灰色系统基本方法

1、无规律，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，已将个累加生成数为x(1)(k),并且X(1)(1)= X(0)(1)=1X(1)(2)= X(0)(1)+ X(0)(2)=1+2=3X(1)(3)= X(0(1)+ X(0)(2)+ X(0)(3)=1+2+1.5=4.5X(1)(4)= X(0)(1)+ X(0)(2)+ X(0)(3)+ X(0)(4)=7.5 事理系统中，是“前因、后果”关系 技术系统中，是“输入、输出”关系 经济系统中，是“投入、投出”关系要素间的关系是相对的、多重的要素分析，系统行为研究，不应该停留在一种关系上，而应 该考虑其发展变化，即动态变化。为了将控制理

2、论中卓有成效的方法、成果推广到社会、经济等系统，模型应控制化。要通过模型了解系统的基本控制性能，如是否可控，变化过程是否可以观测。应从模型获得尽可能多的信息，特别是发展变化的信息。建立模型要为使用先进的实验科学手段，使用自然科学方法研究社会、经济等系统提供基础，特别要为电子计算机对抽象系统进行数字仿真模拟提供条件。建立模型常用的数据：科学实验数据、统计数据、经验数据、生产数据（实验室化验分析）、决策数据。前三种数据有较大局限性；生产数据较易获得，包涵难以用语言文字描述的全部因素，有丰实的内涵。建模的目的不仅仅是为了认识世界，更重要的是为了改造世界。五步建模的基本任务，是沟通社会科学与自然科学，

3、使社会科学研究做到数学化、计算机化、自然科学化。五步建模的灰色建模思路（如下图说明），用原始数据，经生成得到 ，对 按GM建模，得模型计算值 ，将与 进行比较，得到残差 ，用残差对模型GM作修正。残差 = - ， min，通过； max，修正GM。所建立的模型是多要素的、关联的、整体的，决定系统发展态势，不是某个因素，而是所有因素协调发展的结果。 )0(x) 1 (x)1(x) 1 ( x) 1 ( x) 1 (x)1(x)1(x)1(x) 1 ( x)1(x)1(x数列预测 对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如粮食产量的预测商品销售量发展变

4、化的预测年平均降水量发展变化的预测人口的预测货运量的预测外贸额发展变化的预测 这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。灾变预测 对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾年平均降水量小于某个阈值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年年产量小于某个指定值，是欠年环境中某种物质含量超出某个阈值，是污染人体中某个参

5、数（如体温、血压、血中成分）超出一定范围就发生病变银行存款超出某个值是经济跃变 灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。季节灾变预测 若行为特征量异常值的出现，或者某种事件的发生是在一年中个特定时区，则这种预测称为季节灾变预测。云南春雨是在春天出现临西早霜是在秋末冬初的9、10、11月出现洪水是在汛期出现 季节灾变预测，是一种特定时区内的灾变预测。其特点是

6、：灾变一般仅仅发生在一年的某个特定时段。不是单一数列的变化关系；它不但可以了解整个系统的变化，还可以了解系统中各个环节的发展变化，一般属于系统的综合研究，因此称为系统综合预测。作系统综合预测时，必须有某些量是自主的，是可以用GM（1，1）表征的。 例：对局势决策作简要介绍：下雨是一个事件，为了对付下雨，可以带雨伞、穿雨衣、戴斗笠。三个目标：经济、美观、方便。 决策的执行称为控制。所谓灰色控制是指本征性灰色系统的控制，或系统中含灰参数的控制，或用GM（1，1）模型构成的预测控制。kiixkx1)0()1()()(kirrixkx1)1()()()(0)()0(kx21) 0() 0() 0()

7、1 () 0() 1 (5 . 63 . 32 . 3) 2 () 1 ()() 2 (, 22 . 3) 1 () 1 (, 1ixxixxkxxk51)0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (41)0() 1 ()0() 1 (31)0() 1 (3 .178 . 35 .13) 5 () 4()() 5 (, 55 .136 . 39 . 9) 4() 3 ()() 4(, 49 . 94 . 35 . 6) 3 () 2()() 3 (, 3iiixxixxkxxixxkxxixxk某市的汽车销售量 递增的规律 原始数列作图 1AGO作图 有明显的指数关系的规律 某钢厂产量某地区

8、作物产量 s型变化规律 )(i次累减为次累减为从而有关系式即无累加次累减为式中，i1),53(,0)1()()()1()()()1()()()()()(10)(1)(1)()()()1()()1()()2()()()()0()()1()()()0(iriririrrrrorrrrkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkx)()()()()()()()()() 1()()1()()()0()()()()()()2()()2() 1(11) 1(1) 1()()()(0)(0)() 1 (kxkxkxkxkxkxkxixixkxkxkCxkxkxrrirrirrrkirkirrrrrr1),1(

9、)()()()()()11,11,10, 5 ,4, 5(IGAO11)5()6()6(,611)4()5()5(, 510)3()4()4(,45)2()3()3(, 34)1 ()2()2(,25)1 ()0()1 ()1 (, 10)0(,0)1()()()46,35,24,14,9 , 5()6(),5(),4(),3(),2(),1 (10)0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()1()1()1()1(limtkxkxkxttkxkxdtkdxxxxxkxxxkx

10、xxkxxxkxxxkxxxxkxkkxkxkxxxxxxxxt相当于而有求导性质，这是因为不难看出，累减生成具）（从而有：若解：）（系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化的。对随机 变量、随机过程，人们往往用概率统计的方法进行研究。而概率统计的方法要求数据量大，必须从大量数据找统计规律，只便于处理统计规律中有较典型的概率分布，有平稳过程的这一类，对其它非典型分布、非平稳过程、有色噪音的处理，都感到很棘手。总之，概率统计的研究方法，计算工作量大，且可以解决和处理的问题较少。而灰色理论，则将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色量，将随机过程看作是在一定范围内变化的灰色量，将随机过程看作是

11、在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程。对灰色量不是从找统计规律的角度，通过大样本量进行研究，而是用数据处理的方法（灰色理论称为数据生成），将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成数列再作研究。灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的，因此杂乱无章的数据后面，必然潜藏着某种规律，而灰数的生成，就是从杂乱无章的原始数据中去开拓、发现，寻找这种内在规律，这是一种现实规律，不是先验规律。灰色理论通过多个GM（1，N）模型来解决高阶系统的建模问题。灰色理论通过模型计算值与实际值之差（残差）建立GM（1，1）模型，作为提高模型精度的主要途径。残差的GM（1，1）模型，一般只注重现实规律，最新数据的修正，因此残差GM（1，1）与主模型之间在时间上一般是不同步的。所以灰色预测模型经常是差分微分模型。用灰色理论建模，一般都采用三