误差及分析复习

1、考试安排考试安排时间时间 4月月16日周三日周三9：3011：30地点：地点：教教1-009考试题型考试题型 填空 选择(单选、多选） 计算题考试方式考试方式： 开卷，独立完成 带计算器 课程内容要点：n什么是误差、相对误差、 （仪表）引用误差、实验（样本）标准差、偏移？n什么是准确度、正确度、精密度、重复性、再现性、稳定性？n三类误差性质的特征有什么异同?如何分析测量随机误差?如何分析系统误差、粗大误差是否显著存在?n函数误差、误差分配、微小误差取舍、最佳测量方案的确定n单次测量的标准差与算术平均值的标准差是什么关系?怎么理解标准差的标准差?n标准差有哪几种常用的统计公式? n常用的误差分布

2、，服从常用误差分布的可能情形。n权的概念，权的确定方法，权与方差的关系，加权算术平均值及其标准差。n什么是测量不确定度？如何评定两类标准（差）不确定度?如何估计他们的自由度?n如何分析测量不确定度的来源?如何求得合成测量不确定度及其有效自由度?n如何确定扩展不确定度的包含因子?n如何合理表示测量结果? n什么是最小二乘法？n一元线性回归的基本概念、回归系数的计算推导、回归系数的不确定度的公式推导、回归值的不确定度公式推导n偏差平方和的分解：总偏差平方和、回归平方和、残余平方和n回归效果的检验n典型例题常用的计算公式名称说明公式误差误差的定义绝对误差相对误差引用误差最大绝对误差最大相对误差三类不

3、同性质的误差随机误差算术平均值实验标准差算术平均值的标准差权的确定粗大误差3准则格拉布斯(Grubbs)准则狄克逊(Dixon)准则0 xxx 0 xxx 0rx x %mmxxs %mmxxxrsxx 11niixxn2111niisxxn( )ss xn 3ddxxs( , )dxxGn s1212222111:mmxxxppp常用的计算公式名称说明公式系统误差系统误差的定义统计检验恒定系统误差组间t检验线性系统误差周期系统误差函数误差函数系统误差函数随机误差0 xx 2| |(1)ttn0(1)/xxtt nsn1211()mtxysnn212(2)ttnn222112212(1)(1)

4、2mnsnssnn12| 2 n s2pBA1211()niiiB21niiA1212.nnfffyxxxxxx 22112nnyxiijxixjiijiijfffxxx 名称符号说明公式A类评定方法标准不确定度s(xi)(单次测量)实验标准差平均值实验标准差uA测量结果标准不确定度B类评定方法标准不确定度uB已知扩展不确定度U和包含因子k已知扩展不确定度Up和置信概率p及包含因子kp或有效自由度eff及tp()已知区间半宽度a和相应的先验概率分布的包含因子k1)()(12nxxxsniii)(xs) 1()()()(12nnxxnxsxsniii次数是给出测量结果的测量mmxsui)(AkU

5、uB)(effBBpppptUukUu或kauB测量不确定度评定的有关公式总结 名称符号说明公式合成标准不确定度uc(y)直接测量各标准不确定度分量ui(x)(包括输入量和影响量)一般都互不相关间接测量y=f(x1,x2,xn)不确定度传播率各标准不确定度分量ui互不相关（r(xi,xj)0）。当y/xi=1或1时各标准不确定度分量ui正相关（r(xi,xj) 1）。当y/xi=1时简化形式yc1x1c2x2cnxn各标准不确定度分量ui互不相关， 系数ci=1或1各分量ui互不相关，c是常数，pi可以是正数、负数、分数扩展不确定度 U不评定自由度，取k23U kuc(y)Up评定有效自由度，

6、kptp(eff)Upkpuc(y)=tp(eff)uc(y)Niixuyu12c)()( 11112212c)()(),(2)()()(ninjjijijiiniixuxuxxrxyxyxuxyyuniiniiyuxuyu1212c)()()(niiiiniiixxupxupyyuyu1212relccrel)()()()(222c11( )()()( )nniiiiiyuyuxuyxc11( )()( )nniiiiiyuyu xu yxnpnppxxcxy212122c11( )()( )nniiiiuyuxuyc11( )()( )nniiiiuyu xu y误差的定义及表示法误差的定

7、义及表示法绝对误差：绝对误差： 测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。 绝对误差测得值真值绝对误差测得值真值 修正值：实际工作中常用修正值。修正值：实际工作中常用修正值。 为消除（减少）系统误差用代数法加到测量结果上为消除（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值。的值称为修正值。 修正值修正值真值真值( (约定真值）测得值约定真值）测得值 测量结果测量结果(真值真值) )测得值修正值测得值修正值一、误差的基本概念一、误差的基本概念相对误差相对误差 测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差

8、。 GUMGUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值 的最佳估计值）。的最佳估计值）。 绝绝对对误误差差绝绝对对误误差差相相对对误误差差真真值值测测得得值值（1 1）无单位（无名数），通常以或）无单位（无名数），通常以或1010-d-d表示表示（2 2）通常可比较不同测量的质量如何。）通常可比较不同测量的质量如何。LLLL0引用误差引用误差(fiducial error)(fiducial error)100100mmxs%x 示示值值误误差差引引用用误误差差引引 用用值值 式中引用值式中引用值 xm 通常指通常指全量程全量程或或量程上限

9、量程上限， 示值误差示值误差xm是该量程范围内任一刻度点的是该量程范围内任一刻度点的 示值的绝对误差中的示值的绝对误差中的最大值最大值。二、误差的分类二、误差的分类按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类：方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类： 1 1系统误差系统误差定义：定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。得结果的平均值与被测量的真值之差。特征：在同一条件下多次测量同一量值时

10、，其绝对值和符号特征：在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差，称保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为: : （1 1）定值系统误差定值系统误差 ：即误差的大小和方向为固定值。：即误差的大小和方向为固定值。 （2 2）变值系统误差变值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化值。：即误差的大小和方向为规律的变化值。 为减少系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值。为减少系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值。average of re

11、plicate indications minus a reference quantity valueVIM, 3rd edition, JCGM 200:2008指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。示值误差的平均来估计。 偏移或偏畸（偏移或偏畸（bias of a measuring instrumentbias of a measuring instrument）测量偏移测量偏移 measurement biasmeasurement biasestimate of a systematic measu

12、rement error系统误差的估计值系统误差的估计值用标准器具（物质）检定恒定系统误差用标准器具（物质）检定恒定系统误差0(1)/xxtt nsn2、构造统计量3、在给定显著水平下，查 分布表的临界值t2(1)tn0()xx4、作出决策。若 ，判定被检量算术平均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被检量含有恒定的系统误差。2| |(1)ttn5、加修正值。对测得值 加一个修正值 ，即x0()xx0()xxx1、计算均值 ，按贝塞尔公式计算标准差xs变值系统误差的发现方法之一：残差观察法变值系统误差的发现方法之一：残差观察法将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加。当n为偶数时，取 ，

13、n为奇数时，取和检验法（检验显著递增和递减误差）检验显著递增和递减误差）前半残差和11212| 2 n s2后半残差和引入统计量 若存在显著的线性变化或递增、递减系统误差 。2nK 12nK 111()()iiiiiixxxxxx11221111()()nniiiiiiBxx21niiA2BA2pBA记序差序差平方和残差平方和（突出分散性）引入统计量若则存在显著的周期性变化系统误差。 小样本序差法：用于发现周期性系统误差用于发现周期性系统误差 两组算术平均值之间是否存在系统误差两组算术平均值之间是否存在系统误差的差值的差值与标准差比较法：与标准差比较法： 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不

14、同的情对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为n n1 1和和n n2 2次，次，xxt 若若 两算术平均值之差的方差为：221212()()()()sxs xxsxsx两组算术平均值之差为：12xxx 121xxp 则则可可判判别别和和间间存存在在系系统统误误差差, , 判判别别时时选选取取一一定定的的 . .两组数据 112,.,nx xx212,.,ny yy统计量 12()11mxytsnn给定显著水平，若 ，则与有显著差别，即存在系统误差；反之则无根据怀疑两组间有系统误差。 212(2)ttn

15、nxy222112212(1)(1)2mnsnssnn组间组间 t 检验法（组数检验法（组数m=2，正态），正态）12222212111211()()11nniisxxsyynn系统误差的减小与消除恒定系统误差恒定系统误差 替代法替代法 交换法交换法 抵消法抵消法 线性系统误差线性系统误差周期性系统误差周期性系统误差对称补偿法对称补偿法半周期法半周期法补偿和减少系统误差的途径有：（1）从误差根源上消除；（2）在测量过程中采取一定措施避免系统误差引入测量结果。 单次测量的标准单次测量的标准 偏偏 差：差：211nii( xx )sn 算术平均值的标准算术平均值的标准 偏偏 差：差：211nii(

16、 xx )s( x )s( x )n(n)n 2 2、随机误差、随机误差不等权测量：不等权测量： 权的概念权的概念 应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重小一些。小一些。 各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为该测量结果的该测量结果的“权权”，记为，记为p p。测量精度愈高，可靠性。测量精度愈高，可靠性愈高，应给予的愈高，应给予的“权权”应愈大。应愈大。1212222111mmxxxp : p : p: 加权算术

17、平均值加权算术平均值: : 对同一被测量进行对同一被测量进行m m组不等精度测量，得到组不等精度测量，得到m m个测量结果个测量结果 设设m m个测量结果各自相应的权为个测量结果各自相应的权为p pi i， 则加权算术平均值为：则加权算术平均值为：11miiimiip xxp 12mx ,x ,x ,121xmmiinnnn 11iiiixxxmmiiiinpnp测量准确度测量准确度（accuracy of measurement）表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分析而言，准确度是测量结果中系统误差和随机误就误差分析而言，准确度是测量结果中

18、系统误差和随机误差的综合，误差大，则准确度低，误差小，则准确度高。差的综合，误差大，则准确度低，误差小，则准确度高。 国际国际“通用计量学术语通用计量学术语”中在中在B.2.14B.2.14这条下有两条注解：这条下有两条注解： 不要使用不要使用 “precisionprecision”来表示准确度。来表示准确度。 准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准确准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准确度为度为0.250.25级、准确度为三等及准确度符合级、准确度为三等及准确度符合标准的说法。标准的说法。尽量不使用准确度为尽量不使用准确度为0.25%,16mg0.25%,16mg，16mg16m

19、g等方式表示。等方式表示。 附：测量仪器的准确度定义为：附：测量仪器的准确度定义为： 测量仪器给出接近于真值的能力。测量仪器给出接近于真值的能力。当只考虑系统误差的大小时，准确度称为正确度。当只考虑系统误差的大小时，准确度称为正确度。正确度正确度（correctness，measurement trueness）表示对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值与真值表示对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值与真值之间的一致程度之间的一致程度closeness of agreement between the average of an infinite number of replicate m

20、easured quantity values and a reference quantity value只考虑随机误差的大小时，准确度称为精密度。只考虑随机误差的大小时，准确度称为精密度。精密度精密度（precision）表示在给定条件下对同一或类似被测量进行多次测量所表示在给定条件下对同一或类似被测量进行多次测量所得的示值或测量值之间的一致性得的示值或测量值之间的一致性closeness of agreement between indications or measured quantity values obtained by replicate measurements on th

21、e same or similar objects under specified conditions测量精密度通常在数值上表示成不精密度，如标准偏差，测量精密度通常在数值上表示成不精密度，如标准偏差，方差等方差等“给定条件给定条件”可以是，比如，测量重复性条件，测量复可以是，比如，测量重复性条件，测量复现性条件等现性条件等精密度可以用来定义测量重复性，测量复现性精密度可以用来定义测量重复性，测量复现性重复性（repeatability）在重复性条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。重复性条件重复性条件相同的测量程序，相同的观测者，在相同的条件下使用相同的测量仪器，相同的

22、地点， 在短时间内重复测量复现性（reproducibility） 在复现性条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。复现性条件复现性条件不同的测量程序或不同的观测者或不同的测量仪器或不同的地不同的测量程序或不同的观测者或不同的测量仪器或不同的地点点指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。 稳定性（稳定性（stabil

23、ity of a measuring instrumentstability of a measuring instrument）3 3、异常值（粗大误差）、异常值（粗大误差） 明显歪曲测量结果的误差称为异常值（粗大误差），明显歪曲测量结果的误差称为异常值（粗大误差），也叫过失误差或疏忽误差。我国在也叫过失误差或疏忽误差。我国在GB4883GB48838585中推荐了中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：两种异常值的判别方法，两种方法是： 1 1、在只剔除、在只剔除1 1个异常值时采用格拉布斯个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)(Grubbs)准则。准则。 2 2、在剔除多个异常值时采用

24、狄克逊（、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)Dixon)准则。准则。 三种粗大误差判断准则三种粗大误差判断准则 ： （1 1） 3 3 准则（莱以达准则准则（莱以达准则 ） 当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值 |v|v|3 3 时，时， 则剔除此数据。则剔除此数据。 （2 2）格拉布斯（）格拉布斯（Grubbs)Grubbs)准则。准则。 设独立重复测量的一个正态分布的测量设独立重复测量的一个正态分布的测量列列x1 1，x2 2，xn n，其测量标准偏差为，其测量标准偏差为 s(x), , 对其中的一个可疑数据对其中的一个可疑数据x

25、d,d,(,(其残余偏差其残余偏差vd d的绝对值最大），的绝对值最大）， 若：若： 则数据则数据x xd d为异常值，应予剔除；否则应予为异常值，应予剔除；否则应予保留。保留。 ( , ) ( )ddvxxGn s x 函数误差函数误差间接测量的概念间接测量的概念(1)(1)直接测量直接测量无需对被测的量与其它实测的量进行无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。 例如：用游标卡尺直接测量零件直径。例如：用游标卡尺直接测量零件直径。(2) (2) 间接测量间接测量实测的量与被测的量之间有已知函实测的量与被测的量

26、之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量值的测量。数关系，通过计算而得到被测量值的测量。 例如例如: : 用千分尺直接测量圆柱体的直径用千分尺直接测量圆柱体的直径d d和高度和高度h h，通过函数计算来求圆柱体体积，通过函数计算来求圆柱体体积V V。一、函数系统误差计算 设间接测量中间接测量值设间接测量中间接测量值y是各个直接测量量是各个直接测量量 xi 的多元的多元函数，其表达式为函数，其表达式为),(21nxxxfy， 式中：式中： 间接测量值间接测量值 各个直接测量值。各个直接测量值。12,nyxxx ，可近似得到函数的系统误差为：可近似得到函数的系统误差为：1212nnfffyxxxx

27、xx 二、函数随机误差的计算：二、函数随机误差的计算： 对于函数的随机误差对于函数的随机误差, ,当当各测量值的随机误差相各测量值的随机误差相互独立时，互独立时，函数随机误差的计算式为：函数随机误差的计算式为：1222222212()()()nyxxxnfffxxx12222222112()()()2nnyxxxijxixjijnijfffffxxxxx 当当各测量值的随机误差相互不独立，即相互间相各测量值的随机误差相互不独立，即相互间相关时，关时，函数随机误差计算的普遍式为：函数随机误差计算的普遍式为：其中相关系数为：其中相关系数为：22()()( , )()()iiii 测量不确定度测量不

28、确定度不确定度定义：不确定度定义： 不确定度是测量结果带有的一个参数，用以不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量的值的分散性。表征合理赋予被测量的值的分散性。测量误差测量误差测量不确定度测量不确定度1测量值与真值之差，表明测量测量值与真值之差，表明测量结果偏离真值的量结果偏离真值的量表明测量值的分散性表明测量值的分散性2由于真值不可知，往往不能准由于真值不可知，往往不能准确得到。确得到。可以根据实验，或者资料、经可以根据实验，或者资料、经验等进行评定，从而可定量确验等进行评定，从而可定量确定。定。3是有正负号的量值是有正负号的量值无正负符号的参数无正负符号的参数4已知系统误差

29、的估计值时，可已知系统误差的估计值时，可以对测量值进行修正。对变值以对测量值进行修正。对变值系统误差无法处理。系统误差无法处理。不能用不确定度对测量结果进不能用不确定度对测量结果进行修正。无系统不确定度或随行修正。无系统不确定度或随机不确定度提法。机不确定度提法。不确定度的分类：不确定度的分类：AB 类类标标准准不不确确定定度度标标准准不不确确定定度度类类标标准准不不确确定定度度不不确确定定度度合合成成标标准准不不确确定定度度扩扩展展不不确确定定度度 标准不确定度：标准不确定度： 用标准偏差表示的不确定度。用标准偏差表示的不确定度。 A A类标准不确定度：类标准不确定度： 用统计方法评定出的不

30、确定度用统计方法评定出的不确定度 B B类标准不确定度：类标准不确定度： 用非统计方法评定出的不确定度用非统计方法评定出的不确定度 合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到 扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因 子子 k k 得到得到标准不确定度的标准不确定度的A A类评定：类评定： ( (一）定义：用统计方法评定出的不确定度。一）定义：用统计方法评定出的不确定度。( (二）符号：用符号二）符号：用符号 u u 表示，有多个分量时用表示，有多个分量时用u u i i表示表示( (三）评定

31、方法：三）评定方法：21()()( )1( )( )( )iniiixAxxu xs xnxAs xu xs xn 观观测测列列中中的的任任一一单单次次测测值值 的的 类类标标准准不不确确定定度度为为 算算术术平平均均值值 的的 类类标标准准不不确确定定度度为为 测量不确定度的测量不确定度的B类评定类评定 影响被测量之值可能变化的全部信息影响被测量之值可能变化的全部信息 概率分布类型概率分布类型 区间半宽度区间半宽度( )au xk引用误差引用误差 示值误差示值误差仪器分辨力仪器分辨力 仪器的滞后仪器的滞后 舍入误差舍入误差 仪器基本误差仪器基本误差合成标准不确定度的评定：合成标准不确定度的评

32、定： 若不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定若不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按的函数关系，则应根据具体情况按A A类评定或类评定或B B类评定类评定方法来确定各不确定度分量方法来确定各不确定度分量u ui i的值，然后求得合成标的值，然后求得合成标准不确定度为：准不确定度为：2112mmciijijii juuu u 对于间接测量的情况，对于间接测量的情况， Y = F(X1,X2,Xm)时，有如下时，有如下 的合成标准不确定度公式：的合成标准不确定度公式：2211( )( )2( ) ()mmciijijiijiijFFFuyuxu x u xxxx

33、（）式中：式中： uc(y)输出量估计值输出量估计值y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 u(xi),u(xj)输入量估计值输入量估计值 xi和和xj 的标准不确定度的标准不确定度 函数函数 F(X1,X2, ）在）在(x1,x2,xm)处的偏导数，处的偏导数， 称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数；称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数；ij Xi和和Xj 在在(xi,xj) 处的相关系数处的相关系数 iiFax当第当第和第和第j个输入量个输入量 xi 和和 xj 相互间均独立时相互间均独立时ij0,这时这时间接测量的标准不确定度传播公式可简化为：间接测量的标准不确定度传播公

34、式可简化为：221( )()mciiiFuyuxx 扩展不确定度的评定：扩展不确定度的评定：扩展不确定度由合成标准不确定度扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以一个包含因乘以一个包含因子子k得到（得到（k一般在一般在23范围内选取）。范围内选取）。 符号：用符号符号：用符号 U ,Up表示。记为：表示。记为： U = k*uc 或：或： Up= k*uc 包含因子包含因子k的确定：的确定： 包含因子包含因子k的大小由置信概率的大小由置信概率p和分布的类型确定。和分布的类型确定。1）一般测量时，如果没有特殊说明，则按正态分布）一般测量时，如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。考虑。2）重要的测量，

35、或测量次数较小时，）重要的测量，或测量次数较小时，k由由t分布确定：分布确定： 包含因子包含因子k（t分布时常用符号分布时常用符号 t表示）由置信概率表示）由置信概率p(或或 ）、以及自由度）、以及自由度从从t分布表查出。分布表查出。自由度概念：自由度概念：概念：概念： 对应对应n个变量个变量, m个独立的线性约束条件，那么个独立的线性约束条件，那么n个变量中独立变量的个数仅为个变量中独立变量的个数仅为nm，则称平方和，则称平方和vi2 的自由度为的自由度为nm。用符号。用符号来表示，记为来表示，记为nm。自由度的意义：自由度的意义： 当测量次数当测量次数n不同时，计算出的标准偏差自身的不同时

36、，计算出的标准偏差自身的可信赖程度不同。例如测量次数可信赖程度不同。例如测量次数n大时，自由度值大时，自由度值大，可信赖程度高。自由度所包含的意义就是代表大，可信赖程度高。自由度所包含的意义就是代表标准偏差自身的不确定度的大小。标准偏差自身的不确定度的大小。自由度的评定：自由度的评定：1、A类标准不确定度的自由度的评定：类标准不确定度的自由度的评定： 贝塞尔公式计算的贝塞尔公式计算的n次测值的标准偏差次测值的标准偏差 s(x) 的自由度的自由度 n1。算术平均值的标准偏差的自由度仍然是算术平均值的标准偏差的自由度仍然是 n-1 ，因，因为自由度为自由度表示的是不确定度自身的不确定度的表示的是不

37、确定度自身的不确定度的大小大小2、B类标准不确定度的自由度的评定：类标准不确定度的自由度的评定： 对于对于B类标准不确定度，其自由度一般通过不确类标准不确定度，其自由度一般通过不确定度（或标准偏差）自身的相对不确定度来折算，定度（或标准偏差）自身的相对不确定度来折算，不确定度（或标准偏差）自身的相对不确定度由不确定度（或标准偏差）自身的相对不确定度由资料等先验信息给出。）资料等先验信息给出。） 折算公式为：折算公式为：212( )uu ( )uuu 其其中中：为为标标准准不不确确定定度度 的的相相对对不不确确定定度度合成标准不确定度的自由度：合成标准不确定度的自由度： 当各不确定度分量当各不确

38、定度分量u ui i的自由度的自由度 均已知时，均已知时，合成标准不确定度合成标准不确定度u uc c的自由度（常称为有效自由度）的自由度（常称为有效自由度）计算公式为：计算公式为：i 441ceffniiiuu effciiuu 其其中中：- -合合成成标标准准不不确确定定度度的的有有效效自自由由度度 - -合合成成标标准准不不确确定定度度 - -各各不不确确定定度度分分量量 - -各各不不确确定定度度分分量量各各自自的的自自由由度度扩展不确定度的自由度与合成标准不确定度的自由度相同。扩展不确定度的自由度与合成标准不确定度的自由度相同。、合成标准不确定度表示方式、合成标准不确定度表示方式 某

39、标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度 100.02147gm ( )0.35mgcu m 9(1)100.021 47gm ( )0.35mgcu m ，或( )0.00035gcu m 9，(2)100.021 47(35)gm 9(3)100.021 47(0.000 35)gm 9M括号内的数值按标准差给出，其末位与测量结果的最低位对齐括号内的数值按标准差给出，单位同测量结果一样2 2、扩展不确定度表示方式、扩展不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度100.021 47gm ( )0.35mgcu m 9M2k ( )( )0.000

40、70gcU mku m包含因子，扩展不确定度 ( )(100.021470.00070)gMmU m2k 9100.02147gm ( )0.00070gU m 2k 92k ( )(100.021470.00070)gMmU m100.02147gm ( )0.00070gU m 2k 或或或( )( )0.00079ppcUmk u mg包含因子95( )(100.021470.00079)gMmUm100.02147gm 95( )0.00079gUm ( )(100.021470.00079)gMmU m或或(9)2.26,0.95ppktp(9)2.26,0.95ppktp2.26k

41、 90.95p(9)2.26,0.95ppktp扩展不确定度表示方式扩展不确定度表示方式 扩展不确定度三、数字位数与数据修约规则三、数字位数与数据修约规则 在表示测量结果时，究竟取几位数字为好呢？总结以下几条原则 (1) 最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位当保留一位有效数字时，按“三分之一原则”进行修约。多余部分推荐：多余部分推荐：当保留两位有效数字时，按“不为零即进位”；0.001 1010.001 2 0.001 001 0.001 0.001 334 0.002 多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原则进行舍弃截断或进位截断。 (2) 被测量的估计值的位数也要进行相应的修约修约后的数

42、据要与不确定度数值的位数对齐被测量的估计值 已修约的不确定度的数据修约的被测量的估计值20.000 54 0.001 2 20.000 5 20.000 56 0.001 2 20.000 6 20.000 55 0.001 2 20.000 6 四舍六入逢五取偶被测量的估计值的位数的修约在最终表示测量结果的场合，规范和完整的表示方式有以下两种：（1）扩展不确定度表示方式： 测量结果 = 最佳估计值 测不准部分（单位）（置信水平，自由度）（2）合成标准不确定表示方式： 测量结果 = 最佳估计值 （ 测不准部分）（单位）（自由度）测量结果的最终表示测量数据处理的完整步骤测量数据处理的完整步骤 ,

43、()iixvs x1 1、求求全全部部测测得得值值的的算算术术平平均均值值 ， 残残差差实实验验标标准准偏偏差差。 ,()iixvs x2 2、利利用用异异常常值值判判断断准准则则判判断断有有无无异异常常值值， 如如含含有有，则则剔剔除除异异常常值值后后再再重重新新计计算算算算术术平平均均值值 ，残残差差实实验验标标准准偏偏差差，并并再再次次判判断断有有无无异异常常注注：异异常常值值。 值值必必 须须剔剔除除。3x 、检检查查有有无无系系统统误误差差， 如如可可检检查查判判断断出出确确有有定定值值系系统统误误差差，则则应应确确定定误误差差 修修正正值值（ 真真值值测测量量值值）并并对对 修修正

44、正，或或设设法法消消除除。 如如存存在在明明显显规规律律的的变变值值系系统统误误差差，则则应应设设法法消消除除， 如如修修正正则则应应有有充充分分的的根根据据。 4 4、分分析析造造成成测测量量不不确确定定度度的的各各测测量量不不确确定定度度分分量量，并并进进行行 A A类类或或B B类类不不确确定定度度评评定定，确确定定计计算算各各测测量量不不确确定定度度分分量量 的的自自由由度度。ceffu 5 5、计计算算合合成成标标准准不不确确定定度度, ,和和合合成成标标准准不不确确定定度度的的有有效效 自自由由度度。effPptkUU 6 6、确确定定置置信信概概率率 ，由由置置信信概概率率p p

45、和和有有效效自自由由度度查查 分分布布表表确确定定包包含含因因子子 ，计计算算扩扩展展不不确确定定度度 或或。7 7、给给出出测测量量结结果果报报告告。思考与练习题 1-1 车间计量室温度(203)C，相对湿度(605)%，某检验员用一把游标卡尺测量某轴形工件直径，重复测量3次的数据为15.125，15.124，15.127mm。试分析该测量问题的测量要素?若另一检验员用另一把游标卡尺测量同一轴形工件直径，重复测量3次的测量数据为15.125，15.137，15.115mm，测量结果产生变化的主要因素可能是什么? 试答该工件直径的测量结果及测量误差应如何表示？ 1-2 用标准测力机检定材料试验

46、机，若材料试验机的示值为5.000MN, 标准测力仪输出力值为4.980MN,试问材料机在5.000MN检定点的示值误差、示值的相对误差各为多少？ 1-4 某待测的电压约为86V，现有0.5级0300V和1.0级0100V两个电压表，问用哪一个电压表测量较好？ 1-8 检定一只5mA、2.5级电流表的满度值误差。按规定，引入修正值后使所用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器容许误差的1/3。现有下列几只标准电流表，问选用哪一只最合适，为什么？（1）10mA 0.5级 （2）10mA 0.2级（3）15mA 0.2级 （4）5mA 0.5级 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的

47、电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为全量程最大误差，问该电压表是否合格？5-10 对某量进行两组等权测量，其数据如下：甲组：25.94，25.97，26.03，25.98，26.04 26.02，26.04，25.98，25.96，26.07 乙组：25.93，25.94，26.02，25.98，26.01 25.90，25.93，26.04，25.94，26.02(1)试用残差统计法判断各组中是否有系统误差；(2)假设各组无系统误差，试用t检验法检查两族之间是否有系统误差（ ）。05. 05-11 为检验某种测量锌含量的方法是否存在系统误差，用含锌量25.04%的标准物质作样品，重复测3

48、0次，得平均测值25.22%，标准差0.46%，试判断有无系统误差（ ）。现用此法测得某试样的平均值27.19%，试修正该试样的分析结果。05. 0网络答疑：网络答疑：Email： 正态分布：正态分布：1)重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；2)被测量量被测量量Y用扩展不确定度用扩展不确定度Up给出，而对其分布又没有特殊给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值指明时，估计值Y的分布；的分布； 3)被测量被测量Y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 中，相互独立的分量中，相互独立的分量 较多，它们之间的大小也比较接近时，较多，它们之间的

49、大小也比较接近时，Y的分布；的分布；4)被测量被测量Y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 中，相互独立的分量中，相互独立的分量 中，存在两个界限值接近的三角分布，或中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的个界限值接近的均匀分布时；均匀分布时；5)被测量被测量Y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 的相互独立的的相互独立的 分分量中，量值较大的分量（起着决定作用的分布）接近正态量中，量值较大的分量（起着决定作用的分布）接近正态分布时。分布时。 ( )cuy( )iu y( )cuy( )iu y( )cuy( )iu y 矩型（均匀）分布：矩型（均匀）分布：1)数据修约导致的不确定

50、度；数据修约导致的不确定度；2)数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致的不确定度；数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致的不确定度；3)测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度；测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度；4)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；确定度；5)用上、下界给出的线膨胀系数；用上、下界给出的线膨胀系数；6)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；7)平衡指示器调零不准导致的不确定度。平衡指示器调零不准导致的不确定度。 三角分布：三角分布：1)相同修约间隔给出的两独

51、立两之和或差，由修约导相同修约间隔给出的两独立两之和或差，由修约导致的不确定度；致的不确定度；2)因分辨率引起的两次测量结果之和或差的不确定度；因分辨率引起的两次测量结果之和或差的不确定度；3)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；准导致的不确定度；4)两相同均匀分布的合成。两相同均匀分布的合成。 反正弦分布（反正弦分布（U型分布）：型分布）：1)度盘偏心引起的测角不确定度；度盘偏心引起的测角不确定度；2)正弦振动引起的位移不确定度；正弦振动引起的位移不确定度；3)无线电中失配引起的不确定度；无线电中失配引起的不确定度；4)随

52、时间正余弦变化的温度不确定度。随时间正余弦变化的温度不确定度。 矩阵最小二乘法解题步骤：矩阵最小二乘法解题步骤：1111112212221122221122()() ()ttttnnnnnttvla xa xa xvla xa xa xvla xaxa x 1 1、列列出出测测量量残残差差方方程程组组，其其一一般般形形式式为为： 11121122122212ttnnnntaaallaaaLAlaaa 2 2、列列出出测测量量残残差差方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵和和测测量量矩矩阵阵：令令： 1111212122111113()TtTtttXCA LddddddCA Add 、解解矩矩阵阵得得

53、待待估估参参数数的的最最佳佳估估计计值值： 正正规规方方程程组组解解的的矩矩阵阵表表达达式式： 其其中中： 211111222( )()()( )()( )()( )5iiiiiitttttvs lvla xa xnts xd s ls xd s ls xd s l 4 4、求求测测量量值值及及待待估估参参数数的的不不确确定定度度： 则则 ， ， 、完完整整表表示示测测量量结结果果。v线性部分反映了由于的变化而引起的变化由实验获得两个变量和的一组样本数据，构造如下一元线性回归模型 一元线性回归模型的数学形式一元线性回归模型的数学形式 v模型中，是的线性函数部分加上误差项yxxyv误差项是随机变

54、量反映了除和之间的线性关系之外的随机因素对的影响是不能由和之间的线性关系所解释的变异性v和称为模型的参数xyyxyabxy11( ,)x y22(,)xy(,)nnxyiiiyabx1、误差项是一个期望值为的随机变量，即。对于一个给定的值，的期望值为( )0Eixiy()iiE yabx2、对所有的值，的方差都相同ixi23、误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即i2(0,)iN独立性意味着对于一个特定的值，它所对应的与其它值所对应的不相关ixijxj对于一个特定的值，它所对应的值与其它值所对应的不相关ixiyjxjy一元线性回归模型基本假定一元线性回归模型基本假定 1、总体回归参

55、数和是未知的，必须利用样本数据去估计他们2、用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，这时就得到了经验的回归方程 ab3、一元线性回归的经验的回归方程 yabx是回归直线在轴上的截距是直线的斜率，它表示对于给定的的值，是的估计值，也表示当每变动一个单位时，的平均变动值 aybxyx yyab经验的回归方程ab设得到的回归方程残差方程为,1,2,iiiiivyyyabxin根据最小二乘原理可求得回归系数 和 。对照最小二乘法的矩阵形式，令111222111NNNyxvayxvYXVbyxv 回归参数的最小二乘估计yabxa b则误差方程的矩阵形式为YXV对照 ，设测得值 的精度相等，则有XALV

56、iy1()TTX XX Y将测得值分别代入上式，可计算得11122111()()()nnniiiiixyiiinnnxxiiiiiix yyxxxyylblxxxxxaybx 1122111NNyxyxYXyx2TiiinxX Xxx2122211TiiiiiiixxixxX Xxnnxxxxnlxn221( )xxxVar anl21( )xxVar bl2( , )xxxCov a bl n由于 相互独立，12,.ny yy2()iVar y自由度1n总计算公式yyl总在总的偏离中除了对线性影响之外的其它因素而引起变化的大小 xyy1回2xyxyxxlbll回在总的偏差中因和的线性关系而引

57、起变化的大小 xyy2n总回残 总回残总偏差平方和 回归平方和 残余平方和 意义反映因变量的n个观测值与其均值的总偏差三个平方和的意义三个平方和的意义定义21niiyy总21niiyy回21niiiyy残回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验-F-F检验法检验法对一元线性回归，有3、根据给定的显著性水平 ，从F分布表中查取临界值 。4、比较计算得到的F值和查得的 值。若 则回归效果显著，否则效果不显著。1p 1,2FnF1,2FFnF回回残残12Fn回残1、提出假设线性关系不显著0:H2、计算检验统计量 估计残余标准误差估计残余标准误差5、残余标准差的计算公式 2sn残1、表征除了与线性关系

58、之外其它因素影响值偏离的大小 2、反映实际观测值在回归直线周围的分散状况3、从另一个角度说明了回归直线的拟合程度4、残余方差的计算公式 221122niiisyynn残xyy回归方程的稳定性回归方程的稳定性 1、回归值的波动大小，波动愈小，回归方程的稳定性愈好。 y2、回归值的波动大小的计算公式 y标准不确定度来表示。 y( )U y21( )xxxxU ysnl回归值的波动大小不仅与剩余标准差s有关，而且还取决于试验次数n及自变量取值范围。 2222222222( )()( )()2( ,)1121121xxxxxxxxxxVar yVar abxVar aVar bxCov a bxxxx

59、sxssnlllsxxxxnlxxsnl基本思想基本思想 误差分配误差分配 由给定测量结果允许的总误差，合理确定各单项误差。 假设各误差因素互不相关，有 22212yyyyn给定，如何确定，满足yyi22212yyynyyiiiiifax一、按等影响原则分配误差一、按等影响原则分配误差 等影响原则等影响原则 各分项误差对函数误差的影响相等，即 12yyyynn可得到 11/yyiiifxann极限误差表示 11/iiifxann 函数的总极限误差 各单项误差的极限误差 i二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差 (1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对另

60、一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性按等影响原则分配误差的不合理性 (2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。 在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。 三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差先按等影响原则初步确定，再经过合理调整后，按误差合成公式计算，若总误差超出给定的允许误差范围，应选择可能缩