CH3 IIR滤波器设计方法02

1、1第三章第三章 无限长单位脉冲响应无限长单位脉冲响应(IIR)(IIR)滤波器的设计方法滤波器的设计方法2根据模拟滤波器设计根据模拟滤波器设计IIR滤波器滤波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模从已知的模拟滤波器传递函数拟滤波器传递函数HHa a(s)(s)设计设计数字滤波器传递函数数字滤波器传递函数H(z)H(z)，这归根到底是一个由这归根到底是一个由S S平面到平面到Z Z平面平面的变换。的变换。 这种映射变换应这种映射变换应遵循遵循两个基本原则两个基本原则：（1 1）H(z)H(z)的的频响频响要能模仿要能模仿HHa a(s)(s)的的频响频响

2、，即，即S S平面的虚平面的虚轴应映射到轴应映射到Z Z平面的单位圆上。平面的单位圆上。（2 2）HHa a(s)(s)的的因果稳定性因果稳定性映射成映射成 H(z)H(z)后后保持不变保持不变，即即S S平面的左半平面平面的左半平面 ReSReS0 0 应映射到应映射到Z Z平面的单位圆以平面的单位圆以内内|Z|1|Z|1。脉冲响应不变法根据模拟滤波器设计根据模拟滤波器设计IIR滤波器滤波器4进进行行取取样样即即对对原原理理)( )()( : . 1ththnhnTt 由模拟滤波器直接设计数字滤波器)()( . . 2zHsHa方方法法 NkkkaassAsHsH1)( ),()1(根根据据

3、指指标标求求 NktskaatUeAsHLthk11)()()()2( NknTsknTtnueAthnhk1)()()()3(脉冲响应不变法脉冲响应不变法510011011(4)( )()1( )kkkNNs nTs TnnnkknnkknNks TkH zzA ezAehzAezn NiNiTsiiizeAzHssAsHi1111)( )( :即对应关系即对应关系111 1isTissez脉冲响应不变法脉冲响应不变法ks Tkze极点对应关系极点对应关系: :6例题例题 将一个具有如下系统函数将一个具有如下系统函数3111)3)(1(2)( sssssH的模拟滤波器数字化。的模拟滤波器数字

4、化。解解TTezezzH3111111)( 243131)(1)( zeeezeezTTTTT模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为: 4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHjsa11( )1iNisTiAH zez设设s=+j, z=rej, rej=e (+j)T= eT ejT r=eT =TsTze分析脉冲响应不变法的性能j 0 S平面平面3 /T-3 /T- /T /Ts= + j(a)ImzRez0|z|=r=1z =re j(b) )( 1, 0)( 1, 0)( 1, 0,对应圆外对应圆外对应圆内对应圆内对应单位圆对应单位圆当当讨论讨论zzz 用脉冲响应不变法设

5、计数字滤波器方法是：用脉冲响应不变法设计数字滤波器方法是：如果已知模拟滤波器的系统函数如果已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)1. 将将Ha(s)部分分式展开，部分分式展开，2.再按公式得到数字滤波器系统函数再按公式得到数字滤波器系统函数H(z)。111( )( )1kNNkkas TkkkAAHsH zssez如果已知数字滤波器的设计指标：如果已知数字滤波器的设计指标：p, Ap , r, Ar1、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用器的性能指标。采用:2、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函

6、数数Ha(s)。3、将、将Ha(s)展成部分分式形式，利用公式求展成部分分式形式，利用公式求H(z) 。T 10)()()(:22zHbasassH试试用用脉脉冲冲响响应应不不变变法法求求已已知知例例 jbasjbasbasassH 2/12/1)()(:22解解22111)(1)()cos2(1)cos(1 12/112/1)( zezbTezbTezezezHaTaTaTTjbaTjba举例举例11(2) ,. ()sTj TjTzeeewwwWW= W=成线性关系由 特点，零零点点不不满满足足。极极点点变变换换关关系系Tskkez )1(3)()存在频谱混叠 取样造成 。12 这样就看到

7、，脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为这样就看到，脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，首先对数字滤波器时，首先对HHa a( (s s) )做做周期延拓周期延拓，然后再经，然后再经过过z z= =e esTsT的映射关系，完成的映射关系，完成s s平面到平面到z z平面的映射。即平面的映射。即根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系 maamTjsHTsH)2(1)( majTmjTjHTeH)2(1)( maaezmTjsHTsHzHsT)2(1)()( 13 这时数字滤波器的频率响应才能不失真地重现模这时数字滤波器的频率响应才能

8、不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率拟滤波器的频响（存在于折叠频率 s s/2/2以内）以内） |)(1)(TjHTeHaj如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率以内的如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率以内的即即)2(|0)(saTjH 或或 但是，但是，任何一个实际的模拟滤波器的频率响应都任何一个实际的模拟滤波器的频率响应都不可能真正是带限的，不可能真正是带限的，这就不可避免地存在频谱的这就不可避免地存在频谱的混淆失真，因而模拟滤波器的频率响应在折叠频率混淆失真，因而模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大，这个失真就越小。以上处衰减越大，这个失真就越小。14maamTj

9、sHTsH21)(15 因此，此法只适用于带限或高频衰减大的频响特性的模拟滤波器，如衰减特性很好的带通或低通。 Fs越大，则相邻周期间重复的频谱相隔越远，混叠也就越小。而高通和带阻滤波器，频率特性在fs/2频率部分不衰减，因此完全混叠在低频响应中。 所以脉冲响应不变法不能用来设计带阻或高通滤波器，否则要加保护滤波器 如果如果Ha(s)是稳定的，即其极点全部都在是稳定的，即其极点全部都在s左半左半平面内，由映射关系可知，对应的平面内，由映射关系可知，对应的H(z)的极点也全的极点也全部都在单位圆内，所以部都在单位圆内，所以H(z)也是稳定的。也是稳定的。总之，考察脉冲响应不变法，可以得到以下结论

10、：总之，考察脉冲响应不变法，可以得到以下结论： H(s)的虚轴均映射的虚轴均映射H(z)的单位圆上，在此范围的单位圆上，在此范围内内与与之间呈现线性的对应关系，即之间呈现线性的对应关系，即=T。因而。因而使数字滤波器的频率特性基本与模拟滤波器的相同。使数字滤波器的频率特性基本与模拟滤波器的相同。 由于频率混叠效应，所以脉冲响应不变法只适由于频率混叠效应，所以脉冲响应不变法只适用于带限的模拟滤波器。例如低通滤波器和带通滤用于带限的模拟滤波器。例如低通滤波器和带通滤波器。高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响应不变法。波器。高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响应不变法。173.1.2双线性变换法1、设计思想)(

11、 )( )(zHsHsH 带带宽宽有有限限的的带带宽宽无无限限给给定定如如下下图图所所示示问问题题的的关关键键是是找找变变换换使使,ss 由此建立由此建立s s平面与平面与z z平面一一对应的单值关系，消除平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就多值性，也就消除了混淆现象消除了混淆现象。Im(s)Re(s)s平面Im(z)Re(z)Im(s)Re(s2/s 2/s 18tan()2Tc 这里这里c c是待定常数是待定常数，一般取，一般取c=2/T,c=2/T,不同的不同的 c c ，可，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应

12、关系。在不同频率点有对应关系。 为了将为了将 s s 平面的平面的jj轴压缩到轴压缩到 平面平面jj1 1轴上的轴上的 - - / /T T到到 / /T T 一段上，可通过以下的正切变换实现：一段上，可通过以下的正切变换实现：S192 2、变换关系、变换关系考考虑虑频频率率特特性性,22cos22sin22222TtgcjTTjceeeecjTjTjTjTj ，则有，则有，令令 jsjsTsTsTsTsTsTseeceeeecTscssss2/2/2/2/11)2(tan , )1( s s 存在下列关系存在下列关系设设0 0 ;0 0 ssss时时，当当时时，则则显显然然当当202Ttgc

13、 2为边界的水平窄区内为边界的水平窄区内平面内以平面内以平面映射平面映射成成即将即将sss 2 2、变换关系、变换关系2 ,2 ,22 ,时时时时当当ssTTT 21平平面面平平面面将将zs)2(111111:11 zzczzceecsezTsTsTs常常规规转转换换由由s s到到z z为一一对应，且单值对应为一一对应，且单值对应2 2、变换关系、变换关系双线性变换法的转换性能双线性变换法的转换性能可以求出可以求出将将s和和z看成看成s平面和平面和z平面的一般复变量平面的一般复变量 s=+j, z=rej sTzsT2222jTzrjT =0时，时，r=1，s平面的虚轴映射为平面的虚轴映射为z

14、平面的单位圆；平面的单位圆；0时时, r1, s平面的左半映射为平面的左半映射为z平面的单位圆内；平面的单位圆内；0时，时，r1，s平面的右半映射为平面的右半映射为z平面的单位圆外。平面的单位圆外。所以如果模拟滤波器因果稳定，则用双线性变换法将所以如果模拟滤波器因果稳定，则用双线性变换法将模拟滤波器模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器转换成数字滤波器H(z)后仍然因果后仍然因果稳定。稳定。22jTzrjT24特特点点 .3(1) 无混叠误差无混叠误差(2) 频率产生失真频率产生失真由于频率间的非线性关系所产生的数字滤波器由于频率间的非线性关系所产生的数字滤波器的频率响应相对于原模拟滤波器的的频

15、率响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会幅频响应会有畸变。有畸变。252( /2)tgT考虑2 12sin(/2)1cos22tg()2jjejsTeTjjT jwze图图 双线性变换的频率非线性关系双线性变换的频率非线性关系 sj 264 4、频率预畸、频率预畸 利用关系式：利用关系式： 将所要设计的数字滤波器临界频率点将所要设计的数字滤波器临界频率点 ，变换成对，变换成对应的模拟域频率应的模拟域频率 ，利用此，利用此 设计模拟滤波器，再设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，如图通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，如图所示。所示。22iitgTiiiT可以随便选取，可

16、以随便选取，代入转换表达式会约掉代入转换表达式会约掉 若只关心滤波器的幅频特性，若只关心滤波器的幅频特性，为了补偿频率的畸变，让变为了补偿频率的畸变，让变换后的位置不产生变化换后的位置不产生变化。对特定频率。对特定频率(p p， r r， c c ) )先进行预畸。先进行预畸。27双线性变换时频率的预畸变28变变化化。平平坦坦且且单单调调，并并要要求求在在通通带带内内特特性性取取样样频频率率，最最小小阻阻带带衰衰耗耗阻阻带带边边界界频频率率带带宽宽截截频频其其指指标标为为：一一个个数数字字低低通通滤滤波波器器，试试用用双双线线性性变变换换法法设设计计例例sraddBArradraddBsr/

17、2010 4 . 0)2( 2 . 0)3()1(. 1c 型型滤滤波波器器解解：按按题题意意选选BW0.10.324920.20.72652crccrrtgtgtgtg 先，畸292 366. 1236. 2lg3lg)lg()lg(3911011 . 0 NNcrAr取取 121)(2 sssHn查表查表2222)(ccccsssHss 代入，代入，以以4218. 01433. 1)1(674. 022 zzz111( )1( )( )zs czzscH szH zH s代入得30如果已知数字滤波器的设计指标如果已知数字滤波器的设计指标p, Ap , r, Ar1、将数字滤波器性能指标变换

18、为中间模拟滤波器的性能指标。采用:2、求模拟滤波器的系统函数Ha(s)3、将Ha(s)按公式得到数字滤波器系统函数H(z)（T可以随便选取,所以为了计算方便，一般取T=2，这样c1）tanT 22预畸变用双线性变换法设计数字滤波器方法是：用双线性变换法设计数字滤波器方法是：如果已知模拟滤波器的系统函数如果已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)将将Ha(s)按公式得到数字滤波器系统函数按公式得到数字滤波器系统函数H(z)11211( )( )|azsTzH zHs111( ),( )( )22cnnzszcccHsH zHsTtgtgw-=+W=WW=若已知则， 注：表示低通预畸截频。总结总结利用模

19、拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。数字低通滤波器的步骤。（1）确定数字低通滤波器的技术指标）确定数字低通滤波器的技术指标 p、Ap、r、A r（2） 将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是边界频率通滤波器的技术指标。这里主要是边界频率p和和r的转换，的转换， Ap和和Ar指标不变。指标不变。pprrTTpprr2tan22tan2TT （3） 按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器滤波器（4） 用所选的转换方法，将模拟滤波器用所选的转换

20、方法，将模拟滤波器Ha(s)转换成数字转换成数字低通滤波器系统函数低通滤波器系统函数H(z)。例例2 设采样周期设采样周期T=250s (fs = 4kHz)，设计一个三阶巴特沃，设计一个三阶巴特沃思思LP滤波器滤波器,其其3dB截止频率截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。法和双线性变换法求解。解解：a. 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 由于脉冲响应不变法的频率关系是线性的，所以可直接由于脉冲响应不变法的频率关系是线性的，所以可直接按按c =2fc设计设计Ha(s)。以截止频率以截止频率c 归一化的三阶巴特沃思滤波器的传递函数为归一化的三阶巴特沃思

21、滤波器的传递函数为231( )122nHssss以以 s /c 代替其归一化频率，得：代替其归一化频率，得：32)/()/(2)/(211)(cccassssH 为进行脉冲响应不变法变换为进行脉冲响应不变法变换, ,计算计算Ha(s) 分母多项分母多项式的根式的根, ,将上式写成部分分式结构：将上式写成部分分式结构：2/ )31()3/(2/ )31()3/()(6/6/jsejsessHcjccjccca 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式。有对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式。有1cs 3(13)/2csj 2(13)/2csj 36将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：极点极点 iNiTSiszeAzHi111)(并将并将c=c /T 代入，得：代入，得：12/ )31(6/12/ )31(6/11)3/(1)3/(1/)( zeeTzeeTzeTzHjjcjjccccc 合并上式后两项，并将合并上式后两项，并将c=2fcT=0.5代入，计算得：代入，计算得： 21112079. 01905. 015541. 0571. 12079. 0157. 11)(zzzzTzH37 b. 双线性变换法双线性变换法 (一一) 首先确定数字域临界频率首先确定数字域临界频率c=2fcT=0.5 (二二)