(word完整版)高等代数(北大版)第5章习题参考答案[1]

1、第五章二次型1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1） 4x1x2 2x1x3 2x2x3 ；2) x122x1x2C 2 A222x2 4x2x3 4x3 ；3) x123x22x1x22x1x36x2x3 ；4) 8x1 x4 2x3x4 2x2x3 8x2 x4 ；5) x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4 ；6) x122 x22/4x4 4x1x2 4x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4 ;7) x1222x2x32x42x1x22x2x3解 1 )已知 f x1, x2, x34x1x2 2x1x3 2x2x3,先作非退化线性替换

2、x1 y1 y2x2 y1 y2(1)x3 y3则r2.2.f x1, x2, x34y1 4y2 4y1y3,2/22,24y14y1 y3 y3 y3 4y2八32.22y1y3y34 y2,再作非退化线性替换1 1y1二乙二z32 2y2Z2y3z3则原二次型的标准形为x1,x2，x322 2Z14Z2于是相应的替换矩阵为且有2 ）已知f由配方法可得于是可令X1,X2, X3f X1, X2, X3则原二次型的标准形为且非退化线性替换为相应的替换矩阵为XiX2X312Z112z1TATX122X1X1y1y2y3Z2Z22x1x2X1, X2, X3X1X2X32X1X2X2X1X2X3

3、y1y2y312z312z32X2X2X22X3 ,2y12y2(3)21204x2X32X221214x1,24X2X3 4X3y22y32 y3且有TAT(3)已知由配方法可得f X1，X2，X3于是可令X1,X2,X32X1X1则原二次型的标准形为且非退化线性替换为X1X2X3相应的替换矩阵为且有TAT2X13x22x1x22X1X36X2X3 ,2x1x22x1 X32X2X32X22X34x24X2X3 X2X2X32 2x2X3y1y2y3y1y3X1 2x2X3V2X2X3X3X1，X2，X3135 y22 y312y32y12y2先作非退化线性替换xiyi y4X2y2f Xi

4、,X2,X3,X4再作非退化线性替换f Xi,X2,X3,X4再令则原二次型的标准形为X3X48y1y4y3y42y3y42y2y38y2y42y42y4yiy2i 8y3yii2y2i2yii2yi8 2Zi2z2Wiw2W3W4i2y2i2y2yiy2y3y，Z2Z3ZiZ2Z2Z45 8z25X24i2乙y3i8y3Z3Z338z358z2Xi,X2,X3,X42y2y3V4Z4yiZiV25 4z23X3438z32wi2Z42w|2w；8w2i4y33 4z32y2y3,相应的替换矩阵为且有X3X4TAT153- w1w2w244W2W3W2W3XiX2w41 W12(5)已知 f

5、X1, X2 , X3 , X4X1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X4先作非退化线性替换X12y1 V2f X1, X2, X3, X42y1y2y1再作非退化线性替换Z1Z2Z3X2X3X4y2V2y3V42y1y32 y2 y32y1y4 2y2 y4V2y1y1y3Z4 y4y3V4y312y423 22；y4y1y212y4y3y，则原二次型的标准形为yiy2y3f Xi, X2, X3,X4且非退化线性替换为XiX2X3X4相应的替换矩阵为且有TAT(6)已知 f xi, x2, x3, x4由配方法可得f Xi, X2 , X3, X42xiZiZiZ3Z4Z22Zi2Z

6、2Z2Z32Z3Z3ZiZ2Z32Z4iZ42，Z3Z42 xii2"2x2 x3 2x2 x42xi 2x2 2x3 x44xix22x3X42x24x1X32X32xix42X4于是可令则原二次型的标准形为且非退化线性替换为故替换矩阵为且有(7)已知由配方法可得Xi2x2 2x3yiX12x2y2y3y，2y1X2X3X42y22x42 x23X32X42x31一 X422y3X1y12y2y33X2y22y3y4X3y3y4X4y4y4TATX4X1,X2,X3,X4f X1, X2, X3, X42X2X12X1于是可令2X12x2X2X2X132X312X413212X2X

7、1X3X3X22X3X32X4X12X1X3X3X42x1x22x2X32X3X4 ,X32X32X1X32X3X42x1X32X3X42X42X32X32X12X42X12X3X32X4X1X3yX1V2X1X2 X3V3X3X4V4X1X3则原二次型的标准形为22222f y1y2y2y4 ,且非退化线性替换为X1y1X2V2 V4X3y1 Va 'X4y1V3Va相应的替换矩阵为10 000101T,10 0110 11且有10 0 00 10 0 T AT。0 0 100 0 01（n）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非 退化线性替换。解1

8、）已求得二次型f X1,X2,X34X1X2 2X1X3 2X2X3的标准形为且非退化线性替换为2,2- 2fy1 4y2 3y3 ,y2V212y31X1- y11X2-y1X3 V3可得二次型的规范形为yZ3y2y3Zi222ZiZ2Z3。(2) 在复数域上，若作非退化线性替换yiiziy2i二 Z2，2y3zi可得二次型的规范形为222ZiZ2Z3。2 )已求得二次型f X1,X2 , X3x2 2xix2 2x； 4x2x3 4x；的标准形为且非退化线性替换为22f yiy2,xiyiy22 y3x2y22 y3x3y3故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范

9、形22f yi y2 。3)已求得二次型2 f xi,x2,x3 xi的标准形为f yi2且非退化线性替换为3x2 2xi x22x1x36x2x32y2 ，xix2x3i3yi 二 y2 二 y322i i3y2 2y3'y322f y1y2。(2) 在复数域上,若作非退化线性替换y1Z1y2iZ2。y3Z3可得二次型的规范形为22Z1z2 。(3) 已求得二次型f Xi,X2,X3,X48x1x2 2x3x4 2x2 x3 8x2x4的标准形为2y122y22y3 8y2,且非退化线性替换为x112y1537y27y3 y4x2y2y3x3y21y3x4-y1 y42(1) 在实数

10、域上，若作非退化线性替换y1y2121-2 1Z4Z2y32z3V4122 Z1可得二次型的规范形为2222Z1Z2Z3Z2 。(2)在复数域上，若作非退化线性替换i,：，2i2必V2V3V4可得二次型的规范形为fz2(5)已求得二次型f Xi,X2,X3,X4的标准形为2223 2fyiy2 y3 - y4,4且非退化线性替换为iXiyiy2 y3 2 vAiX2yiy2 y3 2 yiX3V3 2 V4X4V4(i)在实数域上，若作非退化线性替换yi Z2V2Ziy3Z3，2y4 Z43可得二次型的规范形为Z2iZ32i Z4 2.22Z2Xi X222Z3Z2 。XiX3XiX4X2X3

11、 X2X4 X3X42222ZiZ2Z3Z4 。(2)在复数域上，若作非退化线性替换yiiZiV2Z2y3iZ3，2 .V4iZ43可得二次型的规范形为2z12Z222Z3Z4。6）已求得二次型f Xi,X2,X3,X4x12 2x2 x2 4x1x2 4x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4的标准形为2212f y1 2y22 y3 ,且非退化线性替换为x1 y12 y2 y3 y43又2 y2- y3 y，2x3 y y4x4 y4（1）在实数域上，若作非退化线性替换可得二次型的规范形为fy1Z21y2一 Z3<2,y32z)y4Z4222z1Z2Z3。（2）在复数域上，若

12、作非退化线性替换y1 iz1iy2 而z2,V32Z3V4 Z4 可得二次型的规范形为222f Z1 Z2 Z3。7）已求得二次型2x1x4f x1,x2,x3,x4 X； 2x； x2 4x1x2 4x1x32x2x32x2x42X3X4的标准形为2222f y1 y2y2y4 ，且非退化线性替换为x1y1x2y2y4。x3y1y4x4y1y3y4（ 1 ）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即2）在复数域上，若作非退化线性替换可得二次型的规范形为2 证明：秩等于r证 由题设知且 D 为对角阵，又因为其中d10D122f y1 y2若作非退化线性替换y1 z1y2 z2

13、，y3 z3y4 iz422f z1 z2的对称矩阵可以表成A A 且 rank(A)CAC11C,C1,C1 CC AC D1 D 222y2y4 。于是A0d2,D2001C D1 D2C 1 D1C 1223 z4。r 个秩等于1 的对称矩阵之和。r ，于是存在可逆矩阵C 使D，1均为可逆矩阵，所以有Dr，00, ,Drdr000Dr C 1D2C1 C 1 DrC1。1rank C DiC11 i 1,2,r ，C 1 DiC 1C 1 DiC 1 C1DiC 1。即 C1DiC 1都是对称矩阵，故A可表成r个秩为的对称矩阵之和。3证明：i1i2in合同，其中i1i2 in>1,

14、2,n 的一个排列。证 题中两个矩阵分别设为A, B ，与它们相应的二次型分别为222A1x12x2nxn ，222fBi1 y1i2 y2in yn ，作非退化的线性替换ytxitt 1,2, n ，则fB可化成fA。故A与B合同。4 .设A是一个n阶矩阵，证明：1 ） A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量 X ，有 XAX 0 。2 ）如果 A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量 X 有 X AX 0 ，那么 A 0 。证 1 ）必要性。因为A A ，即 a ii0, aija ji i j ，所以XAXaij xi xj i,ja a xxij ji i jaija ji 0 ，故X

15、 AX aij aji xixj 0。充分性。因为 X Rn,有XAX 0,即2 a11x1a12 a21 x1 x2x1n a n1 x1xn2 a22 x2a2n an2 X?XnannXn0这说明原式是一个多元零多项式，故有aiia22a nn 0,aj aji i即A Ao2 ）由于A是对称的，且XAX 0,即2 aiiXi2 a12X1X22 ain xi xn2 a22X22a2n X2XnannXn 0这说明XAX为一个多元零多项式，故有aiia22ann0,2aij0aijaji0,即A 0。5 .如果把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，

16、问共有几类？解 实对称矩阵 A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵 T与C使didrd2T BT C ACdi i 1,2, ,r中可分为卜面考虑对角矩阵 D的相应二次型的合同分类情况，在r个正，0个负r 1个正，1个负2个正，r2个负1个正，r1个负0个正，r个负共计r 1个合同类。但秩r又可分别取n,n 1, ,2,1,0 ,故共有个合同类。6 .证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于 2且符号差等 证 必要性。设于0,或者秩等于1。f X1,X2, ,XnaiXi a2X2anXn biXib2X2bn Xn ,其中ai ,bi i 1,2,

17、 ,n均为实数。1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即bikaii 1,2, ,n2）若两个一次式系数不成比例，yi aiXi y2 bi Xi yi Xi使f Xi, X2,再令yi ziy2 ziyi Zi则二次型可化为f Xi,X2, Xn故二次型f X1，X,Xn的秩为2,且符号差为0。不失一般性，可设 40 ,则可作非退化线性替换yi aiXi 82X2anXnyiX i 2, ,n使二次型化为f Xi,X2, ,Xnkyi2yi y2ziZ2 ，,故二次型f Xi,X2, , Xn的秩为io,则可作非退化线性替换 bib2a2X2anXnb2X2bnXn ,i 3, ,n,Xny

18、1y2。Z2Z2，i 3, ,n充分性。1）若f X1,X2, ,Xn的秩为1,则可经非退化线性替换 Z CY使二次型化为2f Xi,X2, ,Xnkyi ,其中yi为Xi,X2,Xn的一次齐次式，即f Xi,X2,2)若f Xi , X2 ,yiaiXia2X2,Xn k aiXi a2X2ka1x1ka2X2,Xn的秩为2,且符号差为a n Xn，2anXn0,kanXn aiXi a2X2则可经非退化线性替换anXn 。Z CY使二次型化为f Xi , X2 ,22,Xnyiy2yiyyiy2aiXia2X2anXn bi Xib2X2bnXn 5故 f Xi,X2, ,Xn可表成两4&

19、quot;一'次齐次式的乘积。7.判断下列二次型是否正定:1) 99x： i2XiX2 48XiX3 130x| 60x2x3 7iX2 ；2222) iOXi 8毛*2 24XiX3 2X2 28X2X3 X3 ；n3) XiXjXj；i ii i j nn4)Xi2i in iXiXi i o i i解i ）二次型的矩阵为99624A 6 i3O 30 ,2430 7i996O,6 i3OO,因为i 99 O,故原二次型为正定二次型。2）二次型的矩阵为iO4i2A 42 i4 ,i2i4i因为A 0 ,所以原二次型非正定。3）记二次型的矩阵为 A a.,其中ij n n >1

20、,aij21 1 32 21 1 122A 111121212由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵Ak与A为同类型的对称矩阵，且2 2k1Ak|2 k 10 k 1,2, ,n ,故原二次型为正定二次型。4）记二次型的矩阵为 A aj ，则A的k级顺序主子式为j n n0,8.t取什么值时，下列二次型是正定的:1)2x1x25x2 2txix22x1 x34x2x32x14x2 x2 2txix210x1 x36x2x3二次型的矩阵为因为A的各阶顺序主子式为0,0,当原二次型为正定时，有解上面不等式组，可得t25t20。4t2）二次型的矩阵为当A的所有顺序主子式都大于零时,0,t20,t2

21、30t 105 0,4 t2t230t 105 0但此不等式组无解,9 .证明：如果 列指标相同的子式。即不存在 t值使原二次型为正定。A是正定矩阵，那么 A的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与证设正定矩阵Aaij n n，作正定二次型n najXiXj ,并令i 1 j 1xjj kih, ki ,k1k2则可得新二次型kiki西 X Xj，i k1 j k1由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式A 0 i 1,2,10 .设A是实对称矩阵, 证证明:t充分大之后,tE A是正定矩阵。tEta11a21a12ta22a2naman2t ann它的k级顺序主子式为ai

22、2a21a22a2kak1ak2akk当t充分大时，k t为严格主对角占优矩阵的行列式，且t anaaij1,2,n ，故k t 0 k 1,2, ,n，从而tE A是正定的。11 .证明：如果 A是正定矩阵，那么 A1也是正定矩阵。1Y,证 因A是正定矩阵，故 X AX为正定二次型，作非退化线性替换也是对称矩阵，故YA 1Y Y A1 AA 1Y X AX 0,从而YA 1Y为正定二次型，即证 A 1为正定矩阵。XAX 0。n ,且A不是正定矩阵。故必存在非证 因为A 0 ,于是A 0,所以rank A退化线性替换X C 1Y使X AX Y C 1 ACY YBY2yi2V22222Vp y

23、p i yp 2yn,且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Z C 1Y 中，令 yiy0, Vp 1 Vp 2Vn1,则可得一线性方程组CllXiC12X2CinXn1,n Xncpixlcp2x2cpn xnCp 1,1X1cp 1,2X2cpcni X1cn2X2cnn xn由于C 0,故可得唯一组非零解XsX1s,X2s,Xns使sis， as， nsXSAXS 0 00 1 11 n p 0s s即证存在X 0,使XAX 0。13 .如果A, B都是n阶正定矩阵，证明： A B也是正定矩阵。证 因为A,B为正定矩阵，所以 X AX, X BX为正定二次型，且XAX 0,XBX 0

24、,因此X A B X X AX是X A B X必为正定二次型，从而A B为正定矩阵。14 .证明：二次型f X1,X2, ,Xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。证 必要性。采用反证法。若正惯性指数p 秩r ,则p r。即2_ 22_ 2f X1,X2, , Xny1 V2 yp yp 1 yr ,若令y1 y2Vp 0, Vp1Vr 1 ,则可得非零解x1 , x2, ,xn 使 f x1, x2, ,xn0 。这与所给条件f x1 , x2 , xn0 矛盾，故pr。充分性。由p r ，知f X1, X2 , ,Xn22y1y22yp，故有 f X1 , X2 ,Xn0 ，即

25、证二次型半正定。可见：故原二次型15 证明：n2n Xii1nXii1是半正定的。2X11)2)nni12Xi2 n X12X2i1xi2Xn2X22Xn2x1x22X1 Xn2x2 x32x2xn2Xn 1Xnn12x2xn2X12X12Xn2x1x22X1 Xn 2X2X32xn 1 xn)2X1X22XiXj 。nx1, x2 ,X1X222X2X1 2X1X 3,Xn不全相等时X1, X2 ,X1, X2 ,XnXn时,Xnf X1 ,X2 , Xn是半正定的。16 设 f X1,X2, ,XnX 1 AX0，2X3XinXinXjXjXn 1 2Xn 1Xn2Xn0。0。X AX 是

26、一实二次型，若有实n 维向量X 2 AX 20 。证明：必存在实n维向量X00使X0AX00。Xi,X2 使设 A 的秩为 r ，作非退化线性替换X CY 将原二次型化为标准型222XAX d1y12 d2y22dryr2，其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量XhX2使X1AX10 和X2AX20，故标准型中的系数d1 ,dr不可能全为1,也不可能全为-1。不妨设有p个1, q个-1 ,且 p q r ，即2222X AX y1y p y p 1 y p q ，这时 p 与 q 存在三种可能：p q， p q， p q下面仅讨论p q 的情形，其他类似可证。令 y1yq 1 ， yq 1

27、yp 0 ， yp 1yp q 1 ，则由Z CY可求得非零向量 X0使2222X 0 AX0 y1yp y p 1 y p q 0，即证。17 A 是一个实矩阵，证明：rank A A rank A 。证由于 rank A rank AA 的充分条件是AX 0与 AAX 0为同解方程组，故只要证明AX 0 与 A AX 0 同解即可。事实上AX 0 AAX 0XAAX 0AX AX 0 AX 0 ，即证 AX 0 与 A AX 0 同解，故rank A A rank A 。注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2 题的证明，此处略。一、 补充题参考解答1 用非退化线性替换化下列

28、二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）x1x2nx2 x2n 1x2x2n 1xnxn 1 ；3)2Xi i 1XiXj ;1 i j n4)XiX1X2Xn作非退化线性替换XiyiX2V2y2n 1Xnynyn 1Xnynyn 1X2n 1V2yiX2nTY ,则原二次型的标准形为且替换矩阵其中2y1T AT2y22 yn2 yn2y2n 12)yin为奇数时,Vyi 1YnX1X2X3作变换X1X2X2X3且当n2y2yiy2X1X2y2yiX2X3X1X2X3y2XiXi 12Xi 2XnXn 1Xn2y12y22y31,3,5,2y4,n22yn 2yn4k 1时，得非退化替换矩阵

29、为1111100000111111100011当n 4k 3时，得非退化替换矩阵为故当n为奇数时,都有TAT当n为偶数时,作非退化线性替换Vxixi 1 xi 2V1,3,5,nynxn 1xn2ynxn 1xn2x1x2x2x32xn 1xn ，2Y322yn 1yn,于是当n 4k时，得非退化替换矩阵为于是当n 4k 2时，得非退化替换矩阵为1100110011113）由配方法可得f21 nx1xj2 j 2x2xj j 31111110011T11故当n为偶数时，都有111TAT12n1 n 1 2xn 1 -xnxn ,2 n 1n 2n于是可令yx1y2 x2xjxj1yn 1 xn

30、 1xnnynxn则非退化的线性替换为1xiyi - y2iX2y23 y3ynyn ii yn nyniXn iyn i - ynnxn y n且原二次型的标准形为yi4y2-yn 2n相应的替换矩阵为1iiiii23n iniii0i3n inii00in ini000in0000i又因为i i22i i22i i22i i22所以由于4）令TATX1X2XnXnYi原式2V2 Z12yiy2ynyn2y1y1yn2VX1X2XnXn2y2VXiyn2ynV i 1yn2yi1Vi 1yy j n 1Z212Zn其中所作非退化的线性替换为yiZiy2Z212 z21一 Z3313Z31Z4

31、417 Zn 1n 11-Zn1ZnynynZn故非退化的替换矩阵为nXi i 1X1x, X2X,X111111,XnX2n 111n 111nnnnnnX11n 111n 11 x X?nnnnnn11n 111n 1XnnnnnnnXXnX1, X2, ,Xx所以2.设实二次型证明：f的秩。Xi, X2,ZAZTATf Xi, X2,n 111nnnX11n 11X2nnn11n 1Xnnnn20000030002400003aiiXiai2X2ain XnXi,X2, ,Xn的秩等于矩阵ai2a2ia22a2n设 rank A r ,f Xi, X2 ,卜面只需证明rank A从而as

32、iasn即可。由于rank Arank故存在非退化矩阵P,Q使八 ErPAQ r0PAEr0PAAPEr0Er 0即证rank A3.设其中li ip，BrCErPA AP r 0BrDEr0Br0是正定的，因此它的r级顺序主子式Br0,从而A A的秩为r orankAA 。f Xi,X2,1,2, p负惯性指数q 是Xi, X2,设 li biiXi bi2X2f Xi,X2, Xn的正惯性指数为s ,yi ciiXici2X2使得f Xi,X2, ,Xnli2l;lp lpi,Xn的一次齐次式,bin Xn秩为证明：f Xi,X2, ,Xn的正惯性指i i,2,r ,则存在非退化线性替换C

33、inXnlp l2ii,2, ,n ,l2q卜面证明sP。采用反证法。该方程组含p n s个方程,f ai,a2, ,an上式要成立,必有2 yibiiXibpiXics 1 ,1 X1cniXi22ys ysi2yr °P ,考虑线性方程组binXn0bpnXn 0Cs i,nXncnn Xn小于未知量的个数lpilpq故它必有非零解 ai ,a2, , an ,2ys，ys 0 ，这就是说，对于 x1 a1, x2 a2, ,xn an这组非零数，有y10, y20,yn 0 ，这与线性替换Y CX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以同理可证负惯性指数 r4.设AnA21A12A22

34、是一对称矩阵，且A0,证明：存在T个级数与A22相同的矩阵。证只要令T1A21A11注意到Al2A"则有TAT使TATA111A2E1A21A11AnA21A2A22A110A121A 21A11 A12A22A110即证。5.设A是反对称矩阵，证明:A合同于矩阵A1 001 .A11 A12EA111A2E,其中表不证 采用归纳法。当n 1时，A 0合同于0 ,结论成立。下面设 A为非零反对称矩阵。当nai2a120第2行乘a"第2列乘屋合同，结论成立。假设k时结论成立，今考察0k 1的情形。这时aka1,k 1如果最后一行（列）a1,k 1ak,kak,k 10儿素全为

35、零，则由归纳假设,结论已证。若不然，经过行列的同时对换,不妨设ak,k 10 ,并将最后一行和最后一列都乘以1,则A可化成ak,k 1ak再将最后两行两列的其他非零元b.a., , ik1,2,化成零，则有0b1,k 100b1,k 1000 ,00010010由归纳假设知b1,k 1b1,k 1合同，从而A合同于矩阵0 11 0再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对k 1级矩阵也成立，即证。6.设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c,使对任一个实n维向量X都有XAX cXX。证因为X AXaijXi Xj i,jaij i,jXiXj，令 amax aij ,则i,j jX AX aX

36、i Xji,jXi Xj利用Xi Xj 可得222Xi Xj2XAX a anXicX X ,i,j 2i其中c an ,即证。7 .主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而 B T AT ,证明：A与B的对应顺序主子式有相同的值;2）证明：如果对称矩阵 A的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使T AT成对角形;3）利用以上结果证明：如果矩阵A的顺序主子式全大于零，则 XAX是正定二次型。证1 ）采用归纳法。当n 2时，设a11a12Aa21a22B TAT10a11a121bb1a21a2201考虑B的两个顺序主子式：B的一阶

37、顺序主子式为 a11,而二阶顺序主子式为B T |A|T1?|A?1 A,与A的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。归纳假设结论对n 1阶矩阵成立，今考察 n阶矩阵，将A,T写成分块矩阵1 ,annTTn 101其中Tn 1为特殊上三角矩阵。于B Tn10An 1annTn 10内11Bn1oTn 1 An 1Tn 1的顺序主子式与A 1由归纳假设，B的一切 n 1阶的顺序主子式，即Bn 1的顺序主子式有相同的值，而B的n阶顺序主子式就是 B ,由B T |A|T 1? A?1 A,知B的n阶顺序主子式也与 A的n阶顺序主子式相等，即证。因a10,同时对A的第一行和第一列进行相同的第三0b2 na100Bn 1bnn2 ）设n阶对称矩阵A aj , 种初等变换，可以化成对称矩阵a100 b22 A0 bn2a110于是由1）知0,从而b22 0,再对Bn 1进行类似的初等变换，使矩阵A1的0 b22第二行和第二列中除 22外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换