22pt323pt2pt2 32pt3,p3,，kOM2t2t2 11t12t12 12kOMmax2 ，故选2C.3 .【 2016 年高考四川理数】设O 为坐标原点，P是以 F 为焦点的抛物线y考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用 【名师点睛】本题考查抛物

4、线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值4 .【2016 高考新课标1 卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B 两点,交C的准线于D、E两点.已知| AB|= 4 2 ,| DE|= 2 5 ,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】考点：抛物线的性质。,所以本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误解题时一定要注意运算

5、的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要 原因 .25 . 【 2015 高 考 四 川 ， 理 10 】 设 直 线 l 与 抛 物 线 y 4x 相 交 于 A， B 两 点 ， 与 圆222x 5 y2 r2 r 0 相切于点M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线l 恰有 4 条，则 r的取值范围是()(A)1，3 (B)1，4 (C)2，3 (D)2，4【答案】D【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k.设y12 4x1A(x1 , y1), B (x2 , y2 ), x1 x2, M (x0 ,

6、y0) ， 则 2， 相减得 ( y1 y2 )( y1 y2) 4( x1 x2 ) .y2 4x2由于x1x2，所以y1y2y1y22，即ky02.圆心为C(5,0)，由 CM AB得2x1 x2k y0 01,ky0 5 x0，所以2 5 x0,x0 3，即点 M 必在直线x 3上 .将 x 3代入x0 5y24x得y212,2 3y023.因为点M 在圆 x 5 2y2r2r 0 上，所以222222(x05)y0r ,ry04 12 416.又y044(由于斜率不存在，故y0 0，2所以不取等号)，所以 4 y02 4 16, 2 r 4 .选 D.4x 的焦点为F ，不经过焦点的直

7、线上有三个利用这个范围即可得到r 的取值范围。6. 【 2015 高考浙江，理5】如图，设抛物线y2不同的点A ， B ， C ，其中点A ， B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则BCF 与 ACF 的面积之比是（）2BF 1BF 1.B. 2AF 1AF 1A.2BF 1BF 1C.D. 2AF 1AF 1S BCFS ACFBC x BF 1xB，故选 AAC xA AF 1几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的 距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考7 .【 2017 课标II，理16】 已知 F

8、是抛物线C: y2 8x的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N 。若 M 为 FN 的中点，则FN 。【答案】6【解析】试题分析：点 A，【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。8 . 【 2016 高考天津理数】设抛物线x 2 pt ， （ t 为参数，p> 0）的焦点为F，准线为l

9、.过抛物y 2pt线上一点A作 l 的垂线， 垂足为B.设 （C 7 p,0） ， AF与 BC相交于点E.若 | CF|=2| AF| ， 且 ACE的面积为3 2 ，2则p的值为 .【答案】6试题分析：抛物线的普通方程为y23则 AF 3 p ，由抛物线的定义得22px， F( p ,0) ， CF23AB 3 p ，所以 xA272p 2p 3p， 又 CF 2AF，p，则|yA| 2p，由CF/AB得EF CF ，即 EFEA AB EACFAF2 ，所以 S CEF2S CEA 6 2 ， S ACFS AEC S CFE9 2，所以21 3p 2p 9 2， p 6考点：抛物线定义

10、1. 凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若P（x0，y0）为抛物线y22px（p>0）上一点，由定义易得| PF| x02p；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为| AB| x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9. 【 2016 高考浙江理数】若抛物线y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为10，则 M 到 y 轴的距离是【答案】9【解析】试题分析：xM 1 10xM 9考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一

11、般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离10. 【 2017 北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1， 1 ）.过点（0，1 ）作直线l 与抛物2线 C 交于不同的两点M ， N ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线OP， ON 交于点A， B，其中O 为原点 .（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点 .11【答案】 （）方程为y2 x，抛物线C的焦点坐标为（， 0） ，准线方程为x.（）详44见解析 .试题分析：（）代入点P 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程

12、；（）设直1线 l 的方程为y kx 1 （ k 0） ， 与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON 的方程为2y y2 x，联立求得点B 的坐标（x1, y2y1） ，证明y12x1 0 .x2x2x21试题解析：解：（）由抛物线C： y2 2 px 过点P（ 1， 1） ，得 p .2所以抛物线C 的方程为y2 x .抛物线 C的焦点坐标为（1 ， 0） ，准线方程为x 1 .44y1 y2 y1 2x1y1 y2 y2 y1 2x1x211(kx1)x2 (kx2)x1 2x1 x222x2x2x2(2k 2)x1x212 (x2 x1)(2k 2)1 1k224k22k20，x2

13、所以y1 y2y1 2x1 .x2故 A 为线段BM 的中点 .1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.11. 【 2016 高考江苏卷】(本小题满分10 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l : x y 2 0 ，抛物线C : y22 px( p 0)1 )若直线l 过抛物线

14、C 的焦点，求抛物线C 的方程；2)已知抛物线C上存在关于直线l 对称的相异两点P和 Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2 p, p). ；求 p 的取值范围【答案】 ( 1 ) y2 8x ( 2)详见解析，(0 4)3【解析】值范围。( 2)设P(x1 , y1 ), Q (x2 , y2 ) ，线段 PQ 的中点 M (x 0 ,y 0 )因为点 P 和 Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1 ，则可设其方程为y x b.由 y 2 px 消去 x得 y2 2py 2pb 0(*) y xb因为 P 和 Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y1 y2 ,从

15、而(2 p)2 4( 2 pb) 0 ，化简得p 2b 0.方程( *)的两根为y12 pp2 2pb ，从而y0 y1y2 p.,02因为 M (x 0 , y0 ) 在直线 l 上，所以x02 p.因此，线段PQ 的中点坐标为(2 p , p).因为 M(2 p, p). 在直线 y x b 上所以 p (2 p) b ，即 b 2 2 p.4由知 p 2b 0，于是 p 2(2 2p) 0，所以 p .3因此p的取值范围为(0, 4).3考点：直线与抛物线位置关系12 .【 2017 浙江， 21】 (本题满分15 分)如图，已知抛物线x2 y，点A( 1 ， 1 )， B(3， 9 )

16、，242413抛物线上的点P(x, y)( 1 x 3) 过点 B 作直线 AP的垂线，垂足为Q22AP 斜率的取值范围；| PA | | PQ |的最大值( 1,1)；()2716试题分析：()由两点求斜率公式可得AP 的斜率为x 1 ，由 1 x 3 ，得 AP 斜率的取222值范围；()联立直线AP 与 BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达| PA | 与 | PQ | 的长度，通过函数f (k) (k 1)( k 1)3求解 | PA| | PQ |的最大值试题解析：21 xAP 的斜率为k，则k 41x2x 1 ，2131 x 3 ，直线AP 斜率的取值22范围是 ( 1,1) (

17、)联立直线AP 与 BQ的方程1 kx y k29x ky k14320,0,4解得点 Q 的横坐标是xQ2k 2 4k 32(k2 1)| PA|= 1 k2(x1 ) = 1 k2 (k 1)| PQ|= 1 k2 (xQ x)2(k 1)(k 1) ，所以 | PA| PQ|= (k 1)(k 1)3 k2 1令 f (k) (k 1)( k 1)3 ，因为 f '(k)(4k2)( k 1)2 ，所以1 f(k)在区间 ( 1, 1 ) 上单调递2| PA | |PQ | 取得最大值271611增， ( 1 ,1) 上单调递减，因此当k= 1 时，2213 .【 2016 高考

18、新课标3 理数】 已知抛物线C ： y 22 x 的焦点为F ， 平行于 x 轴的两条直线l1, l2分别交 C 于 A, B 两点，交C 的准线于P， Q 两点( I )若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明AR P FQ ；( II )若 PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】 ()见解析；() y 2 x 1 【解析】试题分析：()设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A, B,P,Q, R 的坐标，然后通过证明直线 AR 与直线 FQ 的斜率相等即可证明结果了；()设直线l 与 x轴的交点坐标D (x1,0) ，利用面积可求得x1 ， 设出

19、AB 的中点 E(x, y) ， 根据 AB 与 x轴是否垂直分两种情况结合kAB kDE求解试题解析：由题设F( ,0). 设 l1 : y a,l2 : y b，则 ab 0，且222a b 11 1abA(2 ,0),B(2 ,b),P( 2,a),Q( 2,b),R( 2, 2 ).记过 A, B 两点的直线为l ，则 l 的方程为2x (a b)y ab 0 3分()由于F 在线段AB 上，故1 ab 0 .a b a b 1 ab记 AR的斜率为k1 ， FQ的斜率为k2，则k122b k2，221 a a ab a a所以 AR P FQ 5分（）设l 与 x轴的交点为D（x1,

20、0） ，则 S ABF12 b a FD12ba x1ab0 （舍去） ，x11 .1 b a x11 a b ，所以x12122设满足条件的AB 的中点为E（x, y） .AB 与 x 轴不垂直时，由kAB kDE 可得 2 y (x 1) .ab x1而 a b y ，所以 y2 2x 1(x 1).AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，所以，所求轨迹方程为y2x 112考点： 1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法与从动点。214. 【 2015 高考新课标1，理20】在直角坐标系xoy 中，曲线C： y= x 与直线 y kx a （ a >40）交与M,N 两点，（）当k=0时，分别求C在点 M 和 N 处的切线方程；（） y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有OPM= OPN？说明理由.【答案】 （） ax y a 0 或 a