第六章-散射理论

1、1、束缚态（、束缚态（Bound state ）：）：把在无限远处波函数为零的状态为把在无限远处波函数为零的状态为束缚态束缚态。即粒子被限制在一。即粒子被限制在一个有限的范围内运动。个有限的范围内运动。 一般来说，束缚态体系的波函数可以归一化，能级是分立能级一般来说，束缚态体系的波函数可以归一化，能级是分立能级组成组成。 能量量子化是束缚态粒子的共同特性，是微观世界的特有现象。能量量子化是束缚态粒子的共同特性，是微观世界的特有现象。 束缚态问题中，束缚态问题中，求束缚态的能级和相应的波函，求束缚态的能级和相应的波函数以及在外界作用下的量子跃迁概率。数以及在外界作用下的量子跃迁概率。2、散射态、

2、散射态 （Scattering state）：）： 在无穷远处波函数不为零的状态为在无穷远处波函数不为零的状态为 。 散射态波函数不能归一化，能量可以连续取值，组成散射态波函数不能归一化，能量可以连续取值，组成。 散射态问题中，散射态问题中，求散射态的反射，求散射态的反射系数、透射系数和相应的波函数以及角分布（散射截面）。系数、透射系数和相应的波函数以及角分布（散射截面）。 20rnrdV , ,ikrrikzerefr 2dSdr z在量子力学中，入射粒子的概率流密度的意义是单位在量子力学中，入射粒子的概率流密度的意义是单位时间内通过垂直入射方向单位面积的概率，它正是当单位时时间内通过垂直入

3、射方向单位面积的概率，它正是当单位时间内只有一个粒子入射时的入射粒子流强度间内只有一个粒子入射时的入射粒子流强度/密度。密度。 的意义的意义就是单位时间内散射到就是单位时间内散射到 方向方向 立体角内的概率。立体角内的概率。dnd , ,dndnNqdNqd ,dnN qdnNQ （）（1）在势场范围内求出被散射粒子的状态是极其复杂的。而）在势场范围内求出被散射粒子的状态是极其复杂的。而在势场之外，由于可推知渐近解的形式，比较容易处理。这在势场之外，由于可推知渐近解的形式，比较容易处理。这样，不必求出势场范围内的解即可求出散射截面。样，不必求出势场范围内的解即可求出散射截面。（2）我们观察散射

4、现象，收集被散射的粒子，由于实验手段）我们观察散射现象，收集被散射的粒子，由于实验手段是宏观的，一般必在距离散射中心从微观上是无穷远的地方，是宏观的，一般必在距离散射中心从微观上是无穷远的地方，即在势场作用范围之外。因此计算势场范围以内的解也是不即在势场作用范围之外。因此计算势场范围以内的解也是不必要的。散射截面正是势场作用范围外定义的。必要的。散射截面正是势场作用范围外定义的。代表沿代表沿z轴方向入射的粒子。轴方向入射的粒子。代表离开散射中心向所有方向出射的粒子。代表离开散射中心向所有方向出射的粒子。散射态的边界条件散射态的边界条件（从物理上考虑得出）（从物理上考虑得出）2*,ln22,r

5、tr tiJr tr tr tr tir t,0 x yJ2*,ln2,r tr tJir t11sinreeerrr 在坐标系中在坐标系中22222222222222222222222111sinsinsin121rrrrrrLLrrrrrrrrrLrrrr ( (较好的选择较好的选择!)!)z入射方向入射方向 |,cosmimlmlmlYNPe 常系数常系数z入射方向入射方向cosikzikriee 0ziiL 00lu llururrr 0lim000llruru 连续函数连续函数显然，不同分波已经分离是独立的，各自满足相应的径向方程。显然，不同分波已经分离是独立的，各自满足相应的径向方

6、程。必须有限必须有限r 为了与入射波的分波比较相位差。为了与入射波的分波比较相位差。0202sin) 12(4llllQlkQ 0210,cossin/2lilrlllli eV rrPkrlkr 2 2相移相移l 0210cossin/2lrikzllliV rePkrlkr l V r相移相移必与必与有关。有关。入射波入射波；散射波散射波；散射势场的作用是改变第个散射势场的作用是改变第个 分波的径向波函数的渐近行为分波的径向波函数的渐近行为即产生一个相移。即产生一个相移。l 4Im0Qfk 概率（粒子数）守恒（光学定理存在的依据）概率（粒子数）守恒（光学定理存在的依据）（光的散射光的散射类

7、似）类似）数学上，对入射粒子正前方向（数学上，对入射粒子正前方向（ ），微分散射截面是有意义），微分散射截面是有意义的。但是由于正前方向，有入射与散射波的干涉，这样，就不能的。但是由于正前方向，有入射与散射波的干涉，这样，就不能区分究竟是散射粒子还是入射粒子。所以，在入射粒子正前方向区分究竟是散射粒子还是入射粒子。所以，在入射粒子正前方向上，微分散射截面是一个没有直接观测意义的物理量。上，微分散射截面是一个没有直接观测意义的物理量。0 附近（即非正前方向）测得微分散射截面，再用外推求出附近（即非正前方向）测得微分散射截面，再用外推求出正前方向的微分散射截面可以用外推法测量，即从正前方向的微分散

8、射截面可以用外推法测量，即从 ，但在，但在 0 0 0 事实上，在大多数情况下，在事实上，在大多数情况下，在 附近，散射振幅是边续的，附近，散射振幅是边续的，所以，正前方向的散射振幅是一个完全确定的量。所以，正前方向的散射振幅是一个完全确定的量。0 方向的微分散射截面。方向的微分散射截面。02! !122!21)(nnnlnlnlnkrkrj 0202sin) 12(4llllQlkQa如果总的哈密顿量旋转不变（例如有心力场），如果总的哈密顿量旋转不变（例如有心力场），为什么不依赖于为什么不依赖于（2）为什么这个讨论不能推广为）为什么这个讨论不能推广为也不依赖于也不依赖于（3）当入射波能量趋于

9、）当入射波能量趋于0时时又如何？又如何？一个给定势对零自旋粒子的散射量子理论给出如下波函数的渐近一个给定势对零自旋粒子的散射量子理论给出如下波函数的渐近表达式表达式 ,ikrrikzerefr f; ; ff（1）试讨论散射振幅）试讨论散射振幅在粒子物理中：在粒子物理中： 410eVeV 以下为低能；以下为低能；941010eVeV 为中能；为中能； 1191010eVeV 为高能；为高能；1110eVeV 以上为超高能。以上为超高能。 注意：这里的注意：这里的 就是就是s波相移。因为当波相移。因为当 时，函数时，函数 形式不变。形式不变。0 r eu,eieir ar ar ar adudu

10、uudrdr 0sinlim1sinxxxxx 2*,ln2,r tr tJir t 2dr drd 2dr drd 屏蔽因子屏蔽因子讨论：两体散射讨论：两体散射 方法：方法：质心坐标系质心坐标系 理论工作者理论工作者 动系动系 实验室坐标系实验室坐标系 实验工作者实验工作者 静系静系问题：在实验室坐标系问题：在实验室坐标系 m1 v1 m2 静止静止目的：找出实验室坐标系和质心坐标系描述两体散射的关系。目的：找出实验室坐标系和质心坐标系描述两体散射的关系。入射粒子入射粒子靶粒子（碰前静止）靶粒子（碰前静止）一、在静系中看：即一、在静系中看：即实验室坐标系实验室坐标系 s：散射角：散射角s质心

11、系散射图质心系散射图二、在动系中看：即二、在动系中看：即质心坐标系质心坐标系 c为质心系散射角为质心系散射角MV 散射前质心的速度：散射前质心的速度：m1相对质心的速度：相对质心的速度：m2相对质心的速度：相对质心的速度：在质心系中，碰撞前动量：在质心系中，碰撞前动量：因无外力，碰撞前后相对质心系动量守恒，所以有：因无外力，碰撞前后相对质心系动量守恒，所以有：碰撞后动量、能量守恒：碰撞后动量、能量守恒：1112MmVvmm 211112MmVvVvmm 12112MmVVvmm 11220m Vm V 2222112211221122110,22mVm VmVm VmVm V211112211212,mmVVvVVvmmmm 三、求三、求 s 与与 c 的关系的关系散射角关系图散射角关系图速度关系：速度关系：分解：分解：两式相除：两式相除：散射角关系：散射角关系：11MvVV 1111sinsincoscosscsMcvVvVV 111sinsintancoscosccsMMccVVVVV 221sintancoscscmmm 121111212,MmmVvVvmmmm sM总散射截面在两坐标系相同。总散射截面在两坐标系相同。dnN ,ssssqdqd 在两坐标系相同在两坐标系相同 ,sin,sinssssssdd