chapter 1 质点运动学2014

1、第一第一第一第一第一第一 章章章章章章质质质质质质点点点点点点运运运运运运动动动动动动学学学学学学 1.0 引言引言 1.1 质点的模型质点的模型 参考系和坐标系参考系和坐标系 1.2 质点运动的描述质点运动的描述 1.3 曲线运动曲线运动 1.4 相对运动相对运动2/301.01.0引引言言一、什么是力学一、什么是力学 Mechanics1、什么是力学、什么是力学机械运动机械运动是指物体之间或物体各部分之间发生是指物体之间或物体各部分之间发生的的相对位置相对位置的变化。的变化。力学力学研究机械运动及其规律的物理学分支研究机械运动及其规律的物理学分支根据研究根据研究内容内容分类分类 运动学运动

2、学(Kinematics)：研究物体运动的：研究物体运动的规律规律 动力学动力学(Dynamics): 研究物体运动的研究物体运动的原因原因 静力学静力学(Statics): 研究物体平衡时的规律研究物体平衡时的规律根据研究根据研究对象对象分类分类 质点质点(Particle)力学力学研究对象为质点研究对象为质点 刚体刚体(Rigid Body)力学力学研究对象为刚体研究对象为刚体2、力学的分类、力学的分类3/303、数学工具：微积分和矢量、数学工具：微积分和矢量力学力学运动学运动学动力学动力学牛顿牛顿定律定律守恒守恒定律定律动量守恒定律动量守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律角动量守恒定律角

3、动量守恒定律4、(经典经典)力学的适用范围力学的适用范围：弱引力场中宏观物体：弱引力场中宏观物体 的低速运动的低速运动5、力学的总框架、力学的总框架4/30二、时间、空间和牛顿力学的绝对量二、时间、空间和牛顿力学的绝对量1、时间与空间、时间与空间(Time and space)时间时间 ：空间空间 ：时间用以表述事件之间的时间用以表述事件之间的顺序顺序 空间用以表述事物相互之间的空间用以表述事物相互之间的位形位形 在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为是是绝对量绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存，是独立于所研究对象（物体）和运动而

4、存在的客观实在。在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关时间的流逝与空间位置无关，空间为，空间为欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，欧几里德几何空间。而近代物理理论对此是否定的，这个问题将在这个问题将在相对论相对论中详细讨论。中详细讨论。 时间和空间如何时间和空间如何量度量度？ 5/302、时间的测量、时间的测量 任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间的一种钟（例如，吊灯的摆动、分子的振动等）时间的一种钟（例如，吊灯的摆动、分子的振动等） 1967年年10月在第十三届国际度量衡会议上规定：月在第十三届国际度量衡会议上规定： 位于海平面上

5、的铯原子的基态的两个超精细能级位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级在零磁场中跃迁辐射的周期在零磁场中跃迁辐射的周期T与与1秒的关系为秒的关系为 1秒秒 = 9,192,631,770 T 这样的时间标准称为这样的时间标准称为原子时原子时 。时间是测量得最准确的一个基本量！时间是测量得最准确的一个基本量！ 3、空间的测量：长度、空间的测量：长度1983年年10月在第十七届国际计量大会上规定：月在第十七届国际计量大会上规定： 米米是光在真空中在是光在真空中在1/299,792,458秒的时间间隔秒的时间间隔内所传播的路程长度内所传播的路程长度 光速：光速：c = 299,792,458米秒米

6、秒 6/301.11.1质点质点的模的模型型参考参考系和系和坐标坐标系系一、参考系一、参考系(reference frame)运动的绝对性与相对性运动的绝对性与相对性运动的绝对性：运动的绝对性：所有的物体都在不停地运动，没有绝对不所有的物体都在不停地运动，没有绝对不动的物体动的物体运动的相对性：运动的相对性：描述物体的运动或静止总是相对于某个选描述物体的运动或静止总是相对于某个选定的物体而言的定的物体而言的7/30 1) 运动的相对性要求描述物体运动必须选取参考系运动的相对性要求描述物体运动必须选取参考系 2) 运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的

7、运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。 3) 常用参考系常用参考系: 太阳参考系太阳参考系 地心参考系地心参考系 质心参考系质心参考系 地面参考系或实验室参考系地面参考系或实验室参考系参考系参考系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系以地球为参照系以地球为参照系地球地球月亮月亮以太阳为参照系以太阳为参照系太阳太阳月亮月亮地球轨道地球轨道8/30坐标系坐标系：固结在参考系上的一组：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线有刻度的射线、曲线或角度。或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。坐标系为参考系的数学抽象。 2.参

8、考系选定后，坐标系还可任选。参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中在同一参考系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。但其运动形式的数学表述却可以不同。 1.直角坐标系直角坐标系 2.极坐标系极坐标系 3.自然坐标系自然坐标系 沿质点的运动轨道建立的坐标系。在质点沿质点的运动轨道建立的坐标系。在质点运动轨道上任取一点作为坐标原点运动轨道上任取一点作为坐标原点O，质点在任意时刻的，质点在任意时刻的位位置置，都可，都可用它到坐标原点用它到坐标原点O的轨迹的长度来表示的轨迹的长度来表示。 在自然坐标系中

9、，定义两个单位矢量：在自然坐标系中，定义两个单位矢量：切向单位矢量切向单位矢量，沿质点所在点的轨道切线方向；沿质点所在点的轨道切线方向；法向单位矢量法向单位矢量，垂直于在，垂直于在同一点的切向单位矢量而指向曲线的凹侧。速度表示方便同一点的切向单位矢量而指向曲线的凹侧。速度表示方便二、坐标系二、坐标系(Coordinate system)9/30三、质点三、质点(Particle)质点的引入质点的引入任何物体都有大小和形状。物体在运动时它各部分任何物体都有大小和形状。物体在运动时它各部分的位置变化是不同的，物体的运动情况非常复杂。的位置变化是不同的，物体的运动情况非常复杂。质点的概念质点的概念当

10、物体的大小和形状忽略不计时，可以把物体当做当物体的大小和形状忽略不计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点只有质量没有形状和大小的点质点。质点。说明说明质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想化的力学模型。引入的一个理想化的力学模型。一个物体能否当做质点，取决于一个物体能否当做质点，取决于研究问题的性研究问题的性质。质。10/30四、运动函数四、运动函数function of motion 机械运动机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。在坐标是物体（质点）位置随时间的改变。在坐标系中配上一套同步时钟，可给出质点运动到各处的时系中配上

11、一套同步时钟，可给出质点运动到各处的时刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该函数关系称为质点的函数关系称为质点的运动函数运动函数。( )( )( )xx tyy tzz t消去时间得质点消去时间得质点运动运动轨迹方程轨迹方程。 x z y z( t ) y( t )x( t ) r( t )P( t )011/30五、质点的位置矢量（位矢、矢径）五、质点的位置矢量（位矢、矢径） Position vector( )( )( )( )rr tx t iy t jz t k222zyxrrzryrxcoscoscosXYZoryxzPnABijop

12、r k位置矢量：质点的位置状况用位置矢量描述位置矢量：质点的位置状况用位置矢量描述 12/301.21.2质质点点运运动动的的描描述述一、位移一、位移(Displacement)定义：由始点到终点的有向线段，即为质点的定义：由始点到终点的有向线段，即为质点的位移矢量位移矢量，简称，简称位移位移。描述质点位置变化的物。描述质点位置变化的物理量。理量。位移与路程的区别位移与路程的区别位移是矢量位移是矢量(大小方向大小方向)：是指位置矢量的变化：是指位置矢量的变化路程是标量：是指运动轨迹的长度路程是标量：是指运动轨迹的长度AB1r2rrMNOSrr |?kzzjyyixx)()()(121212大小

13、：大小：222zyxr21()( )rr ttr trr ddrr ddrs 13/30二、速度二、速度(Velocity)1、平均速度、平均速度average1212ttrrtrv xyzO)(11tr)(22trr 2、瞬时速度、瞬时速度instantaneous 定义：平均速度的极限值称为瞬定义：平均速度的极限值称为瞬时速度，简称速度时速度，简称速度0ddlimtrvtrt ddddddxyzxvtyvtzvt 速度是矢量，有大小和方向速度是矢量，有大小和方向匀速运动：速度为恒量匀速运动：速度为恒量变速运动：速度为变量变速运动：速度为变量速度具有瞬时性；速度具有瞬时性； 具有相对性具有相

14、对性 单位：单位：ms s-1-1 速率速率: 速度的大小速度的大小trvvt0lim0dlimdtsstt 运动快慢程度运动快慢程度和方向和方向例题例题14/30三、加速度三、加速度acceleration描写速度的大描写速度的大小和方向变化小和方向变化1、平均加速度、平均加速度速度的增量与所用时间的比速度的增量与所用时间的比值叫做质点的平均加速度值叫做质点的平均加速度1212ttvvtva 2、瞬时加速度、瞬时加速度定义：平均加速度的极限值称定义：平均加速度的极限值称为瞬时加速度，简称加速度为瞬时加速度，简称加速度220ddddlimtvvrattt 222222ddddddddddddx

15、xyyzzvxattvyattvzatt xyzO2v1vv 方向：方向： t t0 0时速度增量的极限方向；时速度增量的极限方向；在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。 15/303、说明、说明1)加速度是矢量，有大小和方向加速度是矢量，有大小和方向 匀变速运动：加速度为恒量匀变速运动：加速度为恒量非匀变速运动：加速度为变量非匀变速运动：加速度为变量2)加速度具有瞬时性加速度具有瞬时性3) 具有相对性具有相对性4) 单位：单位： ms-2 例题例题16/30质点运动学中的正反问题质点运动学中的正反问题质点运动状态质点运动状态位矢位矢瞬时速度矢量瞬时速度矢量)(tr

16、d ( )dr tvt 质点运动状态变化质点运动状态变化已知位置（运动函数）已知位置（运动函数）求速度求速度（求导）（求导）求速度求速度求位置（运动函数）求位置（运动函数） （积分）（积分）ktzjtyitxtr)()()()(（运动方程）（运动方程）位移位移21rrr瞬时加速度矢量瞬时加速度矢量ddvat22ddrt求加速度求加速度正问题：正问题：已知加速度已知加速度 反问题：反问题：17/301.31.3曲曲线线运运动动0vvat条件条件2012orrrv tat 一、匀加速运动一、匀加速运动constanta 结论结论匀加速直线运动匀加速直线运动0vvat20012xxv tat2202

17、vvaxddddddddvvxvaaavtxtxdda xv v18/30初速度初速度vx0=v0cosvy0= v0sin初始位置初始位置x0=0y0=0加速度加速度ax=0ay= -g2220tg2cosgyxxv 轨迹方程轨迹方程 20021 sin cosgttvytvx 运动方程运动方程水平方向：匀速运动水平方向：匀速运动竖直方向：竖直上抛运竖直方向：竖直上抛运 动动, 轨迹为抛物线轨迹为抛物线速度速度vx= v0cosvy= v0sin g t例例题题二、抛体二、抛体运动运动d019/30三、圆周运动三、圆周运动yr xAr为径矢，为径矢，r与与ox轴之间的夹角轴之间的夹角，则，则

18、质点的坐标可以用质点的坐标可以用( (r r, , ) ) 来表示。来表示。x= =rcoscosy= =rsinsin定义：定义：角坐标随时间的变化率角坐标随时间的变化率ddt 角速度与线速度的关系角速度与线速度的关系 rs rtrtsvtt limlim00r xSR1、平面极坐标系、平面极坐标系2、圆周运动的角速度、圆周运动的角速度20/301) 角加速度的定义角加速度的定义220ddddlimtttt 2) 切向加速度与法向加速度切向加速度与法向加速度vveddddddevavevttt ddddvaerer ett切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度: :法向定义为与切向垂直，指

19、向凹侧法向定义为与切向垂直，指向凹侧ddddnnneavvev ett r e e ne ne 3、圆周运动的角加速度、圆周运动的角加速度21/30 ddddvaerer ett切向加速度（改变速度大小）切向加速度（改变速度大小）法向加速度（改变速度方向）法向加速度（改变速度方向）22ddddnnnnnevavvev ereettr 22 1/2()tgnnaaaaa 2nvar 方向：方向：指向圆心方向指向圆心方向22/30nnaa ea e 2ddnvveet 22222d dnaaavvt anaa 推广：对于一般的曲线运动推广：对于一般的曲线运动利用自然坐标，一切运动都利用自然坐标，一

20、切运动都可用切向、法向加速度表示：可用切向、法向加速度表示：an= 0 a = 0 匀速直线运动匀速直线运动an= 0 a 0 变速直线运动变速直线运动an 0 a = 0 匀速曲线运动匀速曲线运动an 0 a 0 变速曲线运动变速曲线运动为曲率半径为曲率半径dds 23/30 xyPv1v2rP srddsrddsvtddvat22nvarrddrtrddrtr4、线量与角量之间的关系、线量与角量之间的关系24/3020012tt22002 0tr xSRddt 大小大小vr方向方向:右手螺旋定则来判定：四指方右手螺旋定则来判定：四指方向为绕向，大拇指方向为角速度方向向为绕向，大拇指方向为角

21、速度方向 5、匀加速圆周运动、匀加速圆周运动6、角速度的矢量性、角速度的矢量性25/301.41.4相相对对运运动动一一: :运动描述的相对性运动描述的相对性三三:例题例题二二: :平动坐标系中的速度加速度变换平动坐标系中的速度加速度变换yoRp prryox xSSrRr两参考系两参考系 ， 相对相对S 的速度为的速度为 ，称为牵，称为牵连速度。连速度。,S SSuddrvuvtddvaaat以上三式为伽利略变换式以上三式为伽利略变换式26/30例例1：一运动质点某瞬时位于矢径：一运动质点某瞬时位于矢径 的端点处，其速度大小为的端点处，其速度大小为(,)r x y 22ddddd(A)(B)

22、(C)(D)dddddrrrxyttttt BACKBACK27/30例例2：湖中有一小船，有人用绳绕过岸上的定：湖中有一小船，有人用绳绕过岸上的定滑轮以匀速率滑轮以匀速率v拉小船。设滑轮距水面的高度拉小船。设滑轮距水面的高度为为h、绳不伸长、湖水静止，、绳不伸长、湖水静止，t=0 时绳长为时绳长为 o，如图。如图。(1) 请建立原点、方向不同的几个坐标请建立原点、方向不同的几个坐标系并写出小船相应的位置矢量。系并写出小船相应的位置矢量。(2) 求小船求小船t时时刻的速度和加速度。刻的速度和加速度。v h o 0220()dd()v vtlxvtlvthd dvatOx2200, (0)txlh2200, ( )()()/tt x tlvthtlhv28/30v h o 0220()dd()v vtlxvtlvthd dvatOx2200, (0)txlh2200, ( )()()/tt x tlvthtlhvv h o Ox0, (0)0tx建立另外一个坐标系建立另外一个坐标系2202200, ( )(),()/tt x tlhlvthtlhv0220()dd()v vtlxvtlvthd dvatBACKBACK速度计算也可以用速速度计算也可以用速度分解来做！度分解来做！29/30例题例题3 3一质点沿一质点沿 轴运动，其加速度