层次分析法原理

1、层次分析法原理章牧 暨南大学 旅游实验教学中心暨南大学深圳旅游学院 地理信息系统与旅游信息技术实验室2 背景介绍 AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。3层次分析法的

2、基本思路：先分解后综合 整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。4用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：（1） 建立层次结构模型；（2）构造判断矩阵；（3）层次单排序；（4）一致性检验；（5）层次总排序。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。5常常规规思思维维过过程程确定这些准则在你心目

3、中各占的比重多大；确定这些准则在你心目中各占的比重多大；将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。就每一准则将三个地点进行对比；就每一准则将三个地点进行对比；实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如假期某人想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：风光绮丽的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林（P3）。假如选择的标准和依据（行动方案准则）有5个：景色，费用，饮食，居住和旅途景色，费用，饮食，居住和旅途。则常规思维的方式如下：6目标层Z选择旅游目的地景色费用居住饮食旅途准则层C 1P2P3P 方案层P 选择旅游地的层次结构 拟解决

4、的问题（总目标）为实现总目标而采取的措施和方案用于解决问题的备选方案（1） 建立层次结构模型建立层次结构模型7 通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行定量显示，引进了矩阵判断标度（19标度法） :（2）构造判断矩阵）构造判断矩阵标度含义1表示两个元素相比，具有同样的重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者极其重要9表示两个元素相比，前者比后者强烈重要2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值倒数：若元素i和元素j的重要性之比为aij,那么元素j与元素i的重要性之

5、比为aji=1/aij 对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是1:1，强烈重要就是9:1，也可以取中间数值6:1等，两两比较，把数值填入，并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是1的正反矩阵即可）。 81135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/1154321CCCCCA54321CCCCC选择旅游目的地景色费用居住饮食旅途 设准则层包含5个准则，景色：C1，费用：C2，居住：C3，饮食：C4，旅途：C5。相对于目标层：选择旅游地，进行两两比较打分。91 2/15/1212/15213211PPPB321PPP相对于景色相对于费用相对于居住相对于饮食相对于

6、旅途1 383/1138/13/113212PPPB321PPP1 3/13PPB321PPP1 14/1113/14313214PPPB321PPP1444/1114/1113215PPPB321PPP构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵10 所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次各因素的重要性的排序。 具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足 的特征根与特征向量。WBWmax（3）层次单排序）层次单排序 式中 为 的最大特征根， 为对应于 的正规化的特征向量， 的分量 即是相应元素单排序的权值。WmaxBmaxWi11

7、基本概念n 什么是权重（权系数）？注意， X1，X2， ，Xn中有的不是基数变量，而有可能是序数变量如舒适程度或积极性之类。小石块小石块W1小石块小石块Wn小石块小石块W2设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块 在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2， ，xn的线性组合：nnxwxwxwz+L2211 其中 . 则 叫各因素对于目标Z的权重， 叫权向量. nwww,.,211,01niiiwwTwnw2w1w),.,(12n利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）b. 对 按行求和得： a. 将A的每一列向量归一化得：c. 将 归一化 ，即为近似特征根（权向量）d.

8、计算 ，作为最大特征根的近似值。例列向量列向量归一化归一化按行求和按行求和归一化归一化268. 0972. 0760. 1091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 014/16/1412/1621AniiiwAwn1)(1njijiww1niijijijaaw1/w089. 0324. 0587. 0268. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31+Tnniiiiwwwwwww),.,(,/211iwijw得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.

9、090)T, max=3.00913333232131332322212123132121111321333231232221131211WaWaWaAWWaWaWaAWWaWaWaAWWWWaaaaaaaaaAW+矩阵与向量的乘积计算：Aw14/16/1412/1621089.0324.0587.0268.0974.0769.114n 判断矩阵的一致性检验（1）一致性指标： 判断矩阵通常是不一致的，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围？CI=0 时A一致；CI 越大，A的不一致性程度越严重。（3）一致性比率（用于确定A的

10、不一致性的容许范围）n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51（2）随机一致性指标RI：当CR0.1时，A的不一致性程度在容许范围内，此时可用A的特征向量作为权向量。RICICR 1-nnCI15第一步：自上而下，先求判断矩阵A的最大特征根与特征向量。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A073. 5max对应于 的正规化的特征向量为：maxTW)110. 0 ,099. 0 ,055. 0 ,475. 0 ,263. 0()2(16第

11、二步：计算与准则层各准则相关的判断矩阵最大特征跟及权向量：1 2/15/1212/15213211PPPB321PPP相对于景色经计算得：005. 3max对应于 的正规化的特征向量为：max129. 0277. 0595. 0)3(1W17第三步，算出 的最大特征值分别为：5432,BBBB,002. 3)2max(, 3)3max(,009. 3)4max(. 3)5max(682. 0236. 0082. 0)3(2W所对应的特征向量分别为：,142. 0429. 0429. 0)3(3W,175. 0193. 0633. 0)3(4W.668. 0166. 0166. 0)3(5W18

12、1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A143,a432a1314433 26.aa a max5.07350.0182515 1nCIn-（4）一致性检验）一致性检验073. 5max前述计算得到了最大特征跟：查表知平均随机一致性指标RI，从而可检验矩阵一致性：0.018250.0162950.11.12CICRRI 同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五个判断矩阵的一致性检验均通过。19选择旅游地景色费用居住饮食旅途1P2P3P0.2630.1100.4750.0550.0990.5950.2770.1290.0820.2360.

13、6820.4290.4290.1420.6330.1930.1750.1660.1660.668利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：200.5590.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.668以 为列向量构成矩阵：(3)kW(3)(3)(3)(3)(3)(3)12345(,)WWWWWW21)2()3(WWW 110. 0099. 0055. 0475. 0263. 0668. 0175. 0142. 0682. 0129. 0166. 0193. 0429. 0236. 0277. 016

14、6. 0633. 0429. 0082. 0595. 0456. 0246. 0300. 0决策结果是首选旅游地为 ，其次为 ，再次为 。3P1P2P 一般地，若层次结构由k个层次（目标层算第一层），则方案的优先程度的排序向量为:)2()1()(WWWWkkL-（5）层次总排序）层次总排序各个方案优先程度的排序向量为：22范例一范例一 某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。借助AHP方法对3人进行综合评估，并最终完成量化排序。建立层次结构模型建立层次结构模型目标层选一领导干部健康状况业务知识口才写作能力工作作风 准则层 1P2P3

15、P 方案层 政策水平231132221133/1113/13/115/14/14/12/13512/112/1142112/114111A健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风A的最大特征值,35. 6max相应的特征向量为：TW)30. 0 ,12. 0 ,05. 0 ,19. 0 ,19. 0 ,16. 0()2(24假设3名候选人关于6个标准的判断矩阵为：13/123142/14/11)3(1B健康情况1252/1144/14/11)3(2B业务知识113113/13/131)3(3B写作能力17/15/171353/11)3(4B口才2

16、517/17/1711711)3(5B政策水平15/19/1517/1971)3(6B工作作风由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值健康情况 业务知识 写作能力 口才 政策水平 工作作风 3.02 3.02 3.56 3.05 3.00 3.21max各属性的最大特征值2605. 007. 007. 046. 057. 024. 017. 047. 065. 022. 033. 063. 077. 047. 028. 032. 010. 014. 0)3(W从而有30. 012. 005. 019. 019. 016. 005. 007. 007. 046. 057. 024.

17、017. 047. 065. 022. 033. 063. 077. 047. 028. 032. 010. 014. 0)2()3(WWW26. 034. 040. 0W即在3名候选人中应选择A担任领导职务。27 某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。为了进一步促进企业发展，比如调动职工的积极性、提高企业的技术水平、引进新设备等。如何合理使用这笔利润。范例二范例二 合理分配资金的决策合理分配资金的决策28层次结构建模层次结构建模合理利用企业利润 Z调动职工的积极性C1提高企业的技术水平C2改善职工的生活条件C3

18、发奖金P1 扩建福利事业P2 引进新设备P3 29计算求解计算求解Z-C矩阵矩阵Z C1 C2 C3 WC1C2C3 1 1/5 1/3 5 1 3 3 1/3 10.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.00330.1OK30C-P矩阵矩阵C1 P1 P2 WP1P2 1 3 1/3 1 0.750.25CI1RI200OKC2 P2 P3 WP2P3 1 1/5 5 1 0.1670.833CI2RI200OK0.75, 0.25, 00, 0.167, 0.83331C3 P1 P2 WP1P2 1 2 1/2 1 0.6670.333CI3RI200OK0.667, 0.333, 032Z-P矩阵矩阵 ZP C1 C2 C30.105 0.637 0.258总排序权值P1P2P30.75 0 0.6670.25 0.167 0.333 0 0.833 00.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2