第一节-多元函数的基本概念

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性五、小结五、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间【邻域【邻域】0P ),(0 PU|0 PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx 1、【平面点集平面点集】【坐标平面【坐标平面】,),( 2RyxyxRRR 【平面点集平面点集】),( ),( 具具有有某某种种性性质质

2、yxyxE 222),(ryxyxC 【例如【例如】原点为圆心，原点为圆心，r为半径的圆内所有点的集合是为半径的圆内所有点的集合是 rOPP |),(0 PUO【去心邻域【去心邻域】|00 PPP机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束.)(, 0的的聚聚点点为为中中的的点点，称称内内总总有有的的去去心心邻邻域域若若对对EPEP，UPO . 的的边边界界点点为为的的点点，称称有有不不属属于于又又含含的的点点于于的的任任一一邻邻域域内内既既含含有有属属若若EPE，EP【点与点集之间的关系【点与点集之间的关系】:22必必满满足足三三者者之之一一点点集集点点对对RE，RP 【内点【

3、内点】.)(的内点的内点为为，称，称的某一邻域的某一邻域若若EPEPUP EP 【外点外点】.)(的外点的外点为为，称，称的某一邻域的某一邻域若若EPEPUP 【边界点边界点】P PP P【聚点聚点】.E，EE 记记作作的的边边界界边边界界点点的的全全体体称称为为.;EE，EEEEE也也可可能能不不属属于于的的边边界界点点可可能能属属于于的的外外点点必必不不属属于于的的内内点点必必属属于于.,EE，PE也也可可以以不不属属于于可可以以属属于于的的聚聚点点【注注】【例如例如】平面点集平面点集 21),(22 yxyxE机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束内点一定是聚点；内点

4、一定是聚点；边界点可能是聚点，也可能不是；边界点可能是聚点，也可能不是；10| ),(22 yxyxE【例如【例如】(0,0)既是既是E的的边界点也是边界点也是E的聚点的聚点)0 , 0(1 E(0,0)是是E1的边界点但不是聚点的边界点但不是聚点. .点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),( . 122 yxyxE【例如【例如】(0,0)是聚点但不属于是聚点但不属于E. .1| ),( . 222 yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【开集与闭集【开集与闭集】

5、.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP .为开集为开集的点都是内点，则称的点都是内点，则称若点集若点集EE41),(221 yxyxE【例如【例如】即为即为开集开集。.为闭集为闭集为开集，则称为开集，则称的余集的余集若点集若点集EEEC41),(222 yxyxE【例如【例如】即为即为闭集闭集。41),(223 yxyxE而而既非既非开集开集，也非，也非闭集闭集机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束是是连连通通的的则则

6、称称开开集集且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于都都可可用用折折线线连连结结起起来来内内任任何何两两点点若若对对于于是是开开集集设设DDDD, , ,. 【连通集连通集】连通的开集称为区域或开区域。连通的开集称为区域或开区域。.41| ),(22 yxyx【例如例如】xyo.41| ),(22 yxyx【例如例如】xyo【开区域与闭区域开区域与闭区域】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束0| ),( yxyx有界闭有界闭区域；区域；无界开无界开区域区域xyo【例如【例如】无无界界集集，否否则则称称为为有有界界集集为为则则称称是是坐坐标标原原点点其其中中，使使得得若若存

7、存在在正正数数对对于于点点集集E，O（O，rUErE，),( 41| ),(22 yxyx【有界集与无界集【有界集与无界集】0| ),( yxyx无界闭无界闭区域区域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 2. 【n维空间维空间】n维空间的记号为维空间的记号为),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地当特殊地当n=1,2,3时时, ,便为数轴、平面、空间中两点间的距离便为数轴、平面、空间中两点间的距离. .设两点为设两点为n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念.

8、 . nRPPPPPU ,|),(00 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义【邻域【邻域】;, 2 , 1,| ),(21niRxxxxRRRRinn ;, 2 , 1,| ),(21niRxxxxRRRRinn nR机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、多元函数的概念二、多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数1. .【二元函数的定义二元函数的定义】 设设D是是R2的上的一个非空子集，称映射的上的一个非空子集，称映射f:DR为定义为定义在在D上的二元函数，通常记为：上的二元函数，通常记为：DPP

9、fzDyxyxfz ),( ),(),(或或.,为为因因变变量量为为自自变变量量与与为为定定义义域域其其中中zyxD2.【多元函数多元函数】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1】求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 【解【解】 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 【注【注】二元函数定义域的画法二元函数定义域的画法（重点）（重点）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3.【二元函数二元函数 的图形的图形】),(yxfz 二元函数的图形二元函数的图

10、形通常通常是一张曲面是一张曲面. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xyzoxyzsin 【例如【例如】图形如右图图形如右图. .2222azyx 【例如【例如】左图球面左图球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、多元函数的极限三、多元函数的极限【说明】：【说明】：（1）定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似二

11、元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）点点P必须是聚点，才能研究其极限存在性。必须是聚点，才能研究其极限存在性。 否则不能无限接近点否则不能无限接近点P。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例2】求证求证 【证【证】01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立【注意用无穷小【注意用无穷小性质更易证性质更易证】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例3 】求极限】求极限

12、.)sin(lim22200yxyxyx 【解解】22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 【注【注】原式中原式中x,y可以有一个等于可以有一个等于0 0，变形后，变形后x,y均不能等于均不能等于0 0 丢失路径丢失路径x =0=0或或y =0 ;=0 ;参见参见高数学习指导高数学习指导P170例例3.【错解【错解】, 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解【解

13、】 用夹逼准则证明其极限为零用夹逼准则证明其极限为零0| |)sin(0222222 xyxyxyxyx)0, 0(yx由夹逼准则立得由夹逼准则立得. 0)sin(lim22200 yxyxyx【教材例【教材例5】xxyyx)sin(lim)2,0(),(求求【解【解】原式原式)sin(lim)2,0(),(yxyxyyx yxyxyyxy20lim)sin(lim 221 【思考【思考】与上例比较，本题这种做法为什么正确？与上例比较，本题这种做法为什么正确？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例4】 证明证明 不存在不存在 【证【证】26300limyxyxyx

14、取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束不存在不存在. .观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【确定极限【确定极限不存在不存在的方法的方法】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束(3)【特别注意【特别注意】. )(),()(00000别别注注意意截截然然不不同同的的地地方方，需需特特这这是是与与一一

15、元元函函数数的的极极限限存存在在。此此时时也也不不能能断断言言原原极极限限，即即都都相相等等值值无无关关极极限限值值与与时时趋趋于于沿沿任任何何直直线线即即使使令令kyxPxxkyyP(x,y) ; lim 00yxxyyx 求极限求极限01limlim00 kkxkxxkxxkxyxkxyx则原式则原式kxy 若取若取值无关值无关与与k但此极限是但此极限是不存在不存在的的 ，因为，因为 【例如【例如】2 xxy 若取若取1)1(lim)()(lim220220 xxxxxxxxxyxxxyx则原式则原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 从而从而yxxyyx 00li

16、m不存在不存在【补充练习题】求极限【补充练习题】求极限yxyxxyyxyx 24300lim此即此即高数指导高数指导P189 3（7）【提示【提示】取路径取路径 y = k x (k-1)，则，则0)1(limlim425402430 xkxkkxkxyxyxxyyxxkxyx虽与虽与k无关无关但若取但若取xxy 3 )()()()(lim332433303xxxxxxxxxxxxxxyx 原原式式1)(lim34430 xxoxxx故原极限不存在故原极限不存在.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束利用点函数的形式有利用点函数的形式有n元函数的极限元函数的极限 机动机动

17、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性22330yxyx | )1(22yxyxxy |23|)|122yxyxyxxy （1.【连续性【连续性】【例【例5】讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性【解【解】0),0 , 0(),(lim)0 , 0(),(fyxfyx 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .),(,sin),(2上上的的连连续续函函数数是是证证明明设设Ryxfxyxf 0 .

18、),(2000 RyxP设设【证【证】 , sin0处连续处连续在在由于一元函数由于一元函数xx0 故故时，有时，有当当 0 xx 0sinsinxx，则当，则当邻域邻域的的作作以上述以上述),(00 PUP时时),(),(0 PUyxp 【例【例6】 ),()()( 020200PPyyxxxx显有显有从而从而 000sinsin),(),(xxyxfyxf .),(),(000点连续点连续在在即即yxPyxf【证完【证完】【结论【结论】一元基本初等函数视为多元函数时，在一元基本初等函数视为多元函数时，在各自的定义域内都是连续的。各自的定义域内都是连续的。机动机动 目录目录 上页上页 下页下

19、页 返回返回 结束结束【例【例7】讨论函数】讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性【解【解】 取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续2. 【间断点【间断点】【说明【说明】一元函数只有一元函数只有间断点间断点可言；二元函数有可言；二元函数有间断点间断点、间断线间断线可言；三元函数还可能出现可言；三元函数还可能出现间断面间断面.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3. .【

20、有界闭区域上连续函数的性质【有界闭区域上连续函数的性质】 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值取得介于最大值和最小值之间的任何值（1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2）介值定理介值定理【注【注】（1）（）（2）定理中条件的定理中条件的充分性充分性. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4.【多元初等函数【多元初等函数】由多元多项式及基本初等函数经由多元多项式及基本

21、初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数子所表示的多元函数叫多元初等函数【结论【结论】一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其定义区域定义区域内是连续的内是连续的. .定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求机动机动 目录目录 上页上页 下页下

22、页 返回返回 结束结束【例【例8】xyyxyx )2, 1(),(lim求求 0, 0),( yxyxD定义域定义域DPUDP )( )2 , 1(00的内点，故的内点，故为为而任何邻域都是而任何邻域都是区域区域，则，则【解【解】的的一一个个定定义义区区域域，因因此此是是),()(0yxfPU23)2 , 1(lim)2, 1(),( fxyyxyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例9】.11lim00 xyxyyx 求求【解【解】)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 .:.),0( ; 可可用用洛洛必必达达法法则则等

23、等如如一一元元函函数数的的极极限限来来求求化化为为令令提提示示：还还可可以以用用换换元元法法 ttxy【注意【注意】多元函数的极限没有相应的洛必达法则多元函数的极限没有相应的洛必达法则.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结多元函数的定义多元函数的定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题【思考题】【解答【解答】 不能不能. .例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在. . ),(lim)0 , 0( ),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束不存在不存在.观察观察2630