高中数学专题训练(一)——抽象函数

1、精选优质文档-倾情为你奉上 高中数学专题训练（一）抽象函数1. 已知函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（， 已知f（1）=2，求f（5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）1f（x）=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。6. 设f（x）是定义R在

2、上的函数，对任意x，yR，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）0.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b0，都有0（1）.若ab，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）.若f（k0对x1，1恒成立，求实数k的取值范围。9.已知函数是定义在（-，3上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。10已知函数当时，恒有.(1)求证: 是奇函数;(2)若.11.已知是定义在R

3、上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;(3)若,求数列的前项和.12.已知定义域为R的函数满足.(1)若(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=

4、,试确定的取值范围.16.已知函数是定义在R上的增函数,设F.(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.18函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。19设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论20. 已知函数f（x）对任意实

5、数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。参考答案：1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1-

6、m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m<。3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f(x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f

7、（0，x ， f（1）=2， 同理可得5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）1，故f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=. 所以f（x）是以8为周期的周期函数， 从而f（2001）=f（1）=1997说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。6.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。 （2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=

8、2f（y），因此y=f（x）为偶函数.说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。7. 解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（6，2）上递减。令u=2-x，则当x(4,8)时，u是减函数且u(-6,-2)，而f(u)在（6，2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。8. 解：（1）.因为ab，所以a-b0，由题意得0，所以f（a）+f（b）0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（b）=f（b）， f（a）f（b）0，即f（a）f（b）（2）.由（1）知f（x）在R上是单

9、调递增函数，又ff0，得ff，故，所以k令t,所以kt+，而t+2，即k219.解：等价于10.（1）证明：令，得 令，则 是奇函数。（2） 又11.（1）解：令，则令，则 （2）证明：令，则， 令，则 是奇函数。（3）当时，令，则 故，所以，故12.解：(1)对任意，函数满足，且 ，=f(a)=a(2) 对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得对任意，有上式中，令，则，故若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得13.（1）解：令，则 （2）数列是以为首项,1为公差的等差数列,故=(3)任取,则 =函数是R上的单调增函数.

10、14.(1)解: 对任意,有>0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而15. (1)证明:令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明: 任取,则,0<,故<0,又,故函数是R上的单调减函数.(3) 由（2）知，是R上的减函数，B=又，方程组无解，即直线的内部无公共点，故的取值范围是-16.(1)任取,则F=, 又函数是定义在R上的增函数, ,故>0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则,故把代入F得, =-函数=的

11、图象关于点(成中心对称图形.17.(1)解:为R上的奇函数, 对任意都有,令则=0(2)证明: 为R上的奇函数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)证明：令，则，故（2），令，则， 成立的x的取值范围是。19解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.20. 解：设，当，即，f（