第三章-几何光学

1、引引 言言 光的干涉、衍射现象，提示了光的波动性；光的传播过程就光的干涉、衍射现象，提示了光的波动性；光的传播过程就是无穷次波的相干迭加；光的行为可用其时空周期性是无穷次波的相干迭加；光的行为可用其时空周期性波长、波长、振幅和位相来描述。因此，波动光学从光的本性出发，振幅和位相来描述。因此，波动光学从光的本性出发，精确精确地地描述了光现象。描述了光现象。 事实上，在很多情况下，不考虑光的波动性，不用光的时事实上，在很多情况下，不考虑光的波动性，不用光的时空周期性，而代之以简单的几何方法，就可得到与实际基本空周期性，而代之以简单的几何方法，就可得到与实际基本相符的结论（如光的反射、折射成像等）。

2、相符的结论（如光的反射、折射成像等）。 这种撇开光的波动本性，研究光在透明介质中有传播规律、这种撇开光的波动本性，研究光在透明介质中有传播规律、以几何定律和某些基本实验以几何定律和某些基本实验 定律为基础光学称为几何光学，也定律为基础光学称为几何光学，也称为光线光学。称为光线光学。 由于直线传播仅是波动的近似，所以，几何光学只能用于由于直线传播仅是波动的近似，所以，几何光学只能用于有有限的范围限的范围和给出和给出近似的结论近似的结论。几何光学的基本原理几何光学的基本原理 光既然是电磁波，那么光学现象原则上能用波光既然是电磁波，那么光学现象原则上能用波动概念来解释，但为了简单，动概念来解释，但为

3、了简单，用光线、波面的概念，用光线、波面的概念，纯粹几何学的方法纯粹几何学的方法来研究共轴球面系统的成像问题来研究共轴球面系统的成像问题更方便。更方便。 条件：条件：衍射效应可忽略衍射效应可忽略 即：即： 所以：所以：几何光学是波动光学在几何光学是波动光学在 D l l 条件下的近似条件下的近似. 02211 D.l l 教学目的：教学目的：1. 牢固掌握新笛卡尔符号法则、高斯公式、牛顿公式；牢固掌握新笛卡尔符号法则、高斯公式、牛顿公式；2. 掌握光具组基点基面的物理意义和作用；掌握光具组基点基面的物理意义和作用；3. 能正确运用物象公式和作图求象法求解成象问题；能正确运用物象公式和作图求象法

4、求解成象问题；4. 理解虚物、实象、虚象概念及其性质。理解虚物、实象、虚象概念及其性质。内容分析：内容分析：第一单元： 14几何光学的基本原理、实验规律第二单元： 58光在球面界面上的反射、折射及薄透镜的成象第三单元 ： 911理想光具组的基点基面3.1 几个基本概念和定律几个基本概念和定律 费马原理费马原理1. 光线光线: 表示光能量表示光能量传播方向传播方向的几何线的几何线. 为强调方向为强调方向, 又称又称 “光束光束” 平行光束，平行光束， 单心光束单心光束 会聚光束会聚光束 发散光束发散光束 像散光束像散光束 不是由一不是由一点发出的点发出的光束光束. 一一. 光线与波面光线与波面

5、2. 波面：波面： 平面波，平面波， 球面波球面波 曲面波曲面波 某时刻波扰动某时刻波扰动等相位等相位点组成的面点组成的面曲面上的任曲面上的任一点有两个一点有两个主曲面半径主曲面半径. 会聚会聚 发散发散 3. 光线与波面的光线与波面的联系联系:在在均匀介均匀介质中，质中，波面法波面法线与光线重合线与光线重合.二二. 几何光学的几何光学的基本实验定律基本实验定律 1. 直线传播定律直线传播定律 2. 光的反射、折射定律光的反射、折射定律 3. 光的独立传播定律光的独立传播定律和光路可逆原理和光路可逆原理成立条件成立条件: 1）均匀、各向同性介质：）均匀、各向同性介质： n =常量常量 ，2）光

6、强不太强，线性介质）光强不太强，线性介质 3）光学元件的线度）光学元件的线度: D l 几何光学的例子：几何光学的例子： 光线的传播光线的传播. 月当月亮部分进入地球的本影区时，形成当月亮部分进入地球的本影区时，形成月偏食月偏食；当月亮全部进入地球的本影区时，形成当月亮全部进入地球的本影区时，形成月全食月全食；在半影区不会产生月食；没有月环食。在半影区不会产生月食；没有月环食。17世纪的一位法国数学家，提出了一个世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费这个人就是费马马(16011665)。 这道题是这样的：当这道题是这

7、样的：当n2时，时，xn+yn=zn没没有正整数解。在数学上这称为有正整数解。在数学上这称为“费马大定理费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明：当能证明：当n小于等于小于等于4100万时，费马大定理是正确万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题

8、，但是的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下数学难题中少有的千古他没有公布结果，于是留下数学难题中少有的千古之谜。之谜。 费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他岁时迷恋上数学，直到他64岁岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人

9、通信透露他的思想。在他死后，由儿子著作，主要通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动不动笔墨不读书笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为浅，赞誉他为“业余数学家之王业余数学家之王”。费马对数学的贡献包括：与笛

10、卡尔共同创立了解析几何；创费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论论数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。从而成为古典概率论的奠基人之一。 1657年年提出提出泛函：泛函：函数的函数函数的函数 . . 光程是路径的函数，路径又是空间坐光程是路径的函数，路径又是空间坐标的函数标的函数.

11、 .i. 费马原理可证明折射、反射定律费马原理可证明折射、反射定律（一）、理论基础（一）、理论基础: 0 dsn,dsnBABA 或或：极极值值费马原理费马原理 光波的叠加原理光波的叠加原理 ii. 实际应用中，直接用折、反定律更方便实际应用中，直接用折、反定律更方便 ii. 费马原理可证明直线传播定律和光路可逆原理费马原理可证明直线传播定律和光路可逆原理 取决于相位差取决于相位差取决于光程取决于光程 l l 2费马原理费马原理与几何三与几何三定律等价定律等价三、费马原理三、费马原理结结 论论连接空间两点之间的光线连接空间两点之间的光线,不论是直线、折线或者曲线不论是直线、折线或者曲线,其所其

12、所经历的光程与邻近光程相比，是极值经历的光程与邻近光程相比，是极值,即遵守即遵守费马原理费马原理光程为常数光程为常数光程为极大值光程为极大值光程为极小值光程为极小值（二）、费马原理的证明（二）、费马原理的证明1、直线传播定律：（在均匀介质中）、直线传播定律：（在均匀介质中）两点间直线距离最短而由公理 :BABAdsndsnconstn ,在均匀介质中ABdsBA的极小值为直线.:得证传播光在均匀介质中沿直线故2、折射定律、折射定律：（在非均匀介质中）：（在非均匀介质中）i2n2BCACCBAn1OOPMi1XYZ如图示：点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，如图示：点发出的光线入射到两种介

13、质的平面分界面上，折射后到达点。折射后到达点。 折射线在入射线和法线决定的平面内折射线在入射线和法线决定的平面内 只需证明折射点C点在交线OO上即可.:所决定的平面内折射线在入射线和法线故上折射点应在交线即OO,:线外位于设有另一折射点利用反证法OOC)(, 中斜边最长有rtBCBCACAC因而假设错误这与费马原理不符而非要极小值光程, ,BACBAC :COO上找到其垂足必可在则折射线、入射线分居法线两侧折射线、入射线分居法线两侧i2n2BACBAn1OOPMi1XYZ11, yx22, yx0,xCBnACnABC21光程2222221211yxxnyxxn0222222212111yxx

14、xxnyxxxxndxd01 xx由费马原理有：由费马原理有：21:xxx故xxxx220必有入射线分居法线两侧折射线即、:、xx1A、B、C点坐标如图示。沿此方向入射，必有点坐标如图示。沿此方向入射，必有xx 21122sinsinininCBnACnABC21光程i2n2BACBAn1OOPMi1XYZ11, yx22, yx0,x由于反射、折射定律是由实由于反射、折射定律是由实验得出的定律，是公认的正验得出的定律，是公认的正确的结论，所以，费马原理确的结论，所以，费马原理是正确的。是正确的。同理：也可证同理：也可证明反射定律。明反射定律。2222221211yxxnyxxn2222222

15、12111yxxxxnyxxxxndxd由费马原理有由费马原理有:0sinsin221121ininCBCBnACCAn1222sinsininin 光在平面和球面系统中反射和折射成像问题直接影光在平面和球面系统中反射和折射成像问题直接影响光学仪器的质量响光学仪器的质量,因此成像是几何光学研究的主要问因此成像是几何光学研究的主要问题之题之 一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。四、单心光束、实像、虚像四、单心光束、实像、虚像1、发光点：只有几何位置而没有大小的发

16、射光束的光源。、发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。 它也是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和它也是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。像的性质。点光源就是一个发光点。若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。2、单心光束单心光束：发散单心光束发散单心光束会聚单心光束会聚单心光束只有一个交点的光束，亦称同心光束。该唯一的交点称为光只有一个交点的光束，亦称同心光束。该唯一的交点称为光束的顶点。束

17、的顶点。3、实像、虚像、实像、虚像当顶点为光束的发出点时，该顶点称为当顶点为光束的发出点时，该顶点称为 光源、物点光源、物点。当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为了其单心性。该顶点称为 象点象点。对能保持单心性的光束，一个物点能且只对能保持单心性的光束，一个物点能且只 能形成一个像点，能形成一个像点，即物与像形成一一对应关系。即物与像形成一一对应关系。物：入射光束的心物：入射光束的心 实物实物发散发散虚物虚物会聚会聚虚象虚象发散的心发散的心实象实象：有实际光线会聚的象点。有实际光线会聚的象点。PP实实

18、像像PP虚像虚像象：出射光束的心象：出射光束的心实象实象会聚的心会聚的心虚象虚象：无实际光线会聚的象点无实际光线会聚的象点.（光束反向延（光束反向延长线的交点）。长线的交点）。二、实物、实像、虚像的联系与区别二、实物、实像、虚像的联系与区别1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。 光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，而不是看到了光束本身；而不是看到了光束本身；宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是由于没有尘埃作宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是由于没有尘埃作为散射源

19、。为散射源。2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置 单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过实发光点实发光点实像实像虚像虚像 对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是都不过是发散光束的顶点发散光束的顶点，二者之间，二者之间没有区别。没有区别。实物、实像、虚像的区别实物、实像、虚像的区别PPPA：P与与P、PP各处可见；而由于透镜大小各处可见；而由于透镜大小的限制，的限制，P和和P仅在光束范围仅在光束范围内可见。内可见。B：P与与

20、P置一白纸于置一白纸于P、 P处，由于处，由于有实际光线通过，有实际光线通过， P是亮点；是亮点；由于无实际光线通过，由于无实际光线通过， P处处看不到光点。看不到光点。线通过顶点虚物：永远没有实际光在光线通过顶点，它均存实物：无论是否有实际.P有光线通过虚象：所在处则根本没确有光线会聚实象：所在处 注意：a 实实物物成成实实像像 b. 实实物物成成虚虚像像 c.虚虚物物成成实实像像d.虚虚物物成成虚虚像像 保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保求。保持光束的单心性是保持形状相似

21、从而实现理想成像的保证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。题。 一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。情况。一一. 光在光在平面上的反射：平面上的反射：成像成像: 完善成像完善成像，无色散，无色散.DMMPPCBA如图示：点光源如图示：点光源

22、P发出单心光束，发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点束，其反向延长线交于一点P，且，且与与P点对称。点对称。3.2 光在平面界面上的反射和折射光在平面界面上的反射和折射 光导纤维光导纤维显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程了其单心性，是一个理想成像过程 P是是P的虚像。的虚像。平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光学系统。并且也是唯一的一个。善的光学系统。并且也是唯一的一个。二、光束单心性

23、的破坏二、光束单心性的破坏xB1B2n2 n1O y P2P1 PPi1i2i1+i1i2i2 A1A2z介质介质n1中的发光点中的发光点P发出发出单心光束经两面介面单心光束经两面介面XOZ折射后进入介质折射后进入介质n2，现取，现取其中一微元光束（如图其中一微元光束（如图示），在示），在XOY平面内，平面内，其折射光束的反向延长线其折射光束的反向延长线交于交于P点，并与点，并与OY轴交轴交于于P1、P2两点。两点。0 ,1xy, 01, 0 y0 ,2x, yx2, 0 y各点坐标如图示：经计算各点坐标如图示：经计算光在平面介面上的折射光在平面介面上的折射21222121211xnnynny

24、1322211itgnnyx22222121221xnnynny231222211211itgnnnnyy（见附录（见附录31）可得：）可得：xB1B2n2 n1O y P2P1 PPi1i2i1+i1i2i2 A1A2z0 ,1xy, 01, 0 y0 ,2x, yx2, 0 y如果光束是单心的如果光束是单心的,只要作出任意两条光线的交点只要作出任意两条光线的交点,就能确定所就能确定所有其它光线都将通过这个交点有其它光线都将通过这个交点,这个交点就是光束的顶点这个交点就是光束的顶点.如果光束不是单心的如果光束不是单心的,那么就必须考虑到光束中光线的空间分布那么就必须考虑到光束中光线的空间分布

25、.xB1B2n2 n1O y P2P1 PPi1i2i1+i1i2i2 A1A2z将将PA1、PA2沿沿OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则：轴旋转一微小角度成一立体微元，则：P、P1、P2三点不动，而交点三点不动，而交点P将画出一小圆弧（近似视为垂直于将画出一小圆弧（近似视为垂直于XOY平平面的一小段直线）。面的一小段直线）。所以，光束内任一条光线所以，光束内任一条光线与与Y轴的交点均处在直线轴的交点均处在直线P1P2（弧矢象线弧矢象线）内，但）内，但不相交；交点不相交；交点P也处在直也处在直线线PP（子午象线子午象线）上，）上，也不相交。即：发光点经也不相交。即：发光点经折射后，成象为两条

26、相互折射后，成象为两条相互垂直的象线而不是象点，垂直的象线而不是象点，称为象散。称为象散。折射后，光束的单心性已被破坏。折射后，光束的单心性已被破坏。象似深度象似深度ynnyyyxi1221100时即光束垂直入射到分界当单心光束的波面是球单心光束的波面是球面光在平面折射后，面光在平面折射后，波面的形状发生变化，波面的形状发生变化，不是平面了而是波面不是平面了而是波面上的每一点是由两个曲上的每一点是由两个曲率半径所决定的率半径所决定的。，P、PP光束保持其单心性三点重合在一点和 21yynnynnyy12121y 称为称为 像似深度像似深度 2003年年12月月21日下午日下午18时许，乌鲁木齐

27、市东南方向地平线处时许，乌鲁木齐市东南方向地平线处的空中，隐约的空中，隐约“飘浮飘浮”着几幢建筑物，大约着几幢建筑物，大约25分钟后又消失在分钟后又消失在人们的视线中人们的视线中 。海市蜃楼海市蜃楼经常要用经常要用!试证双镜两次反射定理：光线被交角等于试证双镜两次反射定理：光线被交角等于 的的两镜面反射时，反射光线和入射光线的交两镜面反射时，反射光线和入射光线的交角等于两个镜面交角角等于两个镜面交角 的两倍。的两倍。 例例:解：根据几何学外角公式，由图可知解：根据几何学外角公式，由图可知)(212ii 而：而：故：故： 2 212122iiii )()( i2 i1 13600 maxn两镜面

28、间的两镜面间的成像个数：成像个数： 三、全反射三、全反射 光导纤维光导纤维1、全反射：、全反射：xA3n2 n1O y Pi1i2ic A1A212211212,sinsin:iinninni而增大且有折射角随入射角的增大时当由折射定律有只有反射而无折射的现象称为全折射。只有反射而无折射的现象称为全折射。ciinn121:全折射条件.,90,1021折射线光线将全部反射不再有时当可使时当cciiiii临界角其中1210121sin90sinsin:nnnnic12nnisinc 02114152111521.arcsinin,.nc 玻璃到玻璃到空气的空气的临界角临界角 2. 光学纤维光学纤维

29、 直径约为几微米的单根或多根玻璃直径约为几微米的单根或多根玻璃(或透明塑料或透明塑料)纤维纤维.由于光波的频率比电波的频率高好几个数量级由于光波的频率比电波的频率高好几个数量级,一根极细的光纤一根极细的光纤能承载的信息量能承载的信息量,相当于图片中这么粗的电缆所能承载的相当于图片中这么粗的电缆所能承载的信息量信息量. iicii 20n1n2n在顶角为在顶角为2i的园锥体内的光的园锥体内的光线，均能在光纤内顺利传播。线，均能在光纤内顺利传播。10sinsin:inin由折射定律有ccinini2101sin190sinsin10n对空气中的光纤2221nn 12sinnnic2221arcsi

30、n:nni故i2 ic的光线折射出光纤的光线折射出光纤i2ic的光线在两层介质间的光线在两层介质间多次反射从一端传到另一多次反射从一端传到另一端。端。结构及原理结构及原理:8 . 11n单根构造：内层：单根构造：内层：外层：外层：4 . 12n表征光纤接纳张表征光纤接纳张角的能力。角的能力。 说明：说明：1、当当 n1 , n2一定时，一定时，i一定，即一定的光纤所允许传播的光一定，即一定的光纤所允许传播的光线范围是一定的线范围是一定的2、要想扩大传播的范围，必须增大要想扩大传播的范围，必须增大n1, n2的差值。的差值。3、光纤的特点：（光纤的特点：（1）可同时传输多路信号而相互不受影响；）

31、可同时传输多路信号而相互不受影响； （2）轻便，柔软，防震，可弯曲折叠。）轻便，柔软，防震，可弯曲折叠。根据光纤的这些特点根据光纤的这些特点,现以被广泛应用于各个领域现以被广泛应用于各个领域,并已发并已发展成一门新的学科分支展成一门新的学科分支-纤维光学纤维光学.如如:医学医学-窥镜、防爆警察窥镜、防爆警察-内视镜、通讯内视镜、通讯-激光光导纤激光光导纤维通讯，（特点比电通讯好的多，抗电磁干扰、频带宽、通维通讯，（特点比电通讯好的多，抗电磁干扰、频带宽、通讯容量大、促密性好等）讯容量大、促密性好等）四、棱镜四、棱镜EDCB1i2i2i1i1、偏向角、最小偏向角：、偏向角、最小偏向角：2121i

32、iii偏向角 棱镜是一种由棱镜是一种由多个平面界面多个平面界面组合而成的光学元件。光通过组合而成的光学元件。光通过棱镜时，产生棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。偏折。最常用的棱镜是最常用的棱镜是三棱镜三棱镜（如图示）。如图示）。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角顶角A。An2n1出射光与入射光之间的夹角称棱镜的出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角偏向角。Aii22Aii11011,:达最小值时即当光路对称可以证明ii 2、应用、应用 棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射棱镜光谱：当用白光入射时，由于折

33、射 率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。 所以，三棱镜也是一种分光装置。所以，三棱镜也是一种分光装置。 改变光路：如右图示改变光路：如右图示EDCB1i2i2i1iAn2n12sin2sinsinsin0212AAiin450450作业：作业：P159-160 3.3、3.4、3.5Ai 102:最小偏向角2:;2:,2201AiiAi折射角入射角此时若三棱镜处于空气中，即若三棱镜处于空气中，即n1=1，则由，则由折射定律有：折射定律有：一些专用名词介绍：一些专用名词介绍：顶点、曲率中心、曲率半径顶点、曲率中心、曲率半径主截面（入射面），主截面（入射面），3

34、.3 3.3 光在球面上的反射和折射光在球面上的反射和折射光轴：光轴： 光学系统中各光学元件的对光学系统中各光学元件的对称轴称轴.（亦称：主轴或主光轴）（亦称：主轴或主光轴） 光线方向光线方向 u u P n s C O -s P n A r 一一. 符号法则符号法则 通过主轴的平面称为通过主轴的平面称为主截面。主截面。符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。规定。（1） 线段长度均从顶点算起：线段长度均从顶点算起： A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正；、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光

35、线与主凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负；轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 （2） 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的的角度；由主轴（或法线）转向有关光线时：角度；由主轴（或法线）转向有关光线时：（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）沿轴线段垂轴线段新笛卡尔法则新笛卡尔法则（3） 图中出现的长度和角度只用正值。图中出现的长度和角度只用正值。A、顺时针转动，角度为正；、顺

36、时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。、逆时针转动，角度为负。例：球面反射成像各量的正负。例：球面反射成像各量的正负。yQ无论光线从左至右还是从右无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是至左，无论是球面反射还是折射，以上符号法则均适用。折射，以上符号法则均适用。以下的讨论假设光线从左至右进行。以下的讨论假设光线从左至右进行。 P ACOP -s -r -s-u i-i-ull从主轴上从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点反射，点反射，反射光与主轴交于反射光与主轴交于P点。即点。即P为为P的像。的像。按符号法则，各有关线段和角度的正

37、负如图所示。按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。s 物距物距 s 象距象距:,由余弦定理有中和在ACPPACcos222srrsrrlcos222rsrrsrl二、球面反射对单心性的破坏二、球面反射对单心性的破坏 P ACOP -s -r -s-u i-i-ullnlnlPAP 光程cos222srrsrrncos222rsrrsrn对给定的物点，不同的入射点，对对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和反射线，对应应着不同的入射线和反射线，对应着不同的着不同的 。,0:时当由费马原理可知ddPAP).(此处是恒定值取得极值PAP0sin2sin2rsrlnsrrlnddPAP由

38、0:lrslsr化简有lslsrll111:即用费马原理用费马原理成像条件成像条件: 物物 光程相等光程相等 象象 近轴条件近轴条件 Sin tg 故故 要求在近轴光线条件下才能成清晰象要求在近轴光线条件下才能成清晰象 一级近似理论一级近似理论 三三. 近轴光线条件下球面反射的物像公式近轴光线条件下球面反射的物像公式 !3!2132 sincos一级近似一级近似 sincos1frss 1211 slsl对一定的球面和发光点对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的一定），不同的入射点对应有不同的S 。即：即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。同一个物点所发出

39、的不同光线经球面反射后不再交于一点。由由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏即：对一定的反射球面（即：对一定的反射球面（r一定），一定），和和一一对应，而与一一对应，而与入射点无关。入射点无关。 由由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P ，光，光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。光学上称：光学上称： 很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线光线为近轴光线在近轴

40、光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容为高斯光为高斯光学。学。 ssrrsrrsrrl2222 1cos,很小时当2222srsrrsrrsrlrsslslsrll211:111:得由用近似值用近似值物像公式物像公式2rss有当焦点焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于主轴上一点，该点称为反射后将会聚于主轴上一点，该点称为反射球面的焦点射球面的焦点(F)。 ACOP -s -r -sFf焦距焦距：焦点到球面顶点的距离（焦点到球面顶点的距离（ ）。它同样遵守符号）。它同样遵守符号法则。法则。 2r

41、f111fss1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；2、式中各量必须严格遵从符号法则；、式中各量必须严格遵从符号法则；3、对凹凸球面反射同样适用；、对凹凸球面反射同样适用；4、当光线从右至左时同样适用。、当光线从右至左时同样适用。说明：说明：球面反射物像公式凸抛物面凸抛物面凹抛物面凹抛物面凹椭圆面凹椭圆面凸椭圆面凸椭圆面凹双曲面凹双曲面凸双曲凸双曲 面面非非球球面面镜镜 开开放放思思路路 什么什么条条件下件下非非近轴光近轴光线线也能也能成清晰成清晰象象 ? 例题：例题：3-1P129例3-3 一个点状物放在凹面镜前0.05m处，凹

42、面镜的 曲率半径为0.20m，试确定像的位置和性质.COP s -r -sP解解：设光线从左至右 mrsrssrssmrms1 .02 .005.0205.02 .02:21120.005.0:得由球面反射成像公式已知最后像是处于镜后最后像是处于镜后0.1米处的米处的虚像虚像。当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用作业作业：P160 6、7、8说明：符号法则说明：符号法则与光线方向无关与光线方向无关！ 四、球面折射对光束单心性的破坏四、球面折射对光束单心性的破坏设设n0:实像S0:虚像虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束

43、,故像方折射率仍为n. POP -s -s物空间像空间PPs-s物空间像空间S0:虚像 焦点、焦距焦点、焦距F f A、像方焦点、像方焦点 F 、像、像方焦距方焦距fB、物方焦点、物方焦点F、物方焦距、物方焦距fnn O -ssnn O -ssF -f ffnn “”号表示号表示ff 与永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。物方焦距得rnnnsf:rnnsnsns,由物像公式时当像方焦距得rnnnsf:rnnsnsns,由物像公式时当C、nnff 球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例在球面反射中，物像空间重合

44、，且入射光线与反射光线行在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反进方向相反在数学处理方法上，可假设：在数学处理方法上，可假设：nn物理上无意义物理上无意义nnff:球面折射ff :球面反射六、高斯公式和牛顿公式六、高斯公式和牛顿公式1、高斯公式：、高斯公式：高斯公式对任何理想成像过程均适用1srnnnsrnnn将物象公式将物象公式变形为变形为:rnnsnsnrnnsnsnrss2111sfsf2、牛顿公式：、牛顿公式： PnnCP O r -s sxfxfFF若将取值原点由顶点若将取值原点由顶点O改为物、像方焦点改为物、像方焦点F、F ，则有如下关系，则有如下关系（如右图示

45、）（如右图示）3、说明：、说明：(1);, 1,三者等效在球面折射中ffxxsfsfrnnsnsn(2) 高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。只是在不同 情况下，焦距的形式不同而已。牛顿公式对任何理想成像过程均适用rssrff2112:高斯公式球面反射如1:xffxff则高斯公式变为xfsxfs:ffxx 化简可得P 例例3.4 , P133 一个折射率为一个折射率为1.6的玻璃哑铃，全长为的玻璃哑铃，全长为20 cm， 两端的曲率半径为两端的曲率半径为2 cm , 若在离哑铃左端若在离哑铃左端5 cm处的轴上有一处的轴上有一物点，求物点，求: (1) 象的位置；（象的位置；（2

46、）画出光路图。）画出光路图。 解解: 方法方法1: 哑铃两端的折射面相当于两个凸球哑铃两端的折射面相当于两个凸球 面，按照面，按照符号法则符号法则: 21615161 .s. cms16 26112016611 .s cms10 P P 虚像虚像实像实像rnnsnsn方法方法2: 利用牛顿公式求利用牛顿公式求.,cm.nrf6206021 ,cm.nnrf316602611 cmfsx6106205 ,cmxf fx332610316620 cmxfs16332316 对哑铃左端：对哑铃左端：对哑铃右端：对哑铃右端： ,cmfsx34316420 ,cmxf fx34034310316 cmx

47、fs10340310 ,cm.nnrf31660)2(611 ,cm.nrf3106021 ！3.4 3.4 光连续在几个球面上的折射光连续在几个球面上的折射 虚物的概念虚物的概念 实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。究多个球面上的折射成像更具实际意义。一一.共轴光具组共轴光具组1、定义：、定义：由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴

48、。为共轴光具组的光轴。反之，称为非共轴光具组。反之，称为非共轴光具组。共轴的目的：共轴的目的： 1. 可以最大限度地利用近轴光线的能量；可以最大限度地利用近轴光线的能量；2. 减少像差减少像差.5n4n3n2n1n1P1P2P3P4P二二. 逐个球面成象法逐个球面成象法最基本的成像方法最基本的成像方法5n4n3n2n1n1P1P4P3P2P12d2S1S4P3P2P2、共轴光具组的特点：、共轴光具组的特点： 光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物；光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物； 通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一

49、个球面，才能保证整个系统最后能够成像。能保证整个系统最后能够成像。光线是近轴的。光线是近轴的。1、方法特点及注意事项、方法特点及注意事项 必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。 前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示）图所示） 必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。能以它的

50、顶点为取值原点，不能混淆。 计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）图所示）始终取正值其中121122: dsds基本公式：基本公式： 1111111rnnsnsn kkkkkkkrnnsnsn 相邻球面距离：相邻球面距离： kkk ,kssd,ssd 112112虚象：虚象：出射的发散光束的顶点出射的发散光束的顶点.三三. 虚物的概念虚物的概念 实物：入射的发散光束的顶点；实物：入射的发散光束的顶点； 虚物：虚物：入射的会聚光束的顶点；入射的会聚光束的顶点；不在物空间的物为不在物空间的物为 “虚物虚物” 实象：出射的会聚光束

51、的顶点；实象：出射的会聚光束的顶点；不在像空间的像为不在像空间的像为 “虚像虚像”! 在在物物空间空间在在像像空间空间在在物物空间空间在在像像空空间间3.5 3.5 薄透镜薄透镜一一. 薄透镜成像公式薄透镜成像公式 对第一折射面对第一折射面 111111 rnnsnsn对第二折射面对第二折射面 222222 rnnsnsn厚透镜成像公式（厚透镜成像公式（ 0） P-s1 = - s 12ssss 2-r2 n1 nr1 C1 P 2nC2 221112rnnrnnsnsn xxffsfsf 1空气中：空气中： n1 = n2 = 1 frrnss11111121)(yy 二二. 横向放大率横向

52、放大率 xffxss 定义：定义： 时时：0 ,sss112 ,ss,ss 21由：由： 得：得： y yyy f x f x 凹透镜凹透镜 凸透镜凸透镜 3、有关透镜的几个概念：有关透镜的几个概念： 主轴：主轴： 两球面曲率中心的连线。两球面曲率中心的连线。21cc2c2o1c1o2r1r 主截面主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。注意注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了。 孔径孔径： 垂直于主轴方向透镜的直径。 厚度厚度： 两球面在主轴上的间距。21oo当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为薄透镜；当透镜厚度与其曲率半径

53、相比不可忽略不计时，称为厚透镜。三、薄透镜的作图求像法三、薄透镜的作图求像法1. 约定：约定： (1) 实际光线用实线实际光线用实线, 辅助线、延长线用虚线；辅助线、延长线用虚线； (2) 箭头表示光线传播方向；箭头表示光线传播方向； (3) 尽量按比例作图；尽量按比例作图； 2. 焦平面性质焦平面性质 (1) 焦平面一点发出的光为平行光；焦平面一点发出的光为平行光； (2) 平行光入射会聚与焦平面一点平行光入射会聚与焦平面一点. 3. 凸透镜成像作图凸透镜成像作图 4. 凹透镜成像作图凹透镜成像作图 通过光心的光线方向不变通过光心的光线方向不变! 副轴副轴OF FOF F薄透镜作图求像法薄透

54、镜作图求像法1、主轴外的近轴物点、主轴外的近轴物点 作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用在近轴条件下适用。方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即为所求像点。即为所求像点。QQoFFQoFFQ2、主轴上的物点、主轴上的物点 物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。且与主轴垂直的平面。 像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点像方焦平

55、面：在近轴条件，过像方焦点F 且与主轴垂直的平面。且与主轴垂直的平面。 付轴：付轴： 焦平面上任一点与光心焦平面上任一点与光心O的连线。有无穷条。的连线。有无穷条。 焦平面的性质：焦平面的性质：OFPOPFOPFOPF物方焦平面像方焦平面利用物方焦平面利用物方焦平面第一条第二条付轴：POPFPBA利用像方焦平面OPFPBAOPFPBA作业作业：P161 13、16、19在书上画OPFBA3.83.6 3.6 近轴物点近轴光线成像的条件近轴物点近轴光线成像的条件理想成像条件理想成像条件: 物物 光程相等光程相等 像像 常常数数 rsshsysyhsysyss211222222，0 sysy.rs

56、s0211 无无关关与与要要hQQAPOyP Q AQi iy hx2222)(-)()()(hyxsy-hxsQAQAQQAsyrh ;条件：条件：一一、近轴物在近轴光线条件下、近轴物在近轴光线条件下球面反射的成像公式球面反射的成像公式 二二. 球面折射的成像条件球面折射的成像条件 P.14, 3图图. 3-27 常常数数 rnrnsnsnhsynsnyhsynsnysnns222222，0 synsny.rnnsnsn0 无无关关与与要要hQQA syrh ;条件：条件：2222)(-)()()(-hyxsny-hxsnQAQAQQA 结论：结论：球面折、反射成球面折、反射成清晰像清晰像的

57、条件：的条件：1. 近轴光线近轴光线 2. 近轴物点近轴物点 .uutgusin;utguusin .iitgisin; itgiisin 一级近似理论一级近似理论 POyP Q AQi iy hx近轴物点近轴物点: y s近轴光线近轴光线: h ru u *三三. 亥姆霍兹亥姆霍兹 拉格朗日定理拉格朗日定理kkkuynuynuyn 111111亥姆霍兹亥姆霍兹 拉拉格朗日恒等式格朗日恒等式由由:，0 synsnyusush )(得得:nyuuyn 近轴物点的限制近轴物点的限制 近轴光线的限制近轴光线的限制 对多个共轴球面系统对多个共轴球面系统: 或或: uuyynn横向放大率横向放大率角放大

58、率角放大率光束会聚比光束会聚比例题例题 3-3 用一个焦距为20cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜位于透镜右边10cm处，今置高为1cm的物体于透镜左方10cm处（系统处于空气中），（1）求最后成像的大小和性质；（2）作出准确的光路图。 解解：此题属三次成像问题。如图示。y1y3y2yF1O1F1O21s1s2s2s3s3s（1）物y对凸透镜 s1= -10cm f1=20cm 由高斯公式有：cmfsfss20201020)10(11111 1=s1/s1=(-20)/(-10)=2y1=1y=21=2cm（2）y1对平面镜 s2= -10-20= -30cm s2= -s2=30

59、cm 2=1 y2=2cm（3）y2对凸透镜 s3=30+10=40cm f3= -20cm有cmfsfss402040)20(40333333=s3/s3=(-40)/40= -1 y3=3y2=(-1)2= -2cm 最后成像在凸透镜左方40cm处，为放大、倒立的实像。光路图如下：yy1y3y2F1O1F1O2作业作业：P226 25、273.9基点法：基点法：高斯高斯1841年提出年提出 （1） 基点和基面的概念基点和基面的概念 焦点焦点：F, F 单球面的单球面的F，F; 主点主点：H, H 单球面的顶点单球面的顶点O; 节点节点*：K, K 单球面的球心单球面的球心C 点点. 共轴光

60、具组成像的一般理论共轴光具组成像的一般理论(近轴物、近轴光线近轴物、近轴光线)3.7 共轴共轴理想光具组的基点和基面理想光具组的基点和基面 PF H N N P F x x H M y Q f f Q y Muu KK 例例: 薄透镜的基点：薄透镜的基点： (i) H、H 重合在透镜中心；重合在透镜中心； (ii)* K、K 重合在距透镜中心重合在距透镜中心 f +f 处；处； (iii) 若若 n1=n2, 则则 f = - f , H 、H、K 、K 四点重合四点重合.1 sfsf(2) 成像公式成像公式 注意：注意：f , s 从从 H 算起算起, f , s 从从 H 算起算起, x