(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

1、北京邮电大学2012 2013学年第1学期概率论与随机过程期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的 班号和选课单上的学号，班内序号！一.单项选择题和填空题：(每空3分，共30分)1.设A是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是 .A(A)若 A A, B A,则 A B A；(B)若 A A, B A,则 B A;(C)若 A A, n 1,2,则，A A;(D)若 A A, n 12 ,且 AA2 A3 |,则a.2 .设，F为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正 确的是.c(A)若 A F, B

2、 F,则 P(A B) P(A) P(B)；(B)若AnF, n 1N,且 a A2 A I”,则P(0An)limP(An);(C)若AF, B FCF WJP(aUbUc) P(A) P(Ab)P(A BC)；(D)若 An F, n 1N ,且 AAj, i j, P(An)P(An).n 13 .设f为从概率空间，F,P到Borel可测空间R,B上的实可测函数,100100表达式为 f( ) kIA ,其中 AAj, i j, U An，则 fdP ;k 0n 0若已知P(Ak)f2dP_100!_ _L 则_100 ， 八 k!(100 k)!2100kP(Ak),25 502252

3、584.设二维随机变量(X,Y)的概率密度2, 0 x 1,0 y x,f(x，y)0, 其他,贝U E旧 X |Y =.2/35.设随机过程X(t) Xcos t, t ,其中随机变量X服从参数为 1的指数分布，(0, /2)为常数，则(1) X(1)的概率密度f(x;1) ;(2) E( 2X(t)dt) .1 -xe x 071 f(x;1) cos , E( ：X(t)dt)一0, 其他，16.设W(t),t 0是参数为2(0)的维纳过程，令X(t) W(-),则相关函数 RX(1,2)7.设齐次马氏链的状态空间为E 1,2,3,一步转移概率为0.50.50P 0.5 0.500.20

4、.30.5则(1) lim p7 ; (2)p33) . 1/2,2nn 0二.概率题(共30分)1.(10分)设(X,Y)的概率密度为令 U X2 Y2,V Y, (1)率密度gu (u).解解.(1)解方程u所以雅可比行列式Jg(u,v) f(x, y)|J|(2)对 u 0,gu(u)u_u_e r 故 gU (u)2 20,221xM2f (x, y)2-2 e 2求(U ,V)的概率密度g(u,v);2y，7日y,e / 22e 、.uu20,g(u,v)dvu 0,其他.(2)求U的边缘概2. (10分)设(U,V)的概率密度u e g(u,v)0,(1)求 E(Iv 1|U 10

5、),其中 Iv 鼠)22v ,|v|v2，u22 v1v,.uyu2%u2u21u2v20u,|v| u，=dv2 v1,0,=dv2 v10分v 0,v其他,0,V其他,1，'(2) D(V |U ).解U的边缘概率密度为ugu(u)0 g(u,v)dv所以条件概率密度uue dv, u 0, ue , u 0, 00 其他 0,其他,1 c/ , g(u,v) -, 0 v u, gvu(v|u) _-u4 分gu(u)0,其他.(1)1010 11E(Ivi|U 10) P(V 1|U10)1 gvu(v|u 10)dv1 dv -.7分U2o 1210分2(2)因为 D(V|U

6、 u) u-,所以 D(V|U)123. (10分)设X1,X2,|,Xn独立同分布，均服从两点分布，即PX1 0 p,PX1 1=1-p,(0 p 1),令 Y X1 X2 HI Xn,(1)求Y的特征函数；(2)求E(Y3).解：(1)因为Y服从二项分布B(n,q),所以Y的特征函数(t) (p qeit)n5 分(2) E(Y3) E(X1 X2 "I Xn)nnnnEX3E(X：Xj)E(XiXjXJi 1i,j 1,j ii,j,k 1,互不相等nq n(n 1)q2 n(n 1)(n 2)q310 分三.随机过程题（共40分）1. （10分）设Xi（t）（t 0）是参数为

7、（0）的泊松过程，即满足:(1) Xi(0) 0;(2) Xi(t)为独立增量过程；(t)ke t(3)对 s,t 0,有 PX(s t) X(s) k (,k 0,1,|.X2(t)(t 0)也是参数为(0)的泊松过程，且与X1(t)独立，令Y(t) X1(t) Xz(t), (1)求 丫和RY(s,t)； (2)求 PY(1) 1.解：因为Y(t) X(t) X2(t)是参数为2的泊松过程，所以(3) Y(t) 2 , RY(s,t) 2 mins,t 4 2st5 分(4) PY(1) 1 2 e 210 分2. (10分)设X(t),t 是平稳过程，f()是其谱密度函数，(1)证明：对

8、于任意的h 0, Y(t) X(t h) X(t)是平稳过程；(2)求Y(t)的谱 密度.解(1) EY(t) EX(t h) X(t)0,EY(t )Y(t) EX(t h) X(t ) X (t h) X(t)2Rx( ) RX(h) Rx(h)与t无关，则Y(t) X(t h) X(t)是平稳过程。5分1 i(2) f ( ) e 2Rx( ) Rx(h) Rx (h)d22f( ) eih f( ) eih f()2f ( )(1 cosh ).10分3. （10分）设齐次马氏链Xn,n 0的状态空间为E 0,1,2, 一步转移概率矩阵为1/21/41/4P 1/201/2 ,1/21

9、/20初始分布为PX0 0 PX0 1(1) PX1 1,X2 1,X42和 PX11,X2 1,X4 2|X0=0;（2） X2的分布律.1/ 2 1/ 4 1/ 4解(1) P21/ 2 3/8 1/81/ 2 1/ 8 3/8PX1 1,X2 1,X42(1)(1)(2)PX0 i pi1 p11 p120PX1 1,X21,X4 2|X0=0P01P11P12Q)01/ 2 1/ 4 1/421 1 1(2) p(2)p(0)P, ,1/2 3/8 1/83 3 31/ 2 1/ 8 3/84. （10分）齐次马氏链Xn，n0的状态空间为1,2,3,|,6分10分步转移概率矩阵为10210 212 01400 0 0 0 0 0 01 0 000001 1 000004 41 20 0 _ _ 0 0 03 3120 0 0 _ _ 0 03 3120 0 0 0 - - 03 3120 0 0 00 -3 3111414卜确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布解.（1）链可分，1 ,34是不可分闭集，状态空间E 1,4 3 2,5,6,7, |）(2)周期d(i) 1