向量组的线性相关性

1、2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性n2211nkkk称为向量组 A 的一个线性组合线性组合：线性组合： 给定向量组 A： 对于任何一组实数 表达式 n21，n2211nnkkk,21线性表示线性表示：给定向量组 A： 和向量 ，如果存在一组实数 1, 2, , n ，使得n21，则称向量 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 能由向量组A 线性表示回回 顾顾( )( ,)r Ar A 向量向量 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax =有解有解P.110 定理定理4.1 的结论：的结论：12n000由于零向量可由向量组由于零向量可由向量组A线性表示：线性表示：

2、0( )r An n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax =0有非零解有非零解 ( )r An n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax =0只有零解只有零解 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义：定义：给定向量组给定向量组 A： ，如果存在，如果存在不全为零不全为零的的实数实数 k1, k2, , kn ，使得，使得 （零向量）（零向量）则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的，否则称它是的，否则称它是线性无关线性无关的的12n,1122nnkkk1122nnkkk 当且仅当当且仅当k1 = k2 = = kn =0 时，才有时，才有线性无关：线性无关：向量组线性相关性

3、的判定定理向量组线性相关性的判定定理m维向量组维向量组 A： 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , kn ，使得，使得 （零向量）（零向量） n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 n 即：即：r(A)n12n,1122nnkkk12n向量组线性无关性的判定定理向量组线性无关性的判定定理m维向量组维向量组 A： 线性无关线性无关n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只有只有零解零解矩阵矩阵A = 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 n 即：即：r(A)=n12n

4、,12n如果如果 （零向量）（零向量），则必有，则必有 k1 = k2 = = kn =0 1122nnkkk推论推论已知m维向量组 A： ,矩阵12n,(1)若向量的维数少于向量的个数，即mn，则 向量组A线性相关(2)若向量的维数等于向量的个数，即m=n，则 12n,A00AAn维向量组A线性相关n维向量组A线性无关特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关例1、已知向量组21-3rr41-5rr215r3411,36rr32-rr42-rr( )23r An123, 向量组 线性相关例2、已知向量组21-3rr41-rr42+2rr23-3rr( )3r An向量组 线性无关123,

5、 一些特殊向量组的线性相关性一些特殊向量组的线性相关性1、单个向量的向量组(1)若 其次线性方程组 有非零解k=1 单个零向量线性相关 k(2)若 其次线性方程组 仅有零解k=0 单个非零向量线性无关 k2、两个向量的向量组12,(1)若 线性相关，则存在不全为零的数 使得1122kk12,kk12,10k2121kk 不妨令 ，可得： 对应分量成比例的两个向量线性相关(2)若 对应分量不成比例，则齐次线性方程组不可能有非零解，否则，假设 可得： (成比例，矛盾) 1122kk12,10k2121kk 3、含有零向量的向量组1n,l已知向量组A:，若向量l齐次线性方程组 有非零解11llnnk

6、kk含有零向量的向量组线性相关对应分量不成比例的两个向量线性无关1010lnkkk由于齐次线性方程组1122nnkkk即12100001000010nkkk仅有零解n维基本单位向量组线性无关4、n维基本单位向量组12n,1100 2010 001n 向量组线性相关性的性质向量组线性相关性的性质性质1、 1122nnkkk12n, 仅有零解k1 = k2 = = kn =0 12n, 维向量组,12n,，则向量组 线性无关,12n,低维线性无关 高维线性无关例3：性质2、考虑向量组 ，如果部分组11n, (1)llln 1,l线性相关，则齐次线性方程组1122llkkk有非零解因而，齐次线性方程

7、组1111nllllnkkkk也有非零解所以向量组 也线性相关11n,ll 部分相关 整体相关，整体无关 部分无关例4、分析：性质3、已知向量组 ，若其中至少有一个向量能表示成其余向量 的线性组合，不妨假设12n, 12020nnkk则其次线性方程组 有非零解1122n0nkkk向量组 线性相关 12n, 反之，若向量组 线性相关 ，则齐次线性方程组有非零解12n, 即1012020nnkkk因为 不全为零，不妨假设 ，则有10200,nkkk100k20012n1010nkkkk 即：至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合向量组线性相关等价于其中至少有一个向量能表示成其余向量的线性组合性质4、已知向量组 线性相关，且部分组 线性无关，则向量 一定能由部分组 线性表示12n, 12n, 12n, 分析：12n, 向量组 线性相关 1122nnkkkk12n, ,k kk( 不全为零）12n, 又因为向量组 线性无关 所以：0k否则向量组 线性相关 12n, 例5、已知向量组 线性无关，证明向量组 也线性无关 , , , 123()()()kkk证明：齐次线性方程组131223()